Slovní úlohy o pohybu Varianta 1: Pohyby proti sobě (1. část)

Jak při řešení rovnic postupovat? 1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát). 2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. 3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu. 4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy a na jejím základě sestav rovnici a vyřeš ji. 5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy. 6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.

Slovní úloha o pohybu – varianta 1. Touto variantou se myslí úlohy, ve kterých pohybující se tělesa vycházejí, vyjíždějí, odlétají ze dvou různých míst a pohybují se proti sobě tak, aby se v jistém okamžiku a v jisté vzdálenosti od obou míst střetla. A B

Slovní úloha o pohybu – varianta 1. Ukázka zadání takové úlohy: Ze dvou míst A a B vzdálených 24 km vyrazí současně proti sobě chodec rychlostí 4 km/h a cyklista rychlostí 12 km/h. Za kolik hodin od okamžiku, kdy vyrazili, a v jaké vzdálenosti od místa A se setkají?

s = s1 + s2 Slovní úloha o pohybu – varianta 1. s A B s1 s2 Tato logická rovnost plynoucí z textu úlohy je i základem pro sestavení rovnice pro výpočet hledané neznámé. Obě pohybující se tělesa přitom urazí nějakou svoji dráhu s1 a s2. Součet těchto uražených drah, (vzdáleností) je roven celkové vzdálenosti mezi místy A a B - s. s = s1 + s2

s = v1.t1 + v2.t2 s = s1 + s2 Slovní úloha o pohybu – varianta 1. s A Uražená dráha se přitom vypočítá jako součin průměrné rychlosti pohybujícího se tělesa a doby pohybu: s = v . t s = v1.t1 + v2.t2 s = s1 + s2

Příklad: Ze dvou míst A a B vzdálených 24 km vyrazí současně proti sobě chodec rychlostí 4 km/h a cyklista rychlostí 12 km/h. Za kolik hodin od okamžiku, kdy vyrazili, a v jaké vzdálenosti od místa A se setkají? 24 km A B v1=4 km/h v2=12 km/h t t Místo setkání. s1=v1.t s2=v2.t A potom ty neznámé … V našem případě je to čas pohybu obou osob. Nejprve tedy ty známé … Při řešení nejen slovních úloh o pohybu je pro větší názornost vždy velmi přínosný obrázek vykreslující situaci úlohy. Do něj si zapíšeme všechny známé i neznámé údaje. Jelikož vyrazili současně, bude čas stejný. Čas bude tedy naší neznámou. Označíme jej u obou stejně - t.

s = s1 + s2 24 = 4t + 12t A B s1=v1.t s2=v2.t s1=4.t s2=12.t Příklad: Ze dvou míst A a B vzdálených 24 km vyrazí současně proti sobě chodec rychlostí 4 km/h a cyklista rychlostí 12 km/h. Za kolik hodin od okamžiku, kdy vyrazili, a v jaké vzdálenosti od místa A se setkají? 24 km A B v1=4 km/h v2=12 km/h t t s1=v1.t s2=v2.t s1=4.t s2=12.t s = s1 + s2 24 = 4t + 12t Vyjádřené údaje pak dosadíme do logické rovnosti plynoucí z textu úlohy, čímž sestavíme rovnici pro výpočet neznámé.

Příklad: Ze dvou míst A a B vzdálených 24 km vyrazí současně proti sobě chodec rychlostí 4 km/h a cyklista rychlostí 12 km/h. Za kolik hodin od okamžiku, kdy vyrazili, a v jaké vzdálenosti od místa A se setkají? 24 km A B v1=4 km/h v2=12 km/h t t s1=v1.t s2=v2.t s1=4.t s2=12.t Setkají se tedy za 1,5 hodiny. Ještě nám ale zbývá dopočítat v jaké vzdálenosti od místa A, tzn s1. 24 = 4t + 12t s1 = 4 . t 24 = 16t s1 = 4 . 1,5 24 : 16 = t s1 = 6 km Rovnici vyřešíme. 1,5 h = t

Chodec a cyklista se setkají za Příklad: Ze dvou míst A a B vzdálených 24 km vyrazí současně proti sobě chodec rychlostí 4 km/h a cyklista rychlostí 12 km/h. Za kolik hodin od okamžiku, kdy vyrazili, a v jaké vzdálenosti od místa A se setkají? t = 1,5 h s1 = 6 km Na závěr se provede zkouška toho, zda získané hodnoty vyhovují podmínkám úlohy: Chodec při rychlosti 4 km/h urazí za 1,5 hodiny dráhu: s1 = 4 . 1,5 = 6 km Cyklista při rychlosti 12 km/h urazí za 1,5 hodiny dráhu: s2 = 12 . 1,5 = 18 km Chodec a cyklista se setkají za 1,5 hodiny, ve vzdálenosti 6 kilometrů od místa A. Dohromady uražená dráha tedy odpovídá celkové vzdálenosti míst A a B, tj. 24 km. Můžeme tedy napsat odpověď:

Příklad: Dvě letadla startující současně z letišť A a B letí navzájem proti sobě. Vzdálenost letišť je 220 km a průměrná rychlost letadla letícího z letiště A je 300 km/h, letadla letícího z letiště B je 360 km/h. Vypočítej, za jak dlouho se letadla střetnou.

A B s1=v1.t s2=v2.t s1=300.t s2=360.t 220 = 300t + 360t 220 = 660t Příklad: Dvě letadla startující současně z letišť A a B letí navzájem proti sobě. Vzdálenost letišť je 220 km a průměrná rychlost letadla letícího z letiště A je 300 km/h, letadla letícího z letiště B je 360 km/h. Vypočítej, za jak dlouho se letadla střetnou. 220 km A B v1=300 km/h v2=360 km/h t t s1=v1.t s2=v2.t s1=300.t s2=360.t 220 = 300t + 360t 220 = 660t 220 : 660 = t t = 1/3 h = 20 min Letadla se střetnou za 20 minut.

Příklad: Vzdálenost z Prahy do Olomouce je přibližně 250 km Příklad: Vzdálenost z Prahy do Olomouce je přibližně 250 km. V 5:40 hodin vyjel z Prahy do Olomouce rychlík rychlostí 85 km/h. Ve stejném okamžiku mu vyjel naproti z Olomouce osobní vlak rychlostí 65 km/h. Kdy se vlaky setkají?

A B s1=v1.t s2=v2.t s1=85.t s2=65.t 250 = 85t + 65t 250 = 150t Příklad: Vzdálenost z Prahy do Olomouce je přibližně 250 km. V 5:40 hodin vyjel z Prahy do Olomouce rychlík rychlostí 85 km/h. Ve stejném okamžiku mu vyjel naproti z Olomouce osobní vlak rychlostí 65 km/h. Kdy se vlaky setkají? 250 km A B v1=85 km/h v2=65 km/h t t s1=v1.t s2=v2.t s1=85.t s2=65.t 250 = 85t + 65t 250 = 150t 250 : 150 = t t = 5/3 h = 1 h 40 min Vlaky se setkají za 1 hodinu a 40 minut, tzn. v 7:20 hodin.