Výuka matematiky v 21. století na středních školách technického směru Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.1.00/26.0026 Tento projekt je financován z Evropského sociálního fondu a Státního rozpočtu České republiky

Rozhodněte, která z uvedených tabulek může být zadáním funkce. U zjištěné funkce určete její definiční obor a obor hodnot a načrtněte graf: Každému x je přiřazeno právě jedno y, proto daná tabulka představuje funkci. Grafem jsou izolované body. Z tabulky nebo grafu snadno vyčteme definiční obor a obor hodnot:

V tabulce jsme našli takové x, kterému jsou přiřazena dvě různá y, proto daná tabulka nepředstavuje funkci. Zřejmé je to i z obrázku:

Každému x je přiřazeno právě jedno y, proto daná tabulka představuje funkci. Znázorníme graf funkce: Určíme definiční obor a obor hodnot:

Tento graf znázorňuje funkci, protože 2) Určete, na kterém obrázku je znázorněn graf funkce. Své rozhodnutí zdůvodněte. U zjištěných funkcí určete D(f) a H(f). Tento graf znázorňuje funkci, protože každému x je přiřazeno nejvýše jedno y. Tento graf neznázorňuje funkci, protože číslu x = 2, je přiřazeno nekonečně mnoho různých y. Můžeme určit definiční obor : Je to množina x-ových souřadnic všech bodů grafu funkce. a obor hodnot: Je to množina y-ových souřadnic všech bodů grafu funkce.

Tento graf znázorňuje funkci, protože každému x je přiřazeno nejvýše jedno y. Tento graf neznázorňuje funkci, protože najdeme takové x, kterému jsou přiřazena dvě různá y. Určíme definiční obor a obor hodnot: Například: číslu x = 0, jsou přiřazena dvě různá y (3 a -1).

Tento graf znázorňuje funkci, protože každému x je přiřazeno nejvýše jedno y. Tento graf neznázorňuje funkci, protože najdeme takové x, kterému jsou přiřazena dvě různá y. Určíme definiční obor a obor hodnot: Například: číslu x = 3, jsou přiřazena dvě různá y (8 a -4).

3) Určete, která rovnice vyjadřuje funkci, a své rozhodnutí zdůvodněte. Tato rovnice představuje funkci, protože každému x je přiřazeno nejvýše jedno y. Tato rovnice představuje funkci, protože každému x je přiřazeno nejvýše jedno y. Například: Zvolíme-li x = -1, dostaneme lineární rovnici o neznámé y. Například: Zvolíme-li x = -2, dostaneme lineární rovnici o neznámé y. Kterou, když vyřešíme, dostaneme jediné řešení y = 1. Kterou, když vyřešíme, dostaneme jediné řešení y = 2.

Tato rovnice nepředstavuje funkci, protože v rovnici se nevyskytuje žádné y. Je to kvadratická rovnice pouze pro neznámou x. Tato rovnice nepředstavuje funkci, protože každému x není přiřazeno nejvýše jedno y. Například: Zvolíme-li x = -5, dostaneme kvadratickou rovnici o neznámé y. Kterou, když vyřešíme, dostaneme jediné řešení y = 0. Ale zvolíme-li x = 4, dostaneme kvadratickou rovnici o neznámé y. Kterou, když vyřešíme, dostaneme dvě různá řešení pro y (-3 a 3).

Tato rovnice představuje funkci, protože každému x je přiřazeno nejvýše jedno y. Tato rovnice nepředstavuje funkci, protože každému x není přiřazeno nejvýše jedno y. Například: Zvolíme-li x = -1, dostaneme kvadratickou rovnici o neznámé y. Například: Zvolíme-li x = -1, dostaneme lineární rovnici o neznámé y. Kterou, když vyřešíme, zjistíme, že nemá v R řešení pro y. Kterou, když vyřešíme, dostaneme jediné řešení y = 0. Když ale zvolíme x = 4, dostaneme kvadratickou rovnici o neznámé y. Kterou, když vyřešíme, dostaneme dvě různá řešení pro y (-2 a 2).

4) Je dána funkce s definičním oborem . Určete: Tzn.: Zjistit funkční hodnotu pro x = -2. Dosadíme do předpisu a vypočítáme y. Podobně určíme funkční hodnotu pro x = 0. A pro x = 3.

Tzn.: Zjistit takové x, pro které je y = -5. b) hodnoty proměnné x, pro které funkce nabývá hodnot: Tzn.: Zjistit takové x, pro které je y = -5. Dosadíme do předpisu funkce a dostaneme lineární rovnici: ze které vypočítáme x. Podobně pro y = 4.

Tzn.: Zjistit množinu všech funkčních hodnot. c) obor hodnot Tzn.: Zjistit množinu všech funkčních hodnot. Oborem hodnot nejspíš bude interval, kde nejmenší a největší y-ovou souřadnicí budou funkční hodnoty čísel x = -2 a x = 3, což jsou krajní meze definičního oboru. Ne vždy bude určení oboru hodnot tak snadné. Nejlépe se obor hodnot určí z grafu. Někdy pomůže i tabulka.

5) Určete, definiční obory funkcí: Tzn.: Určit podmínky pro x, za kterých má předpis smysl. U zlomku víme, že jmenovatel musí být nenulový. Výraz daného předpisu má smysl pro libovolné reálné číslo, proto : Pro x to znamená: Proto definiční obor musí být: nebo to lze zapsat:

V předpisu je odmocnina. Víme, že odmocnit lze nezáporné číslo. V předpisu je odmocnina a navíc ve jmenovateli. Proto dostáváme nerovnici: Tzn.: Výraz pod odmocninou musí být kladné číslo. Upravíme: Upravíme: Proto definiční obor bude A řešení této nerovnice bude představovat definiční obor dané funkce.

V předpisu jsou dvě odmocniny. Výrazy pod odmocninou musí být nezáporná čísla. V předpisu funkce se objevuje proměnná x ve jmenovateli. Proto výraz ve jmenovateli položíme různý od nuly: Dostáváme soustavu nerovnic o jedné neznámé x. Každou nerovnici vyřešíme zvlášť: Definičním oborem budou všechna reálná čísla, kromě kořenů kvadratické rovnice: Když vyřešíme tuto rovnici, dostaneme kořeny: Řešení soustavy nerovnic je zároveň definičním oborem dané funkce. A tedy definiční obor je

V předpisu je proměnná x ve jmenovateli. Proto položíme: V předpisu je odmocnina. Výraz pod odmocninou musí být nezáporné číslo. a upravíme: V předpisu je ale také odmocnina. A tedy výraz pod odmocninou musí být nezáporný. Dostáváme soustavu nerovnic o jedné neznámé x v podílovém tvaru. Řešení této soustavy je definiční obor dané funkce. Dostáváme kvadratickou nerovnici. Jejím řešením je: Definiční obor je průnik jednotlivých řešení: