Prutové soustavy

Př. 1 Vyřešte síly v prutech u soustavy na obrázku styčníkovou metodou. F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m F2 d F1 c b a

cosg = (d+e)/[(d+e)2+ a2]1/2 = 0,7071 Př. 1 Vyřešte síly v prutech u soustavy na obrázku styčníkovou metodou. F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m a1) výpočet úhlů sina = b/(a2+ b2)1/2 cosa = a/(a2+ b2)1/2 = 0,8 = 0,6 F2 g d = 0, 9487 sinb = a/[e2+ a2]1/2 cosb = e/[e2+ a2]1/2 F1 = 0, 3162 (e) b (h) c b = 0,7071 sing = a/[(d+e)2+ a2]1/2 cosg = (d+e)/[(d+e)2+ a2]1/2 = 0,7071 a a

Př. 1 F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m a2) rozbor ostatních úhlů g b g b g b a a a

r = 3 počet odebraných stupňů volnosti F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m b) kontrola statické určitosti označení prutů označení styčníků F2 E 2s - p - r = 0 g 6 7 F1 5 D b s = 5 počet styčníků C 3 4 2 p = 7 počet prutů A a B 1 a r = 3 počet odebraných stupňů volnosti

SMiB = 0 = RAz.a + F1.a - F2.(c+d) Př. 1 F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m c) výpočet reakcí SFix = 0 = F2 - RAx SMiA = 0 = RBz.a - F2.(c+d) F2 E SMiB = 0 = RAz.a + F1.a - F2.(c+d) g 6 7 d F1 5 D RAx = F2 = 10 kN b C RBz = F2.(c+d)/a = 23,33 kN c 3 4 b 2 Raz = (F2.(c+d)- F1.a)/a = 13,33 kN RAx A a B 1 Kontrola: a RAz RBz SFiz = 0

d) výpočet sil v prutech pomocí styčníkové metody F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m d) výpočet sil v prutech pomocí styčníkové metody RAx RAz RBz N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 = 10 kN = 13,33 kN = 23,33 kN F2 E N7 N6 g 6 7 F1 N6 N5 N7 5 D b N5 C N4 N2 N3 3 4 2 N2 N3 RAx N4 A a B 1 N1 N1 a RAz RBz

Př. 1 F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m d) výpočet sil v prutech pomocí styčníkové metody RAx RAz RBz N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 = 10 kN = 13,33 kN = 23,33 kN Styčník A F2 E SFix = 0 = N1 - RAx N7 N6 SFiz = 0 = -N2 + RAz = 10 kN g 6 7 F1 N6 N5 N7 = 13,33 kN 5 D b N1 = RAx=10 kN N5 C N4 N2 = RAz=13,33 kN N2 N3 3 4 2 N2 N3 RAx N4 A a B 1 N1 N1 a RAz RBz

Př. 1 F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m d) výpočet sil v prutech pomocí styčníkové metody Styčník B RAx RAz RBz N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 = 10 kN = 13,33 kN = 23,33 kN F2 E SFix = 0 = -N1 - N3cosa N7 N6 g SFiz = 0 = -RBz - N4 - N3sina 6 7 F1 N6 N5 N7 5 D b N3 = -N1/cosa= -16,67 kN N5 C N4 = -16,67 kN N2 N3 N4 = -RBz - N3sina = -10 kN 3 4 = -10 kN 2 N2 N3 RAx N4 A a B 1 N1 N1 a RAz RBz

Př. 1 F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m d) výpočet sil v prutech pomocí styčníkové metody Styčník C F2 E SFix = 0 = N5sinb + N6sing + N3cosa b N7 g N6 SFiz = 0 = F1 - N5cosb - N6cosg + N3sina + N2 g 6 7 F1 N6 N5 N7 5 z první rovnice D b N5 = -N6sing/sinb - N3cosa/sinb C N5 N4 N2 a a dosazením do druhé dostaneme N3 3 4 2 0 = F1 +N6cosb sing/sinb + N3cosb cosa/sinb - N6cosg + N3sina + N2 N2 N3 RAx N4 N6 = (F1 + N3cosb cosa/sinb + N3sina + N2)/(cosg-cosb sing/sinb) =14,14 kN A a B 1 N1 N1 zpětně: a N5 = 0 RAz RBz Zapište N5 i N6 do připravené tabulky

