BD01 Základy stavební mechaniky

Charakteristiky rovinných obrazců BD01 Základy stavební mechaniky Charakteristiky rovinných obrazců Plocha Statický moment plochy k osám y a z Poloha těžiště obrazce Těžiště: Bod v rovině yz, pro nějž platí: pokud vedeme osy y a z tímto bodem, pak jsou statické momenty plochy k těmto osám nulové:

Charakteristiky rovinných obrazců BD01 Základy stavební mechaniky Charakteristiky rovinných obrazců Moment setrvačnosti Deviační moment jednoose symetrický průřez: překlopení obrazce, kolem jedné ze souřadných os - změna znaménka (změnilo se znaménko jedné ze souřadnic každého bodu v integrálu Dyz). 3

BD01 Základy stavební mechaniky Transformační vztahy pro momenty setrvačnosti a deviační moment k posunutým osám Pro a platí a pak Steinerova věta: Moment setrvačností rovinného obrazce k posunuté ose je roven součtu momentu setrvačnosti obrazce k vlastní těžišťové ose a plochy obrazce násobené čtvercem vzdálenosti obou os. Pozn: Je vhodné místo vzdálenosti obou os používat souřadnice těžiště obrazce, protože v případě deviačního momentu je nutné důsledně dosazovat správná znaménka těchto souřadnic. 4

Transformační vztahy pro momenty setrvačnosti a deviační moment k posunutým osám

Momenty setrvačnosti složených obrazců BD01 Základy stavební mechaniky Momenty setrvačnosti složených obrazců Integrál po ploše lze rozložit na součet integrálů po dílčích plochách odtud po dosazení ze Steinerovy věty Pozn.: Při výpočtu charakteristik A, Sy, Sz, Iy, Iz a Dyz složených obrazců se charakteristiky otvorů odečítají. 6

Transformační vztahy k pootočeným osám BD01 Základy stavební mechaniky Transformační vztahy k pootočeným osám Transformace souřadnic 7

Transformační vztahy k pootočeným osám BD01 Základy stavební mechaniky Transformační vztahy k pootočeným osám 8

Hlavní momenty setrvačnosti BD01 Základy stavební mechaniky Hlavní momenty setrvačnosti Otáčením souřadného systému nabývají hodnoty momentů setrvačnosti proměnlivých hodnot. Pro určitou polohu souřadných os dosáhnou tyto hodnoty extrému. Tyto osy pak nazveme hlavní osy setrvačnosti a získané momenty setrvačnosti hlavními momenty setrvačnosti. K nalezení úhlu pootočení hlavních os setrvačnosti poslouží podmínka extrému jednoho z momentů setrvačnosti 9

Hlavní momenty setrvačnosti BD01 Základy stavební mechaniky Hlavní momenty setrvačnosti Pokud úhel , potom a . Dosadíme-li do předchozího vztahu, dostaneme Z toho plyne další charakteristika hlavních os setrvačnosti: osy, k nimž je deviační moment nulový Z podmínky nulové derivace plyne: 10

Hlavní momenty setrvačnosti BD01 Základy stavební mechaniky Hlavní momenty setrvačnosti Dosazením získaného úhlu do vztahů pro a a použitím některých vztahů pro goniometrické funkce z matematiky se obdrží vztahy pro hlavní momenty Hlavní momenty setrvačnosti označujeme a jejich velikost je pak z předchozích vztahů Je-li pak 1. hlavní osa prochází 2. a 4. kvadrantem, jinak 1. a 3. 11

Hlavní momenty setrvačnosti rozlišení os Je-li pak 1. hlavní osa prochází 2. a 4. kvadrantem, jinak 1. a 3.

poloměr setrvačnosti k posunutým osám BD01 Základy stavební mechaniky Poloměr setrvačnosti poloměr setrvačnosti k posunutým osám obdobně poloměry setrvačnosti k hlavním osám setrvačnosti 13

Polární moment setrvačnosti BD01 Základy stavební mechaniky Polární moment setrvačnosti Na rozdíl od momentů setrvačnosti k osám je polární moment setrvačnosti definován k bodu k posunutému bodu Vzhledem k tomu, že polární moment je nezávislý na pootočení souřadného systému, pravidlo platí pro obecně otočené osy. 14