Pohyby v gravitačním poli jednoho tělesa Uvažujme situaci, kdy jedno těleso svojí hmotností natolik převyšuje svojí hmotností ostatní tělesa, že ta ostatní lze v prvním přiblížení zanedbat a je možné uvažovat gravitační pole pouze tohoto jednoho tělesa (typický případ: Sluneční soustava – pohyby planet v gravitačním poli Slunce) V této situaci se tělesa pohybují zásadně po kuželosečkách (elipsa, kružnice-speciální případ elipsy, parabola, hyperbola, ale i přímka). Konkrétní křivka závisí na celkové mechanické energii pohybujícího se tělesa (ta zůstává díky konzervativnosti pole stálá!)

Pohyby v gravitačním poli jednoho tělesa 2 E < 0 → Ekin + Epot < 0, tedy ½*m*v2 – G*M*m/r < 0, jde o pohyb po elipse (čím blíže je součet k nule, tím více je protáhlá) – příklad: pohyb planet Sluneční soustavy E = 0 → Ekin + Epot = 0, tedy ½*m*v2 – G*M*m/r = 0, jde o pohyb po parabole (hraniční situace – příklad: pohyb některých komet) E > 0 → Ekin + Epot > 0, tedy ½*m*v2 – G*M*m/r > 0, jde o pohyb po hyperbole – příklad: opět některé komety Pokud je v = 0 (bez ohledu na potenciální energii), padá uvažované těleso po části přímky na těleso, které pole vyvolává) 4) v = 0 1) E < 0 3) E > 0 2) E = 0 Asymptota hyperboly

Keplerovy zákony Kepler (1609) odpozoroval, že pro pohyb planet kolem Slunce platí 3 základní zákony. Tyto zákony je možné dokázat i náročnějším teoretickým výpočtem 1.Keplerův zákon – Planety se pohybují po elipsách, v jejichž společném ohnisku je Slunce 2. Keplerův zákon – Plošná rychlost (tj. plocha opsaná průvodičem za jednotku času) je pro danou planetu konstantní (dá se ukázat, že jde o důsledek zákona zachování momentu hybnosti) 3. Keplerův zákon – 2. mocniny oběžných dob planet jsou ve stejném poměru jako 3. mocniny jejich hlavních poloos (matematicky: T12/T22 = a13/a23 planeta s dobou oběhu T2 planeta s dobou oběhu T1 a1 a2 Slunce – společné ohnisko

Keplerovy zákony - důsldky Bod, v němž se planeta dostane nejblíže ke Slunci (v případě Země vzdálenost rp = 147,1 mil.km) se nazývá perihélium (přísluní). Podle 2. KZ v něm má Země největší rychlost Bod, v němž se planeta dostane nejdále od Slunce (v případě Země vzdálenost ra = 152,1 mil.km) se nazývá afélium (odsluní). Podle 2. KZ v něm má Země nejmenší rychlost Přísluním prochází Země v době, kdy je u nás zima → zima je u nás kratší než léto! (na jižní polokouli opačně) afélium – nejnižší rychlost perihélium – nejvyšší rychlost rp ra Slunce – ohnisko

Kosmické rychlosti Vrhneme těleso rychlostí v0 z bodu s malou výškou h nad povrchem Země. Jak se bude pohybovat? A) v0 = 0  volný pád na Zem B) v0 < vk  pád na Zem po parabole (vodorovný vrh) C) v0 = vk  pohyb po kružnici, vk = √G*M/R = 7,9 m/s D) vp < v0 < vk  pohyb po elipse E) v0 = vp = √2G*M/R = 11,3 m/s  pohyb po parabole, únik z grav. pole Země F) v0 > vp  pohyb po hyperbole, otázka úniku ze slun. soustavy vk - 1. kosmická rychlost (kruhová rychlost) – vp - 2. kosmická rychlost (parabolická rychlost) vp = √2* vk