Slovní úlohy o pohybu Varianta 2: Pohyby stejným směrem.

Jak při řešení rovnic postupovat? 1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát). 2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. 3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu. 4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy a na jejím základě sestav rovnici a vyřeš ji. 5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy. 6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.

Slovní úloha o pohybu – varianta 2. Touto variantou se myslí úlohy, ve kterých pohybující se tělesa vycházejí, vyjíždějí, odlétají ze stejného místa, jen v jiném čase a pohybují se stejným směrem. Jelikož je těleso vyrážející později rychlejší, předpokládá se, že těleso první za určitou dobu dostihne. A C B A B

Slovní úloha o pohybu – varianta 2. Ukázka zadání takové úlohy: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu předjede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?

s1 = s2 Slovní úloha o pohybu – varianta 2. A C B s1 A B s2 Obě pohybující se tělesa přitom urazí stejnou dráhu, a tudíž platí, že dráha s1 se rovná dráze s2. Tato logická rovnost plynoucí z textu úlohy je i základem pro sestavení rovnice pro výpočet hledané neznámé. s1 = s2

v1.t1 = v2.t2 s1 = s2 Slovní úloha o pohybu – varianta 2. A C B s1=v1.t1 s1 A B s2=v2.t2 s2 Ujetá dráha se přitom vypočítá jako součin průměrné rychlosti pohybujícího se tělesa a doby pohybu: s = v . t v1.t1 = v2.t2 s1 = s2

Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede? A v1= 4 km/h C B t A v2= 24 km/h B Bod C je místo, kde se bude nacházet chodec v době, kdy bude cyklista teprve vyjíždět. A potom ty neznámé… V našem případě je to čas pohybu obou osob. Při řešení nejen slovních úloh o pohybu je pro větší názornost vždy velmi přínosný obrázek vykreslující situaci úlohy. Do něj si zapíšeme všechny známé i neznámé údaje. Nejprve tedy ty známé … Jelikož o čase cyklisty něco víme, bude tou úplně neznámou čas chodce. Označíme si jej tedy t.

Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede? A v1= 4 km/h C B t A v2= 24 km/h B Bod C je místo, kde se bude nacházet chodec v době, kdy bude cyklista teprve vyjíždět. Jaký tedy bude čas cyklisty a co o něm vlastně víme? Víme, že cyklista vyjel o 20 minut později a tedy i čas bude o 20 minut kratší. Ovšem pozor! Rychlost máme vyjádřenou v km/h. Můžeme tedy počítat i s minutami?

A jej, perioda! Co s tím? Zaokrouhlíme to? Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede? A v1= 4 km/h C B t A v2= 24 km/h B Víme, jak na to? Správně. Nemůžeme, a proto si 20 minut převedeme na hodiny. A jej, perioda! Co s tím? Zaokrouhlíme to? 20 : 60 = 0,33333333333333 … Kdepak. Každé zaokrouhlení znamená odchýlení od přesného výsledku a my přece chceme počítat přesně!

Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede? A v1= 4 km/h C B t A v2= 24 km/h B Správně, pomocí zlomků. Tak co s tím? Jak jinak a přesně můžeme vyjádřit část celku, když nám to desetinná čísla neumožňují? A je to! Máme, co jsme potřebovali.

Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede? A v1= 4 km/h C B t A v2= 24 km/h B t – 1/3 Jak tedy vyjádříme, že cyklista vyjel o 20 minut, což je 1/3 hodiny později a což znamená, že jeho čas bude o 1/3 kratší?

Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede? s1 = v1 . t = 4 . t A v1= 4 km/h C B t A v2= 24 km/h B t – 1/3 s2 = v2 . (t-1/3) = 24 . (t-1/3) A protože víme, že s1 se rovná s2, tak platí: 4t = 24.(t-1/3)

Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede? Kdyby už někdo nevěděl, jak se přijde na minuty, tak: 0,4 . 60 = 24 Prostě převod jednotek. 

Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede? s1 = v1 . t = 4 . t A v1= 4 km/h C B t t1 = 24 minut A v2= 24 km/h B t – 1/3 s2 = v2 . (t-1/3) = 24 . (t-1/3) Tak jsme vypočítali, že čas t je 24 minut. Znamená to tedy, že cyklista dojede chodce za 24 minut? Kdepak. POZOR! Čas t je časem chodce. Znamená to tedy, že 24 minut půjde chodec, než jej cyklista dojede.

Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede? s1 = v1 . t = 4 . t A v1= 4 km/h C B t1 = 24 minut A v2= 24 km/h B t – 1/3 t2 = 4 min s2 = v2 . (t-1/3) = 24 . (t-1/3) O cyklistovi však víme, že vyjel za chodcem až za 20 minut, což znamená, že jeho čas je o 20 minut kratší! 24 – 20 = 4 min

No protože si opět musíme dát pozor na stejné jednotky. Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede? s1 = v1 . t = 4 . t A v1= 4 km/h C B t1 = 24 minut A v2= 24 km/h B t2 = 4 min A proč ne 4, ale 4/60? No protože si opět musíme dát pozor na stejné jednotky. s2 = v2 . (t-1/3) = 24 . (t-1/3) A kolik kilometrů cyklista ujede?

Cyklista dojede chodce Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede? t = 4 min s = 1,6 km Na závěr se provede zkouška toho, zda získané hodnoty vyhovují podmínkám úlohy: Kolik kilometrů ušel chodec při rychlosti 4 km/h za 24 minut své chůze do doby, než jej cyklista dojel? Cyklista dojede chodce za 4 minuty a ujede přitom 1,6 km. Chodec ušel do doby, než jej cyklista dojel, stejnou dráhu jako on. Můžeme tedy napsat odpověď:

Příklad: Za cyklistou, který jel rychlostí 16 km/h, vyjel o 3 hodiny později motocyklista rychlostí 48 km/h. Kdy motocyklista dohonil cyklistu?

Příklad: Za cyklistou, který jel rychlostí 16 km/h, vyjel o 3 hodiny později motocyklista rychlostí 48 km/h. Kdy motocyklista dohonil cyklistu? s1 = v1 . t = 16 . t A v1= 16 km/h C B t t A v2= 48 km/h B t – 3 s2 = v2 . (t-3) = 48 . (t-3) Motocyklista dojel cyklistu za 1,5 hodiny.

Příklad: Z vesnice vyjel traktor rychlostí 20 km/h Příklad: Z vesnice vyjel traktor rychlostí 20 km/h. Za 10 minut jel za ním motocyklista rychlostí 60 km/h. Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti od vesnice dohoní motocyklista traktoristu?

Příklad: Z vesnice vyjel traktor rychlostí 20 km/h Příklad: Z vesnice vyjel traktor rychlostí 20 km/h. Za 10 minut jel za ním motocyklista rychlostí 60 km/h. Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti od vesnice dohoní motocyklista traktoristu? s1 = v1 . t = 20 . t A v1= 20 km/h C B t t A v2= 60 km/h B t – 1/6 s2 = v2 . (t-1/6) = 60 . (t-1/6) Motocyklista dohoní traktoristu za 5 minut, ve vzdálenosti 5 kilometrů.

Příklad: V 7 hodin vyšel chodec průměrnou rychlostí 5 km/h Příklad: V 7 hodin vyšel chodec průměrnou rychlostí 5 km/h. V 10 hodin vyjel za ním cyklista rychlostí 14 km/h. Kdy ho dojede?

Příklad: V 7 hodin vyšel chodec průměrnou rychlostí 5 km/h Příklad: V 7 hodin vyšel chodec průměrnou rychlostí 5 km/h. V 10 hodin vyjel za ním cyklista rychlostí 14 km/h. Kdy ho dojede? s1 = v1 . t = 5 . t A v1= 5 km/h C B t t A v2= 14 km/h B t – 3 s2 = v2 . (t-3) = 14 . (t-3) Cyklista dojede chodce v 11:40 hodin.

Příklad: V 6:30 hodin vyplul z přístavu parník plující rychlostí 12 km/h. Přesně v 10:00 hodin za ním vyplul motorový člun, který plul průměrnou rychlostí 40 km/h. V kolik hodin dohoní člun parník?

Příklad: V 6:30 hodin vyplul z přístavu parník plující rychlostí 12 km/h. Přesně v 10:00 hodin za ním vyplul motorový člun, který plul průměrnou rychlostí 40 km/h. V kolik hodin dohoní člun parník? s1 = v1 . t = 12 . t A v1= 12 km/h C B t t A v2= 40 km/h B t – 3,5 s2 = v2 . (t-3,5) = 40 . (t-3,5) Člun dohoní parník v 11:30 hodin.