NÁZEV: VY_32_INOVACE_04_14_M9_Hanak Základní škola Libina, příspěvková organizace, Libina 548,788 05,IČ: 708 708 61 Název projektu: Škola hrou Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem republiky Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace AUTOR: Ing. Roman Hanák NÁZEV: VY_32_INOVACE_04_14_M9_Hanak TÉMA: Rovnice s neznámou ve jmenovateli OBSAH: Složitější rovnice ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.4.00/21.2364

ANOTACE Hodina ukazuje řešení složitějších rovnic s neznámou ve jmenovateli. V této hodině jsou řešeny rovnice, u kterých je vhodné hledat nejmenšího společného jmenovatele pro odstranění lomených výrazů. V první části jsou řešené příklady a v další jsou příklady na samostatné procvičení. Inovativnost je v tom, že se zde vyskytuje řada moderních interaktivních prvků. Máme zde názorné grafické animace, obrázky, komentáře k řešení a hypertextové odkazy. Žáci lépe pochopí probíranou látku a hodina je pro ně zajímavější. Každý řešený příklad je pomocí animací rozdělen na dílčí kroky, takže vyučující se nezdržuje psaním na tabuli, ale pomocí ovladače postupně odkrývá řešení příkladu a má tak možnost žáky nechat samostatně tvořit a věnovat se těm žákům, kteří potřebují individuální pomoc. Na konci hodiny je stránka, kde jsou odkazy na internetové stránky, které prověří matematické dovednosti formou her nebo různých testů. Vyučující má možnost vybrat si z uvedených odkazů stránku, na které otestuje vědomosti žáků. Hodina je tvořena tak, aby se mohla být odučena v multimediální učebně nebo v počítačové učebně, které mají připojení k internetu.

U lomených výrazů určíme podmínky pro jmenovatele. 1) Řešte rovnici v R a proveďte zkoušku 𝟑 𝒙 −𝟒 ·(𝒙+𝟏) = 𝟒 𝐱 −𝟓 ·( 𝐱+𝟏) Řešení: 𝟑 𝒙 −𝟒 ·(𝒙+𝟏) 𝟒 𝒙 −𝟓 ·(𝒙+𝟏) U lomených výrazů určíme podmínky pro jmenovatele. 𝒙 −𝟒 ·( 𝒙+𝟏)≠ 𝟎 𝒙 −𝟓 ·( 𝒙+𝟏)≠ 𝟎 𝒙 −𝟒≠ 𝟎 𝒙+𝟏≠ 𝟎 𝒙 −𝟓≠ 𝟎 𝒙+𝟏≠ 𝟎 𝒙 ≠𝟒 𝒙 ≠−𝟏 𝒙 ≠𝟓 𝒙 ≠−𝟏

Vynásobíme nejmenším společným jmenovatelem. 𝟑 𝒙 −𝟒 ·(𝒙+𝟏) = 𝟒 𝐱 −𝟓 ·( 𝐱+𝟏) /·(𝐱−𝟒)(𝐱+𝟏)(𝐱−𝟓) Vynásobíme nejmenším společným jmenovatelem. 𝟑·(𝐱−𝟒)(𝐱+𝟏)(𝐱−𝟓) 𝒙 −𝟒 ·(𝒙+𝟏) = 𝟒·(𝐱−𝟒)(𝐱+𝟏)(𝐱−𝟓) 𝐱 −𝟓 ·( 𝐱+𝟏) krátíme 𝟑· 𝐱−𝟓 =𝟒·(𝐱−𝟒) 𝟑𝐱−𝟏𝟓= 𝟒𝐱 −𝟏𝟔 /−𝟒𝐱 − 𝐱−𝟏𝟓= −𝟏𝟔 /+𝟏𝟔 − 𝐱= − 𝟏 /·(−𝟏) 𝐱= 𝟏

Zkouška: L = 3 1 − 4 · (1 + 1) = 3 − 3 · ( 2 ) = 3 − 6 =− 1 2 P = 4 1− 5 · (1 + 1) = 4 − 4 · ( 2 ) = 4 − 8 =− 1 2 L = P

2) Řešte rovnici v R a proveďte zkoušku 𝒙+𝟏 𝟐𝒙−𝟑 − 𝟕 𝟒 𝒙 𝟐 −𝟗 =− 𝟒 −𝐱 𝟐𝐱+𝟑 Řešení: Podmínky: 𝒙+𝟏 𝟐𝒙 −𝟑 𝟕 𝟒 𝒙 𝟐 −𝟗 𝟒−𝒙 𝟐𝒙+𝟑 U lomených výrazů určíme podmínky pro jmenovatele. 𝟒 𝒙 𝟐 −𝟗≠ 𝟎 𝟐𝒙−𝟑≠ 𝟎 𝟐𝒙+𝟑≠ 𝟎 (𝟐𝒙−𝟑)(𝟐𝒙+𝟑)≠ 𝟎 Provedeme rozklad na součin pomocí vzorce. 𝒙 ≠ 𝟑 𝟐 𝒙 ≠ 𝟑 𝟐 ;𝒙≠− 𝟑 𝟐 𝒙 ≠− 𝟑 𝟐

Vynásobíme nejmenším společným jmenovatelem. 𝒙+𝟏 𝟐𝒙−𝟑 − 𝟕 𝟒 𝒙 𝟐 −𝟗 =− 𝟒 −𝐱 𝟐𝐱+𝟑 /·(𝟐𝐱−𝟑)(𝟐𝐱+𝟑) Vynásobíme nejmenším společným jmenovatelem. 𝒙+𝟏 𝟐𝐱−𝟑 (𝟐𝐱+𝟑) 𝟐𝒙−𝟑 − 𝟕 𝟐𝐱−𝟑 (𝟐𝐱+𝟑) 𝟐𝒙−𝟑 ·(𝟐𝒙+𝟑) =− (𝟒−𝐱) 𝟐𝐱−𝟑 (𝟐𝐱+𝟑) 𝟐𝒙+𝟑 𝐱+𝟏 · 𝟐𝒙+𝟑 − 𝟕=−(𝟒−𝐱)·(𝟐𝐱−𝟑) 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟑𝒙+𝟐𝒙+𝟑− 𝟕=−(𝟖𝒙−𝟏𝟐−𝟐 𝒙 𝟐 +𝟑𝐱) 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟓𝒙−𝟒=−(−𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏𝐱−𝟏𝟐) 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟓𝒙−𝟒=𝟐 𝒙 𝟐 −𝟏𝟏𝐱+𝟏𝟐 /−𝟐 𝒙 𝟐 𝟓𝒙−𝟒=−𝟏𝟏𝐱+𝟏𝟐 /−𝟏𝟏𝐱 −𝟏𝟔𝒙−𝟒=𝟏𝟐 /+4 −𝟏𝟔𝒙=−𝟏𝟔 /:(−𝟏𝟔) 𝒙=𝟏

Zkouška: L = 1+1 2 · 1 − 3 − 7 4 · 1 2 − 9 = 2 2 − 3 − 7 4 − 9 = = 2 − 1 − 7 − 5 = − 10 5 + 7 5 =− 3 5 P =− 4 − 1 2 · 1+3 =− 3 2 + 3 =− 3 5 L = P

𝟗 𝒚 −𝟏 ·(𝟓−𝟐𝒚) = 𝟔 𝟓 −𝟐𝒚 ·( 𝐲−𝟐) Podmínky: y ≠1; y ≠ 2; y ≠ 5 2 1) Řešte v R a proveďte zkoušku 𝟗 𝒚 −𝟏 ·(𝟓−𝟐𝒚) = 𝟔 𝟓 −𝟐𝒚 ·( 𝐲−𝟐) Podmínky: y ≠1; y ≠ 2; y ≠ 5 2 Výsledek: y = 4 L = P = - 1 2) Řešte v R a proveďte zkoušku 𝟐 𝟑 −𝒙 ·(𝒙−𝟏) = 𝟐 𝐱 −𝟏 ·( 𝐱+𝟕) Podmínky: x ≠3;x ≠ 1; x ≠−7 L = P = − 2 15 Výsledek: x = -2

𝒙+𝟕 𝒙−𝟐 − 𝒙−𝟐 𝒙+𝟐 =− 𝟑 𝒙 𝟐 −𝟒 Podmínky: x ≠2;x ≠ -2 3) Řešte v R a proveďte zkoušku 𝒙+𝟕 𝒙−𝟐 − 𝒙−𝟐 𝒙+𝟐 =− 𝟑 𝒙 𝟐 −𝟒 Podmínky: x ≠2;x ≠ -2 Výsledek: x = -1 L = P = 1 4) Řešte v R a proveďte zkoušku 𝒕−𝟒 𝒕+𝟑 − 𝟏𝟎 𝒕 𝟐 −𝟗 = 𝒕 −𝟔 𝒕−𝟑 L = P = − 1 2 Podmínky: t ≠−3;𝑡 ≠ 3 Výsledek: t = 5

𝟐𝒙+𝟏 𝒙+𝟑 − 𝟐𝒙+𝟕 𝒙−𝟏 = 𝟔 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙−𝟑 Podmínky: x ≠−3;x ≠ 1 5) Řešte v R a proveďte zkoušku 𝟐𝒙+𝟏 𝒙+𝟑 − 𝟐𝒙+𝟕 𝒙−𝟏 = 𝟔 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙−𝟑 Podmínky: x ≠−3;x ≠ 1 Výsledek: x = - 2 L = P = - 2 6) Řešte v R a proveďte zkoušku 𝟑𝒚+𝟏𝟑 𝟑𝒚+𝟐 − 𝟏 𝟔 𝒚 𝟐 +𝒚−𝟐 = 𝟐𝒚+𝟏 𝟐𝒚−𝟏 Podmínky: y ≠− 2 3 ; y ≠ 1 2 Výsledek: y = 1 L = P = 3

Moje škola – matematika A Hypertextové odkazy Matematické hry Moje škola – matematika A Moje škola – matematika B ZŠ Dobřichovice – pracovní listy Matematika pro každého Matematika pro základní školy Fyzikální, matematické a chemické tabulky

Použité zdroje: MOLNÁR, Josef; LEPÍK, Libor; LIŠKOVÁ, Hana a kol. Matematika 9. Olomouc: Prodos, 2001, ISBN 80-7230-109-8. MULLEROVÁ, Jana; BRANT, Jiří; HORÁČEK, Rudolf a kol. Matematika pro 9. ročník Algebra. Praha: Kvarta, 2000, ISBN 80-86326-10-1. DYTRYCH, Martin; DOBIASOVÁ, Irena; LIVŇANSKÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky –početní úlohy. Pohořelice: Fortuna, 2001, ISBN 80-7168-766-9. Galerie klipart MS Office 2010