33.1 Pythagorova věta Pythagoras ze Samu řecký matematik Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 33.1 Pythagorova věta Pythagoras ze Samu řecký matematik 580 – 500 př. n. l. studoval matematiku a astronomii v Egyptě a v Babylónii žil v jižní Itálii a na Sicílii, kde založil Pythagorejskou školu Pythagorovi žáci objevili např., že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven 180° jeho jméno je spojováno s všeobecně rozšířenou poučkou o vlastnostech pravoúhlého trojúhelníku Egypťané při vytyčování pravých úhlů svých staveb sestrojovali trojúhelník o stranách 3, 4 a 5, stejně jako dnešní zedníci Pythagoras a jeho žáci však tuto poučku dokázali a našli způsob, jak určit všechny pravé trojúhelníky s celočíselnými délkami stran Pythagorova věta byla známá již 2 200 let př. n. l. v Číně, ale Pythagorejcům je připisována zřejmě proto, že dokázali její pravdivost Zdroje: http://dum.rvp.cz/materialy/pythagorova-veta.html http://dum.rvp.cz/materialy/vyuziti-pythagorovy-vety.html http://dum.rvp.cz/materialy/pythagorova-veta-v-prostoru.html boss.ped.muni.cz/vyuka/material/magi/PYTHAGOROVA%20VĚTA.ppt http://www.zsdobrichovice.cz/ukoly/matika/testy/testy.php?go=m7_23 http://spmath81708.blogspot.com/2009/02/pythagoras-pythagorean-theorem.html http://www.mathsisfun.com/pythagoras.html Autor: Mgr. Marie Makovská

C odvěsna odvěsna a b c A B přepona 33.2 Co už známe pravý úhel Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 33.2 Co už známe Pravoúhlý trojúhelník: dvě jeho strany jsou současně výškami výšky se protínají v jednom jeho vrcholu střed kružnice opsané tomuto trojúhelníku je středem jeho nejdelší strany pravý úhel C odvěsna odvěsna a b c A B přepona

jsou trojice přirozených čísel, které splňují podmínku c2 = a2 + b2 Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 33.3 Pythagorova věta V pravoúhlém trojúhelníku je obsah čtverce nad přeponou roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami. = Pythagorova věta c2 = a2 + b2 𝒄= 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 a2 = c2 - b2 a= c 2 − b 2 b2 = c2 - a2 b= c 2 − a 2 1 2 3 4 2 1 3 4 Obrácená Pythagorova věta Jestliže v trojúhelníku platí, že součet druhých mocnin délek dvou kratších stran je roven druhé mocnině délky nejdelší strany, potom je tento trojúhelník pravoúhlý. a2 + b2 = c2 Pythagorejská čísla jsou trojice přirozených čísel, které splňují podmínku c2 = a2 + b2 Jsou to např.: 3,4,5 5,12,13 a jejich násobky.

33.4 Pythagorova věta v rovině Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 33.4 Pythagorova věta v rovině Vypočítej výšku k základně rovnoramenného trojúhelníku KLM se základnou délky m = 16 cm a s rameny délek k = l = 22 cm. Výpočet: k2 = v2 + (m/2)2 222 = v2 + 82 484 = v2 + 64 v2 = 484 – 64 v2 = 420 v = v = 20,493 901 cm v S l L M K m = 16 cm k = l = 22 cm m /2 Náčrt: Délka výšky k základně je asi 20,5 cm. Vypočítej, jak vysoko je drak nad vodorovným terénem. Drak je 55,9 m vysoko.

33.5 Příklady na procvičení (můžeš kliknout na řešení) Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 33.5 Příklady na procvičení (můžeš kliknout na řešení) Rozhodni, zda je trojúhelník se stranami daných délek pravoúhlý: 5 cm; 6 cm; 7 cm b) 10 m; 24 m; 26 m 2. Vypočítej přeponu c. 3. Vypočítej odvěsnu a. 4. Vypočítej délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, jsou-li dány zbývající délky stran o velikostech 20 cm a 1,2 dm. Řešení: a) 5 cm, 6 cm, 7 cm 25 + 36 = 49 52 + 62 = 72 61 ≠ 49   není pravoúhlý b) 10 m, 24 m, 26 m 100 + 576 = 676 102 + 242 = 262 676 = 676   je pravoúhlý Řešení: Řešení: c=? b=4 a=3 c=5 b=4 a=? 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 c = 𝑎 2 + 𝑏 2 c = 3 2 + 4 2 c = 9+16 c = 25 c = 5 cm 𝑎 2 = 𝑐 2 − 𝑏 2 a = 𝑐 2 − 𝑏 2 c = 5 2 − 4 2 c = 25−16 c = 9 c = 3 cm Řešení: Náčrt: 𝑎 2 = 𝑐 2 − 𝑏 2 a = 𝑐 2 − 𝑏 2 c = 20 2 − 12 2 c = 400−144 c = 256 c = 16 cm Velikost odvěsny pravoúhlého trojúhelníku je 16 cm.