Př. 1 F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m d) výpočet sil v prutech pomocí styčníkové metody Styčník C ! F2 E SFix = 0 = N5sinb + N6sing + N3cosa N7 N6 g 6 7 SFiz = 0 = F1 - N5cosb - N6cosg + N3sina + N2 F1 N6 N5 N7 5 D b N5 C N4 Výpočet se zjednoduší následující analýzou: Ve styčníku D je ve x-ovém směru jediná síla N5 (její složka). Aby byla zachována rovnováha (ve směru osy x), musí být N5 rovna nule. Potom lze z kterékoli rovnice rovnou spočíst N6. Lze zobecnit a hledat tzv. nulové pruty. N2 N3 3 4 2 N2 N3 RAx N4 A a B 1 N1 N1 a RAz RBz

Př. 1 F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m d) výpočet sil v prutech pomocí styčníkové metody Styčník D RAx RAz RBz N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 = 10 kN = 13,33 kN = 23,33 kN = -16,67 kN = -10 kN F2 E SFix = 0 = N5sinb N7 N6 SFiz = 0 = -N7 + N5cosb + N4 g 6 7 F1 N6 N5 N7 5 D N7 = N5cosb + N4 = -10 kN b N5 C N4 N2 N3 3 4 2 N2 N3 = 0 kN RAx N4 A a B Výpočet se zjednoduší následující analýzou: Ve styčníku D je ve x-ovém směru jediná síla N5 (její složka). Aby byla zachována rovnováha (ve směru osy x), musí být N5 rovna nule. Potom lze z kterékoli rovnice rovnou spočíst N6. Lze zobecnit a hledat tzv. nulové pruty. = 14,14 kN 1 N1 N1 = -10 kN a RAz RBz

Př. 1 F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m d) výpočet sil v prutech pomocí styčníkové metody Styčník E hodnoty jsou spočteny, rovnice jsou kontrolní F2 E N7 RAx RAz RBz N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 = 10 kN = 13,33 kN = 23,33 kN = -16,67 kN = -10 kN N6 g 7 SFix = 0 = F2 - N6 sing 6 F1 N6 N5 N7 5 SFiz = 0 = N6 cosg + N7 D b N5 C N4 N2 N3 3 4 2 N2 N3 RAx N4 A a B 1 N1 N1 = 0 kN a RAz RBz = 14,14 kN = -10 kN

e) výpočet osové síly v prutu 4 průsečnou metodou F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m e) výpočet osové síly v prutu 4 průsečnou metodou F2 E g 6 7 F1 5 D b C 3 4 2 RAx A a B 1 a RAz RBz

Bod C je momentový střed síly N4 F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m Př. 1 e) výpočet osové síly v prutu 4 průsečnou metodou – řez přes pruty 2, 3, 4 F2 E Bod C je momentový střed síly N4 g 6 7 d F1 SMiC = 0 = -N4.a - F2.(d+e) 5 D (e) b N4 = -F2.(d+e)/a = -10 kN C=O4 a 2 3 4 N2 N3 N4 B SMiC = 0 = N4.a + RBz.a - Rax.b C=O4 a N3 N4 N4 = -10 kN N2 b 2 3 4 RAx A a B 1 a RAz RBz

Bod C je opět momentový střed síly N4 g D F1 F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m e) výpočet osové síly v prutu 4 průsečnou metodou – řez přes pruty 4, 5, 6 F2 E SMiC = 0 = -N4.a - F2.(d+e) 6 g 7 N4 =-F2.(d+e)/a = -10 kN N6 5 D C=O4 b N5 b N4 Bod C je opět momentový střed síly N4 g D F1 N6 6 N5 5 C=O4 Sami sestavte rovnice pro dolní část konstrukce a zkontrolujte správnost výpočtu N4 3 4 2 RAx A a B 1 a RAz RBz

f) výpočet osových sil v prutech 2 a 3 průsečnou metodou F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m f) výpočet osových sil v prutech 2 a 3 průsečnou metodou F2 E g 6 7 F1 5 D b C 3 4 2 RAx A a B 1 a RAz RBz

f) výpočet osových sil v prutech 2 a 3 průsečnou metodou F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m Př. 1 f) výpočet osových sil v prutech 2 a 3 průsečnou metodou F2 E SMiB = 0 = N2.a - F2.(c+d) + F1.a g 6 7 d F1 N2 =F2.(c+d)/a - F1 = 13,33 kN 5 D b C a c 2 3 4 b Momentový střed síly N3 v nekonečnu, proto silová podmínka rovnováhy (správně zvolená - směr kolmý na zbývající 2 síly - důležité!) SFix = 0 = N3 cosa + F2 N2 N3 N4 B=O2 C a N3 = - F2/ cosa = -16,67 kN N3 N4 N2 2 3 4 RAx A a B=O2 Sami sestavte rovnice pro dolní část konstrukce a zkontrolujte správnost výpočtu 1 a RAz RBz

g) výpočet osových sil v prutech 5 a 6 průsečnou metodou F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m g) výpočet osových sil v prutech 5 a 6 průsečnou metodou F2 E g 6 7 F1 5 D b C 3 4 2 RAx A a B 1 a RAz RBz

