Moment hybnosti Moment hybnosti L je stejně jako moment síly určen jako součin velikosti ramene d a příslušné veličiny (tj. v našem případě hybnosti p). Je to vektorová veličina! Obecně může být určován vůči bodu či vůči ose otáčení, my jej budeme uvažovat vůči ose kolmé k nákresně. Matematicky L = p*d, kde d je kolmá vzdálenost vektoru hybnosti od osy otáčení. Rozměr L: L = p*d = m*v*d→ rozměr je kg*(m*s-1)*m = = kg*m2*s-1. Pro moment hybnosti opět platí princip superpozice, výsledný moment hybnosti se určí jako vektorový součet dílčích momentů φ p r d Bod O L = r*p*sin φ = p*d

2. impulsová věta 2. impulsová věta je analogií 2. NZ pro rotační pohyb soustavy HB či tělesa. Platí, že časová změna (derivace) momentu hybnosti je rovna výslednici momentů vnějších sil ME působících na soustavu HB či těleso (vektorový součet všech dílčích momentů pro jednotlivé HB resp. elementy). Matematicky: ∆L/ ∆t = ME , pokud ME = 0, platí ∆L/ ∆t = 0 → L = konst. (zákon zachování momentu hybnosti - ZZMH). Důkaz 2.IV: http://physics.mff.cuni.cz/kfpp/skripta/kurz_fyziky_pro_DS/www/fyzika.html, MCH1, před vztahem 5.49. Poznámka: Důsledkem ZZMH je např. 2. Keplerův zákon – zákon ploch

Energie rotačního pohybu 1 Zkusme se nyní na rotační pohyb podívat z hlediska jeho kinetické energie. Pro posuvný pohyb závisí kinetická energie na rychlosti v a hmotnosti m vztahem Ekinp = ½*m*v2. Analogií k rychlosti v pro rotační pohyb logicky bude úhlová rychlost ω. Ale co nahradí ve vztahu pro kinetickou energii rotačního pohybu hmotnost m?? Záleží na tom, jak je hmota rozprostřená kolem osy otáčení, čím dál je od ní, tím bude mít při rotaci úhlovou rychlostí ω větší rychlost v (platí v = ω*r, kde r je vzdálenost od osy rotace) a tím větší kinetickou energii…

Energie rotačního pohybu 2 Rozložení hmoty vůči dané pevné ose otáčení popisuje skalární veličina zvaná moment setrvačnosti J (analogie hmotnosti pro rotaci). Vypočte se při znalosti hmotnosti hmotných bodů a jejich vzdáleností od osy otáčení následovně: Pro těleso pak je třeba obecně řešit integrací: Pro kinetickou energii rotačního pohybu pak platí Ekinr = ½*J*ω2. Pokud se realizuje zároveň rotační i posuvný pohyb (např. válec na nakloněné rovině), je celková kinetická energie dána vztahem Ekin = Ekinp + Ekinr = ½*m*v2 + ½*J*ω2.

Moment setrvačnosti Moment setrvačnosti J vůči dané ose má vždy rozměr hmotnost*vzdálenost na druhou, je to tedy kg*m2. Konkrétní vzorec pro danou osu a dané těleso je třeba určit integrálem. Příklady: J = ½*m*R2 pro válec o poloměru podstavy R, hmotnosti m a osu rotace kolmou na podstavu a procházející středem J = 2/5*m*R2 pro kouli o poloměru R, hmotnosti m a libovolnou osu procházející středem. J = m*R2 pro obruč o hmotnosti m a poloměru R a kolmou osu procházející středem obruče.

Souvislost momentů hybnosti a setrvačnosti Pro rotaci tělesa kolem pevné osy platí důležitý vztah L = J*ω (L jednotlivých elementů má stejný směr se směrem osy). Pokud je výsledný působící moment síly Mv na těleso roven nule, zůstává moment hybnosti L konstantní (2. impulsová věta). Poté platí, že součin J*ω je konstantní v čase, pokud se zmenší J, zvětší se ω a naopak. Příklady využití: skoky v krasobruslení – dát ruce k tělu, snížit J, tím zvýšit rychlost rotace gymnastika – obdobný princip

Pohybová rovnice pro rotační pohyb Z 2. IV rovnou plyne tzv. pohybová rovnice pro rotační pohyb: ∆L/dt = ME  ∆(Jˑω)/dt = ME  Jˑ(∆ ω/dt) = ME Jˑε = ME Jde o analogii 2.NPZ ve tvaru mˑa = F. Příklad 1: Kotouč o momentu setrvačnosti 50 kgm2 roztáčíme stálým momentem síly 100 Nm. Za jak dlouho dosáhne úhlové rychlosti 10 rad/s a jakou dráhu do té doby urazí? Příklad 2: Na rumpálu o poloměru válce 10 cm a hmotnosti 25 kg je zavěšen kbelík s vodou o hmotnosti 15 kg. Určete, za jakou dobu sjede kbelík do studny hluboké 30 m v důsledku vlastní tíhy. Tření apod. zanedbejte.

Moment setrvačnosti: Steinerova věta Pokud znám moment setrvačnosti vůči ose procházející těžištěm JT a potřebuji určit moment Jo vůči rovnoběžné ose nacházející se ve vzdálenosti a, použiji Steinerovu větu: Jo = JT + m*a2, kde m je hmotnost tělesa. Odvození: T je počátek soustavy, osa kolmá na xy a y T o x