Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli Matematika – 9. ročník *

Ekvivalentní úpravy rovnic * 16. 7. 1996 Ekvivalentní úpravy rovnic Řešení rovnice se nezmění pokud: - přičteme k oběma stranám rovnice stejné číslo - odečteme od obou stran rovnice stejné číslo - přičteme k oběma stranám rovnice stejný mnohočlen - odečteme od obou stran rovnice stejný mnohočlen *

Ekvivalentní úpravy rovnic * 16. 7. 1996 Ekvivalentní úpravy rovnic Řešení rovnice se nezmění pokud: - vynásobíme obě strany rovnice stejným číslem různým od nuly - vydělíme obě strany rovnice stejným číslem různým od nuly - zaměníme levou a pravou stranu rovnice Ekvivalentní úprava rovnice je taková úprava, při které rovnice před úpravou i rovnice po úpravě mají stejné kořeny. *

Lineární rovnice 8x – 3 = 6 + 5x 8x – – 3 = 6 + 5x + 3x = 9 / : 3 x = * 16. 7. 1996 Lineární rovnice Řešte rovnice a proveďte zkoušku: Postup při řešení: 1. Převedeme na jednu stranu rovnice výrazy s proměnnou a na druhou absolutní členy (čísla). 8x – 3 = 6 + 5x To v praxi provádíme tak, že to čeho se chceme „zbavit“, převedeme na druhou stranu rovnice s opačným znaménkem. 8x – – 3 = 6 + 5x + 3x = 9 / : 3 2. Sečteme všechny proměnné na jedné straně a čísla na druhé straně rovnice. x = 3 3. Pokud je to nutné, vydělíme obě strany rovnice číslem udávající počet proměnných. L = 8 ∙ 3 – 3 = 21 4. Provedeme zkoušku správnosti. P = 6 + 5 ∙ 3 = 21 *

Rovnice 4x – 3 + 2x = 15 – 2x + 6 6x – 3 = 21 – 2x 6x + 2x = 21 + 3 8x * 16. 7. 1996 Rovnice Řešte rovnice a proveďte zkoušku: 1. Obě strany upravíme → sečteme či odečteme co sečíst či odečíst jde. 4x – 3 + 2x = 15 – 2x + 6 6x – 3 = 21 – 2x 2. Řešíme podle předchozího návodu. 3. Provedeme zkoušku správnosti. 6x + 2x = 21 + 3 8x = 24 / : 8 x = 3 L = 4 ∙ 3 – 3 + 2 ∙ 3 = 15 P = 15 – 2 ∙ 3 + 6 = 15 *

Rovnice 4(x – 3) = 12 4x – 12 = 12 4x = 12 + 12 4x = 24 / : 4 x = 6 * 16. 7. 1996 Rovnice Řešte rovnice a proveďte zkoušku: 4(x – 3) = 12 1. Pokud je v rovnici závorka, odstraníme ji. 4x – 12 = 12 2. Řešíme podle předchozího návodu. 3. Provedeme zkoušku správnosti. 4x = 12 + 12 4x = 24 / : 4 x = 6 L = 4 ∙ (6 – 3) = 12 P = 12 *

Rovnice 𝒙−𝟑 𝟒 =𝟓 /∙𝟒 𝒙−𝟑 𝟒 ∙ 𝟒 = 𝟓 ∙ 𝟒 𝒙−𝟑 = 𝟐𝟎 𝒙 = 𝟐𝟎 + 𝟑 𝒙 = 𝟐𝟑 * 16. 7. 1996 Rovnice Řešte rovnice a proveďte zkoušku: 𝒙−𝟑 𝟒 =𝟓 /∙𝟒 1. Pokud je v rovnici zlomek, vynásobíme celou rovnici (nejmenším) společným jmenovatelem. 2. Řešíme podle předchozího návodu. 𝒙−𝟑 𝟒 ∙ 𝟒 = 𝟓 ∙ 𝟒 3. Provedeme zkoušku správnosti. 𝒙−𝟑 = 𝟐𝟎 * vynásobit celou rovnici znamená vynásobit každý člen rovnice na obou jejích stranách 𝒙 = 𝟐𝟎 + 𝟑 𝒙 = 𝟐𝟑 L = 𝟐𝟑−𝟑 𝟒 = 𝟓 P = 𝟓 *