h) výpočet osových sil v prutech 5 a 6 průsečnou metodou F1 = 10 kN, F2 = 10 kN, a = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = 2 m h) výpočet osových sil v prutech 5 a 6 průsečnou metodou F2 E=O5 SMiE = 0 = -N5sinb .d  N5 = 0kN 6 g 7 N6 5 D=O6 C b N5 SMiD = 0 = N6sing .d -F2 .d N4 N6 = F2/sing= 14,14 kN b E=O5 g F1 N6 D=O6 6 N5 C 5 N4 3 4 2 RAx A a B Sami sestavte rovnice pro dolní část konstrukce a zkontrolujte správnost výpočtu 1 a RAz RBz

2s - p - r = 0 s = 7 počet styčníků p = 11 počet prutů Vyřešte osové síly dané konstrukce. FD=10kN 2s - p - r = 0 D C 4 s = 7 počet styčníků 6 7 E G 4 5 3 p = 11 počet prutů 10 8 9 11 F B A a a 1 2 r = 3 počet odebraných stupňů volnosti FF=20kN 2,5 1,5 1,5 2,5

Vyřešte osové síly dané konstrukce. Př. 2 Vyřešte osové síly dané konstrukce. výpočet reakcí SFix = 0 = FD - RAx SMiA = 0 = RBz.8 - FF.4 - FD.4 SMiB = 0 = -Raz.8 + FF.4 - FD.4 FD=10kN D C 4 6 7 4 Kontrola: E G 5 3 10 8 9 SFiz = 0 11 RAx F A a a B 1 2 FF=20kN RAz 2,5 1,5 1,5 2,5 RBz RAx = 10 kN RBz = 15 kN Raz = 5 kN

Vyřešte osové síly dané konstrukce. Př. 2 Vyřešte osové síly dané konstrukce. Nelze řešit metodou styčníkovou ani průsečnou samostatně, nutná kombinace obou metod. Začneme řešením osových sil v prutech 9, 2 a 4 průsečnou metodou. řez přes pruty 4, 9, 2 FD=10kN D C 4 6 7 E G 4 5 3 10 8 9 11 RAx F A a a B 1 2 FF=20kN RAz 2,5 1,5 1,5 2,5 RBz

Př. 2 Řešení osové síly v prutech 9, 2 a 4 příhradové konstrukce průsečnou metodou. řez přes pruty 4, 9, 2 FD=10kN D N4 C=O2 N4 C=O2 4 4 6 7 N9 E G 4 5 3 9 8 F=O4 9 10 N9 11 RAx A a a N2 a B 1 2 F=O4 2 N2 FF=20kN RAz 2,5 1,5 1,5 2,5 RBz

řez přes pruty 4, 9, 2 – levá část Řešení osové síly v prutech 9, 2 a 4 příhradové konstrukce průsečnou metodou. Momentový střed síly N9 v nekonečnu, proto silová podmínka rovnováhy (správně zvolená - směr kolmý na zbývající 2 síly - důležité!) SFiz = 0 = N9 sina + FF řez přes pruty 4, 9, 2 – levá část FD=10kN N4 N9 = 21,213 kN D C=O2 N4 C 4 4 6 7 N9 SMiC = 0 = N2.4 + FF.4 - RAz.8 - Rax.4 E G 4 5 3 8 9 F=O4 9 10 N2 =(-FF.4 + Raz.8 + Rax.4)/4 = 0 N9 11 RAx A a a N2 B 1 2 F 2 N2 FF=20kN SMiF = 0 = -N4.4 - FD.4 – Raz.4 RAz 2,5 1,5 1,5 2,5 RBz N4 = -15 kN Jiná varianta pro výpočet N4 – využijeme v případě, když známe N2 i N9 SFix = 0 = -Rax + FD + N2 + N4 + N9cosa N4 = Rax - FD - N2 - N9cosa= -15 kN

a) řez přes pruty 4, 9, 2 – pravá část Vyřešte osové síly v prutech 9, 2 a 4 příhradové konstrukce průsečnou metodou. a) řez přes pruty 4, 9, 2 – pravá část SFiz = 0 = N9 sina - Rbz FD=10kN D N4 C N4 C=O2 N9 = 21,213 kN 4 4 6 7 SMiF = 0 = N4.4 + RBz.4 N9 E G 4 5 3 9 N4 = -15 kN 10 8 9 N9 11 RAx F A a a N2 B 1 2 F=O4 2 N2 SMiC = 0 = N2.4 FF=20kN RAz 2,5 1,5 1,5 2,5 RBz Ostatní hodnoty vnitřních sil metodou styčníkovou - sami