4. Metoda nejmenších čtverců

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
kvantitativních znaků
Advertisements

Funkce.
4. Metoda nejmenších čtverců
Rozhodněte o její pohyblivosti (určete počet stupňů volnosti).
ZÁKLADY EKONOMETRIE 2. cvičení KLRM
3. PRINCIP MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI
1. Chyby měření Systematika chyb:
STRUKTURA A VLASTNOSTI
Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
Morfologická křivka kmene
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
Růstové a přírůstové funkce
Korelace a regrese síla (těsnost) závislosti dvou náhodných veličin: korelace symetrický vztah obou veličin neslouží k předpovědi způsob (tvar) závislosti.
kvantitativních znaků
STRUKTURA A VLASTNOSTI
F U N K C E.
Laboratorní cvičení 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební,
Kvadratická funkce. Co je to funkce Každému prvku x z definičního oboru je přiřazeno právě jedno číslo y z oboru hodnot x je nezávisle proměnná y je závisle.
Měření fyzikální veličiny
A. Soustavy lineárních rovnic.
Regrese Aproximace metodou nejmenších čtverců
Funkce více proměnných.
Chyby jednoho měření když známe
MĚŘENÍ DÉLKY - OPAKOVÁNÍ
Závislost dvou kvantitativních proměnných
Ekonometrie „ … ekonometrie je kvantitativní ekonomická disciplína, která se zabývá především měřením v ekonomice na základě analýzy reálných statistických.
Vektorová grafika.
Princip maximální entropie
Experimentální fyzika I. 2
Princip maximální entropie
Gradientní metody Metoda největšího spádu (volný extrém)
FUNKCE. Závislost délky vegetační sezóny na nadmořské výšce
Metrologie   Přednáška č. 5 Nejistoty měření.
Fitování Konstrukce křivky (funkce), která co nejlépe odpovídá naměřeným hodnotám. - může podléhat dodatečným podmínkám Lineární vs. nelineární regrese.
2. Vybrané základní pojmy matematické statistiky
Základy matematické statistiky. Nechť je dána náhodná veličina X (“věk žadatele o hypotéku“) X je definována rozdělením pravděpodobností, s nimiž nastanou.
Název úlohy: 5.14 Archimedův zákon.
Měříme délku s různou přesností
Úvod do praktické‚ fyziky
Struktura a vlastnosti kapalin
2.1.1 Kvadratická funkce. Kvadratická funkce se nazývá každá funkce, daná ve tvaru kde je reálné číslo různé od nuly, jsou libovolná reálná čísla. Definičním.
Hodnoty tP pro různé pravděpodobnosti P
Jednoduchý lineární regresní model Tomáš Cahlík 2. týden
Sylabus V rámci PNV budeme řešit konkrétní úlohy a to z následujících oblastí: Nelineární úlohy Řešení nelineárních rovnic Numerická integrace Lineární.
Korelace. Určuje míru lineární vazby mezi proměnnými. r < 0
V experimentu měníme hodnotu jedné nebo několika veličin x i a studujeme závislost veličiny y. - např. měníme, ostatní x i bereme jako parametry ( , ,
Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková
Úvod do praktické fyziky Seminář pro I.ročník F J. Englich, ZS 2003/04.
Obecná rovnice přímky v rovině
Aritmetický průměr - střední hodnota
Přenos nejistoty Náhodná veličina y, která je funkcí náhodných proměnných xi: xi se řídí rozděleními pi(xi) → můžeme najít jejich střední hodnoty mi a.
Vzájemná poloha Paraboly a přímky
Aplikovaná statistika 2.
REGRESNÍ ANALÝZA Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Institute of Technology And Business In České Budějovice.
Základy zpracování geologických dat R. Čopjaková.
Č.projektu : CZ.1.07/1.1.06/ Portál eVIM Laboratorní práce 2 Nejistoty měření.
A. Soustavy lineárních rovnic. y = 2x + 5 2x – y = -5 a 1 x 1 + a 2 x 2 = b a 1 = 2 a 2 = -1 b = - 5 x + y = 5 3x + 3y = 18 x + y = 5 3x + 3y = 15 x +
Korelace. Určuje míru lineární vazby mezi proměnnými. r < 0
Interpolace funkčních závislostí
Úvod do praktické fyziky
2.1.1 Kvadratická funkce.
Funkce více proměnných.
Hodnocení závislosti STAT metody pro posouzení závislosti – jiné pro:
STRUKTURA A VLASTNOSTI
Vektorová grafika.
2. Vybrané základní pojmy matematické statistiky
Interpolace funkčních závislostí
Analytický geometrie kvadratických útvarů
Princip max. věrohodnosti - odhad parametrů
Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
Transkript prezentace:

4. Metoda nejmenších čtverců Je-li znám explicitní tvar měřené závislosti, používá se obvykle pro interpolaci naměřené závislosti metody nejmenších čtverců. Metoda nejmenších čtverců je metodou početní interpolace. Teoretická závislost nechť má tvar: a,b,c,.. jsou parametry. Mějme k disposici n dvojic naměřených hodnot (xi ,yi ) , i = 1, 2, .., n. Dále předpokládáme: a) přesnost nastavení hodnot nezávisle proměnné xi je řádově větší, než přesnost měření závisle proměnné yi , která má obecně pro každý bod jinou dispersi ( ). b) explicitní tvar funkce fa,b,c,..(x) je znám.