33.6 Pythagorova věta v prostoru (můžeš kliknout na řešení) Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Elektronická učebnice - II. stupeň Zákadní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 33.6 Pythagorova věta v prostoru (můžeš kliknout na řešení) Vypočítej tělesovou úhlopříčku krychle: Truhla má tvar kvádru s vnitřními rozměry 2 m, 1 m a 75 cm. Jakou délku může mít nejdelší lišta, která se vejde do truhly? Víko se musí dát zavřít. Vypočítej délku tělesové úhlopříčky pravidelného šestibokého hranolu. Řešení: a = 9 cm us2 = 92 + 92 ut2 = us2 + 92 us = ? us = 162 ut = 243 ut = ? us = 12,73 cm ut = 15,59 cm Řešení: Délka tyče se rovná délce tělesové úhlopříčky. a = 2 m us2 = 22 + 12 ut2 = us2 + 0.752 b = 1 m us = 5 ut = 5,56 c = 75 cm = 0,75m us = 2,24 m ut = 2,36 m us = ? ut = ? 75cm 1m Nejdelší lišta může mít délku 2,36 metrů. 2m Řešení: Vypočítáme stěnovou úhlopříčku podstavy. a = 10 cm us = 2 . 10 𝑐𝑚 ut2 = us2 + 252 v = 25 cm us = 20 cm ut = 1 025 us = ? ut = 32 cm ut = ? Tělesová úhlopříčka má délku 32 cm.

33.7 CLIL - Pythagorean Theorem Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematics 33.7 CLIL - Pythagorean Theorem čtverec (čtvereční) - square délka - size napříč - across objevit - discover odmocnění - extraction odvěsna - leg pravý úhel - right angle přepona - hypotenuse příklad - example Pythagorova věta - Pythagorean Theorem rovnat se - equal strana - side trojúhelník - triangle úhlopříčka - diagonal vzdálenost - distance Mathematical dictionary Example 1: What is the diagonal distance across a square of size 1? Example 2: Does this triangle have a right angle? Is this equation valid? a2 + b2 = c2 a2 + b2 = 102 + 242 = 100 + 576 = 676 c2 = 262 = 676 They are equal, so ... Yes, it does have a right angle! a2 + b2 = c2 2 = c2 12 + 12 = c2 c2 = 2 1 + 1 = c2 c = √2 = 1.4142...

33.8 Test – Pythagorova věta Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 33.8 Test – Pythagorova věta Pro jaký trojúhelník platí Pythagorova věta? pro každý pro ostroúhlý pro rovnostranný pro pravoúhlý 2) Pokud je přepona pravoúhlého trojúhelníku označena c a odvěsny a, b , pak zní Pythagorova věta v matematickém zápisu takto: c2 = a2 + b2 c2 = a2 - b2 a2 = c2 + b2 c = a + b 4) Jaká je délka odvěsny a v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je-li délka druhé odvěsny b = 10 cm a délka přepony c = 26 cm? 16 20 24 36 7) Žebřík délky 5 m je opřen o zeď tak, že pata žebříku je od zdi vzdálena 1,4 m. Jak vysoko nad zemí je druhý konec žebříku? a) 3,6 m b) 4 m c) 4,8 m d) 4,4 m 8) Urči tělesovou úhlopříčku kvádru, jsou-li jeho rozměry 10cm, 20 cm a 30 cm. a) 22,36 cm b) 37,41 cm c) 140 cm d) nelze vypočítat Správné odpovědi: 1d 2a 3c 4c 5b 6c 7c 8b Test na známku

33.9 Anotace Autor Mgr. Marie Makovská Období 07 – 12/2011 Ročník Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 33.9 Anotace Autor Mgr. Marie Makovská Období 07 – 12/2011 Ročník 8. ročník Klíčová slova Pythagorova věta, trojúhelník, odvěsna, přepona, pravý úhel, druhá mocnina, druhá odmocnina Anotace Prezentace popisující vysvětlení a důkaz Pythagorovy věty a její užití v rovině a prostoru