* 16. 7. 1996 Postup při řešení 1. Jsou-li v rovnici závorky, zbav se jich (výpočtem, roznásobením). 2. Jsou-li v rovnici zlomky, odstraň je (vynásob rovnici společným jmenovatelem). Když můžeš jednotlivé strany rovnice zjednodušit, zjednoduš je (sečti, odečti, vynásob či vyděl, co se dá). 3. Členy s neznámou převeď na jednu stranu, ostatní členy na stranu druhou. 4. Vypočítej neznámou. 5. Urči podmínky řešitelnosti a proveď zkoušku. *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli Čím se liší rovnice s neznámou ve jmenovateli? 𝑥−3 2𝑥+4 = 𝑥−1 5+2𝑥 3 𝑥 =5 2 𝑥 + 2 3 = 𝑥+5 4𝑥 −3 𝑥−2 = 4 5 𝑥−3 2 2𝑥−7 +4=0 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli Řeš rovnice: 𝑥+3 𝑥 =−2 𝑥+3 2 =−2 Srovnáme si řešení zadané rovnice s dosud řešenými rovnicemi. 𝑥+3 𝑥 =−2 𝑥+3 𝑥 =−2 /∙𝑥 𝑥+3 2 =−2 /∙2 𝑥+3 2 =−2 Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici společným jmenovatelem. 𝑥+3=−2𝑥 𝑥+3=−4 Další postup je stejný s dosud řešenými lineárními rovnicemi. 𝑥+2𝑥=−3 𝑥=−4−3 3𝑥=−3 𝑥=−7 𝑥=−1 Změnou je to, že ve společném jmenovateli nemusí být pouze číslo, ale i výraz s proměnnou. *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli Řeš rovnici: 𝑥+3 𝑥 =−2 Další novinkou při řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli, je určení podmínek řešitelnosti. 𝑥+3 𝑥 =−2 Nelze dělit nulou  𝑥≠0 Na závěr musíme provést zkoušku: 𝐿= −1+3 −1 =−2 𝑃=−2 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 5 𝑎 −3= 2 𝑎 5 𝑎 −3= 2 𝑎 /∙𝑎 Řeš rovnici: 5−3𝑎=2 −3𝑎=2−5 −3𝑎=−3 −3𝑎=−3 /:(−3) 𝑎=1 Podmínky: 𝑎≠0 𝐿= 5 1 −3=2 𝐿= 2 1 =2 Zkouška: *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 𝒙=𝟎,𝟓;𝒙≠𝟎 Řeš rovnici: 10= 5 𝑥 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 𝒚=𝟏;𝒚≠𝟎 Řeš rovnici: 4− 2−3𝑦 𝑦 =5 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 𝒛=𝟓;𝒛≠𝟎 Řeš rovnici: 𝑧−1 𝑧 +2=4− 6 𝑧 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 2+𝑎 𝑎 + 1 3 =2 /∙3𝑎 2+𝑎 𝑎 + 1 3 =2 Řeš rovnici: 1. Najdeme nejmenší společný jmenovatel. 2. Celou rovnici jím vynásobíme. 3(2+𝑎)+𝑎=6𝑎 3. Řešíme rovnici. 6+3𝑎+𝑎=6𝑎 4. Určíme podmínky řešitelnosti. 6=6𝑎−3𝑎−𝑎 6=2𝑎 6=2𝑎 /:2 𝑎≠0 𝑎=3 5. Provedeme zkoušku rovnice. 