Prutové těleso, výsledné vnitřní účinky prutů Radek Vlach Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky FSI VUT Brno Tel.: 54114 2860 e-mail: vlach.r@fme.vutbr.cz, http://www.umt.fme.vutbr.cz/~rvlach/

– prutové předpoklady => P&P I – … Prut – prut je popsán střednicí a příčným průřezem => základní těleso P&P I – prutové předpoklady => P&P I – … Prut ve statice Prut v pružnosti a pevnosti příčný průřez střednice Zatížený prut SR ANO NE statika dynamika P&P I

VVÚ – zatížený prut ve statické rovnováze obecný 3D případ Jestliže je ve statické rovnováze celý prut musí být ve statické rovnováze i jeho část ! plošné zatížení

Výsledné vnitřní účinky (VVÚ) jsou složky silové a momentové výslednice vnitřních sil v těžišti příčného průřezu, které spolu se soustavou vnějších silových účinků tvoří rovnovážnou silovou soustavu působící na část prutu.

N – normálová síla (namáhání tahem/tlakem) Ty,Tz – posouvající síla (namáhání smykem-střihem) Mk – kroutící moment (namáhání krutem) Moy,Moz – ohybové momenty (namáhání ohybem) Znaménková konvence: VVÚ – N,T,Mk,Mo považujeme za kladné, když mají smysl kladných (záporných) os lokálního souřadnicového systému pro uvolněný prvek (část prutu) obsahující počáteční L (koncový P) bod střednice.

Určování VVÚ úkolem je - vyjádřit VVÚ pro obecný bod střednice - znázornit průběh VVÚ podél střednice - určit extrémní hodnoty (namáhání) Příčný průřez nemusí být pro určování VVÚ zadán !!! Prut může být zatížen obecnou silovou soustavou - osamělé síly v bodech Ai střednice - osamělé momenty (silové dvojice) v bodech Bj střednice - liniové síly dané měrným liniovým zatížením podél střednice nebo po její části - liniové momenty podél střednice nebo její části Metody stanovení VVÚ Integrální přístup Diferenciální přístup

atd.1) Integrální přístup určování VVÚ bodem R vedeme řez w → WL (ϵ bod L), WP (ϵ bod P) VVÚ určujeme z podmínek SR jedné části prutu. Volíme prvek (část), pro kterou je řešení jednoduší Jestliže je prut ve SR, tak jeho každá část musí být ve SR a musí splňovat podmínky SR: 3D případ 2D případ

d) pro libovolný bod (řez) střednice můžeme určit VVÚ v závislosti na poloze bodu R → průběh VVÚ podél střednice e) kde vedeme řezi, abychom získaly průběh VVÚ? Na prut působí soustav zatěžujících silových účinků, které lze vyjádřit funkcí s konečným počtem bodů nespojitosti podél střednice. Tyto body představují hranice intervalů a v každém intervalu musí být zvolen jeden řez. VVÚ má charakter funkce ↔ na hranici intervalů může být nespojitá f) Vyšetříme průběh VVÚ podél střednice – extrémy VVÚ (početně nebo graficky)

atd.2) Diferenciální přístup určování VVÚ Schwendlerova věta Velikost T(x) je v daném bodě střednice směrnicí tečny k průběhu Mo(x).

Pomocná pravidla pro vyšetřování VVÚ a) Skok v průběhu T(x) může být jen tehdy, jestliže v tomto místě působí osamělá síla. T>0 – vlevo od řezu směřuje síla vzhůru b) Kde je skok v průběhu T(x), musí být zlom v průběhu Mo(x) c) Skok v průběhu Mo(x) může být jen tehdy, jestliže v tomto místě působí osamělá silová dvojice. d) Jeli prut ztížen jen osamělými silami a silovými dvojicemi, jsou průběhy T(x) konstantní a Mo(x) je tvořen lomenými přímkami. e) Kde průběh T(x) prochází nulou ma Mo(x) extrém. f) Pro T(x) >0 je Mo(x) rostoucí Pro T(x) <0 je Mo(x) klesající

g) V inflexním bodě průhybové čáry je Mo(x)=0 pro konvexní průhybovou čáru je Mo(x) >0 pro konkávní průhybovou čáru je Mo(x) <0 h) Na konci prutu jsou složky VVÚ nulové, jestliže zde nepůsobí odpovídající složka zatížení ch) využití symetrie a antisymetrie na rovině symetrie je T(x)=0 a Mo(x)≠0 na rovině antisymetrie je T(x)≠0 a Mo(x)=0

Příklad Pozn.: Vetknutí není nutné uvolňovat pro určení VVÚ