Optimální hodnoty parametrů a,b,c, .. jsou takové hodnoty Vytvoříme veličinu: Optimální hodnoty parametrů a,b,c, .. jsou takové hodnoty pro které je funkce, 2(a,b,c,..) minimální. 4.1. Speciální případ lineární funkce (y = ax): Podmínkou minima je:

a dále: Jsou-li i =  pro všechna i = 1,...,n , potom: označme dále: potom:

4.2. Střední hodnota a disperse odhadu Střední hodnota odhadu: Odhad je nevychýlený ! Disperse odhadu: : jsou-li veličiny: známé, je problém vyřešen

Nejsou-li známé, platí-li však: pro všechna i=1,...,n potom: hodnotu odhadneme ze souboru naměřených hodnot (xi, yi) . V analogii s případem jedné proměnné odhadneme: kde R1 je nejmenší suma čtverců odchylek: Seminární úloha 4.1. Dokažte, že výše uvedený odhad veličiny y2 je odhad vychýlený.

Pro nevychýlený odhad volíme hodnotu: vzpomeneme si: Celkově je tedy: Výsledek zapisujeme ve tvaru:

4.2. obecná přímka y = a0 + a1 x (dva parametry) Funkce 2 : Odhad parametrů a0 , a1: řešení pro případ: požadujeme: , dále: (Pro druhý případ obdobně) výsledek:

Soustava rovnic: Potom pro odhad parametrů máme: Odhady jsou nevychýlené: Seminární úloha 4.2.: Dokažte výše uvedené tvrzení o středních hodnotách odhadů parametrů a0 a a1.

Odhad disperse parametrů a0 , a1: upravíme: veličina: je v uvažovaném přiblížení konstantou potom:

obdobně: Seminární úloha 4.3.: Dokažte výše uvedené tvrzení o dispersi odhadu parametru a1.

Celkově: Veličinu y2 odhadneme analogicky s případem jedné proměnné: Potom: Výsledky zapisujeme ve formě:

4.3. Semestrální práce k semináři „Úvod do praktické fyziky“ 1) Mikrometrem byla změřena tloušťka destičky. Byly změřeny tyto hodnoty: č.měř. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d [mm] 1,23 1,20 1,42 1,21 1,26 1,24 1,27 Výsledek měření udejte: a) se standardní odchylkou jediného měření b) s pravděpodobnou chybou jediného měření c) se střední kvadratickou chybou aritmetického průměru

průměr kapiláry d = (1,29 ± 0,03) mm, 2) Při měření viskozity pomocí Mariottovy láhve se nechá kapalina protékat kapilárou o poloměru r a délce l za stálého přetlaku p= h  g , kde h je výška kapaliny,  hustota kapalinu a g tíhové zrychlení. Viskozitu určíme ze vztahu kde V  je objem kapaliny, který proteče kapilárou za dobu t . Určete viskozitu vody, jestliže: průměr kapiláry d = (1,29 ± 0,03) mm, délka kapiláry l = (147,4 ± 0,1) mm výška kapaliny h = (6,5 ± 0,2) cm. Měřili jsme čas t , za který proteče kapilárou objem objem V = (100 ± 1) ml č. měření 1 2 3 4 5 t [s] 368,34 366,4 368,58 367,02 367,3 Pro stanovení výsledné přesnosti měření času uvažte navíc chybu danou reakční dobou experimentátora (~0,2 s) a spojte ji eventuálně s chybou statistickou. Stanovte viskozitu kapaliny a celkovou nejistotu měření.

3) Při určování tuhosti pružiny k statickou metodou vycházíme z Hookova zákona pro pružinu: kde F je působící síla realizovaná závažím o hmotnosti m a y je prodloužení pružiny. Určete tuhost pružiny k (a její chybu) pro tyto měřené hodnoty m [g] 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 y [cm] 2,5 4,7 7,1 9,4 11,7 13,7 17 18,4 19,7 22,8 25,0 27,1 Chybu veličiny y je možno ve všech měřených bodech považovat za stejnou. Výsledky měření zpracujte též graficky.

m (g) y (cm) e (cm) 0.4 5 2.5 0.6 10 4.7 0.8 15 7.1 20 9.4 0.1 25 11.7 30 13.7 35 17 1.6 40 18.4 45 19.7 50 22.8 1.8 55 60 27.1 70 31.3 80 34.8 90 39.9 100 44.5 110 48.5 120 52.9 130 57.3

4.4. Alternativní řešení funkce s jediným parametrem: Označme: parabola minimum: rozvoj:

2 a

přímka se dvěma parametry: rozvoj v okolí minima:

elipsa tečna ׀׀ a0´: obdobně:

Speciálně:

Obecná funkce se dvěma parametry: - minimum numericky - rozvoj v okolí minima označíme: rovnice elipsy:

Semestrální práce č.3