𝐿= 2+3 3 + 1 3 = 5 3 + 1 3 =2 𝑃=2 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 4 𝑏 −1= 2−𝑏 3𝑏 /∙3b 4 𝑏 −1= 2−𝑏 3𝑏 Řeš rovnici: 1. Najdeme nejmenší společný jmenovatel. 2. Celou rovnici jím vynásobíme. 12−3𝑏=2−𝑏 3. Řešíme rovnici. −3𝑏+𝑏=2−12 4. Určíme podmínky řešitelnosti. −2𝑏=−10 −2𝑏=−10 /:(−2) 𝑏=5 𝑏≠0 5. Provedeme zkoušku rovnice. 𝐿= 4 5 −1= 4 5 − 5 5 =− 1 5 𝑃= 2−5 3∙5 = −3 15 =− 1 5 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli Řeš rovnici: 1. Najdeme nejmenší společný jmenovatel. 2. Celou rovnici jím vynásobíme. 1 𝑥 − 5 2𝑥 + 5 3𝑥 = 1 6 /∙6𝑥 1 𝑥 − 5 2𝑥 + 5 3𝑥 = 1 6 3. Řešíme rovnici. 4. Určíme podmínky řešitelnosti. 6−15+10=𝑥 5. Provedeme zkoušku rovnice. 𝑥=1 𝑥≠0 𝐿= 1 1 − 5 2∙1 + 5 3∙1 =1− 5 2 + 5 3 = 6 6 − 15 6 + 10 6 = 1 6 𝑃= 1 6 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 𝒚=−𝟏;𝒚≠𝟎 Řeš rovnici: 1 2 + 7 10𝑦 − 2 5𝑦 = 1 5 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 𝒛=𝟔;𝒛≠𝟎 Řeš rovnici: 3 𝑧 −2= 1 𝑧 − 5 3 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 𝒂=𝟓;𝒂≠𝟎 Řeš rovnici: 1 3 − 23−𝑎 3𝑎 = 7 12 − 1 4𝑎 − 7 𝑎 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 𝑦+1 𝑦−3 =3 /∙(𝑦−3) 𝑦+1 𝑦−3 =3 Řeš rovnici: 1. Najdeme nejmenší společný jmenovatel. 2. Celou rovnici jím vynásobíme. 𝑦+1=3(𝑦−3) 3. Řešíme rovnici. 𝑦+1=3𝑦−9 4. Určíme podmínky řešitelnosti. 𝑦−3𝑦=−9−1 5. Provedeme zkoušku rovnice. −2𝑦=−10 /:(−2𝑦) −2𝑦=−10 𝑦=5 𝑦≠3 𝐿= 5+1 5−3 = 6 2 =3 𝑃=3 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 4𝑧−3 2𝑧+2 = 1 2 Řeš rovnici: 1. Rozložíme vše na součin. 2. Najdeme nejmenší společný jmenovatel. 4𝑧−3 2(𝑧+1) = 1 2 /∙2(𝑧+1) 4𝑧−3 2(𝑧+1) = 1 2 3. Celou rovnici jím vynásobíme. 4. Řešíme rovnici. 4𝑧−3=𝑧+1 5. Určíme podmínky řešitelnosti. 4𝑧−𝑧=1+3 6. Provedeme zkoušku rovnice. 3𝑧=4 /:3 3𝑧=4 𝑧≠−1 𝑧= 4 3 𝐿= 4∙ 4 3 −3 2∙ 4 3 +2 = 16 3 − 9 3 8 3 + 6 3 = 7 3 14 3 = 21 42 = 1 2 𝑃= 1 2 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 𝒙=−𝟏𝟑;𝒙≠−𝟐 Řeš rovnici: 3𝑥−5 𝑥+2 =4 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 𝒙=−𝟕;𝒙≠−𝟑 Řeš rovnici: 3= 𝑦−5 𝑦+3 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 𝒙= 𝟏 𝟔 ;𝒙≠ 𝟑 𝟒 Řeš rovnici: 3 2 = 3𝑧−4 4𝑧−3 *

Rovnice s neznámou ve jmenovateli * 16. 7. 1996 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 𝒙=−𝟏𝟎,𝟓;𝒙≠−𝟑 Řeš rovnici: 2𝑥+5 6 + 10 𝑥+3 = 2𝑥−3 6 *