MATEMATIKA Objem a povrch jehlanu 2

Název projektu: Nové ICT rozvíjí matematické a odborné kompetence Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0228 Název školy: Střední odborná škola Litovel, Komenského 677 Číslo materiálu: III-2-07-16_Objem-a-povrch-jehlanu-2 Autor: Mgr. Stanislav Prucek Tematický okruh: Matematika Ročník: III. Datum tvorby: leden 2014 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Stanislav Prucek

Objem a povrch jehlanu - příklady Cheopsova pyramida je 145 metrů vysoká, její podstavou je čtverec o straně délky 232,7 metrů. Kámen v pyramidě má hustota 2700 𝑘𝑔 𝑚 3 . Jaká je hmotnost pyramidy? ? Vypočítáme obsah podstavy pyramidy: 𝑺 𝒑 = 𝒂 𝟐 𝑺 𝒑 = 𝟐𝟑𝟐,𝟕 𝟐 =𝟓𝟒 𝟏𝟒𝟗,𝟐𝟗 𝒎 𝟐 Vypočítáme objem pyramidy: 𝑽= 𝑺 𝒑 ∙𝒗 𝑉=54 149,29∙145 𝑽=𝟕 𝟖𝟓𝟏 𝟔𝟒𝟕,𝟎𝟓 𝒎 𝟑 Vypočítáme hmotnost pyramidy: 𝒎=𝝆∙𝑽 𝑚=2 700∙7 851 647,05 𝒎=𝟐𝟏 𝟏𝟗𝟗 𝟒𝟒𝟕 𝟎𝟑𝟓 𝒌𝒈 Hmotnost Cheopsovy pyramidy je 21 199 447 𝒕.

? Spotřebuje se 𝟕𝟒𝟓,𝟓 𝒎 𝟐 pozinkovaného plechu. Kolik 𝑚 2 pozinkovaného plechu se spotřebuje na pokryti střechy věže, která má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu, hrana podstavy je 7 𝑚, výška věže je 9 𝑚. Při pokrývání se počítá s 5 % odpadem plechu? ? Určíme výšku boční stěny pláště z trojúhelníku 𝑺𝑫𝑽 a plášť jehlanu: 𝒄 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝑺 𝒑𝒍 =𝟑∙ 𝑺 ∆ 𝒗 𝒂 𝟐 = 𝒗 𝟐 + 𝒂 𝟐 𝟐 𝑺 𝒑𝒍 =𝟑∙ 𝒂 ∙ 𝒗 𝒂 𝟐 𝑣 𝑎 2 = 9 2 + 7 2 2 𝑆 𝑝𝑙 =3∙ 7 ∙ 9,66 2 𝑣 𝑎 = 93,25 𝑆 𝑝𝑙 =3∙236,67 𝒗 𝒂 ≐𝟗,𝟔𝟔 𝒎 𝑺 𝒑𝒍 ≐𝟕𝟏𝟎 𝒎 𝟐 100% … 710 𝑚 2 1% … 7,1 𝑚 2 105% … 105∙7,1=745,5 𝑚 2 Spotřebuje se 𝟕𝟒𝟓,𝟓 𝒎 𝟐 pozinkovaného plechu. zpět

? Těžítko tvaru pravidelného čtyřstěnu má délku podstavné hrany 𝑎=5 𝑐𝑚. Vypočtěte povrch těžítka. Vypočítáme obsah podstavy trojbokého jehlanu (rovnostranný trojúhelník): 𝑺 𝒑 = 𝒂 𝟐 𝟒 ∙ 𝟑 𝑺 𝒑 = 𝟓 𝟐 𝟒 ∙ 𝟑 ≐𝟏𝟎,𝟖 𝒄𝒎 𝟐 Vypočítáme povrch pravidelného čtyřstěnu: 𝑺=𝟒∙ 𝑺 𝒑 𝑺=𝟒∙𝟏𝟎,𝟖=𝟒𝟑,𝟐 𝒄𝒎 𝟐 Povrch těžítka je 𝟒𝟑,𝟐 𝒄𝒎 𝟐 . zpět

Vypočtěte délku podstavné hrany pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li jeho tělesová výška 60 𝑚𝑚 a objem 126 𝑐𝑚 3 . ? Převedeme tělesovou výšku na centimetry: 𝒗=𝟔𝟎 𝒎𝒎=𝟔 𝒄𝒎 Dosadíme do vzorce a vyřešíme: 𝑽= 𝑺 𝒑 ∙𝒗 𝑉= 𝑎 2 ∙𝑣 126= 𝑎 2 ∙6 𝑎 2 =21 𝒂= 𝟐𝟏 ≐𝟒,𝟓𝟖 𝒄𝒎 Podstavná hrana jehlanu má délku přibližně 𝟒,𝟓𝟖 𝒄𝒎. zpět

Anotace: Tato prezentace slouží k výkladu Stereometrie – Objem a povrch těles. Žáci znají tělesa a umí popsat všechny jejich části. Znají vzorce pro výpočet objemu a povrchu hranolu, krychle, kvádru, válce, jehlanu, kužele a koule. Počítají objemy a povrchy uvedených těles. Použité zdroje: doc. RNDr. Emil Calda, CSc.: Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory středních odborných učilišť, 2.díl, 1. vydání 2003, Prometheus, ISBN 80-7196-260-0 RNDr. Milada Hudcová, Libuše Kubíčková: Sbírka úloh z matematiky pro střední odborná učiliště a střední odborné školy, 1. vydání 1994, Prometheus, ISBN 80-85849-40-2 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Stanislav Prucek zpět