VĚDA NIKDY NEVYŘEŠÍ JEDEN PROBLÉM, ANIŽ BY VYPRODUKOVALA DESET NOVÝCH George Bernard Shaw

MOHROVY KRUŽNICE NAPJATOST V ROVINĚ Christian Otto Mohr 8. října 1835 – 2. října 1918

𝜈= 𝜀 příčné 𝜀 podélné = 𝜀 𝑦 𝜀 𝑥 ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) NORMÁLOVÉ NAPĚTÍ Poissonovo číslo 𝜎= 𝑑𝐹 𝑑𝐴 𝜀 𝑥 = 𝜎 𝐸 𝜈= 𝜀 příčné 𝜀 podélné = 𝜀 𝑦 𝜀 𝑥 F x y 𝜀 𝑦 =−𝜈∙ 𝜀 𝑥 =−𝜈∙ 𝜎 𝐸

F 𝑑𝑁 𝑑𝑁 dA 𝑑𝑁=𝑑𝐹 F 𝐹= (𝐴) 𝑑𝐹 𝜎= 𝑑𝑁 𝑑𝐴 𝜈= 𝑑𝐹 𝑑𝐴 𝑑𝐹 NORMÁLOVÉ NAPĚTÍ ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) NORMÁLOVÉ NAPĚTÍ kolmý řez 𝑑𝑁 𝑑𝑁 dA 𝑑𝑁=𝑑𝐹 x F 𝐹= (𝐴) 𝑑𝐹 dF 𝜎= 𝑑𝑁 𝑑𝐴 MOHROVA ROVINA:   𝜎= 𝑑𝑁 𝑑𝐴 𝜈= 𝑑𝐹 𝑑𝐴 𝑑𝐹

F dF dN dT dF dN dT 𝑑𝑁=𝑑𝐹∙ cos 𝛼 dA 𝑑𝑇=𝑑𝐹∙ sin 𝛼 𝐹= ( 𝐴 𝜌 ) 𝑑𝐹 F ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) NORMÁLOVÉ A SMYKOVÉ NAPĚTÍ šikmý řez dF dN dT  dF dN dT  𝑑𝑁=𝑑𝐹∙ cos 𝛼  x dA 𝑑𝑇=𝑑𝐹∙ sin 𝛼 𝐹= ( 𝐴 𝜌 ) 𝑑𝐹 dF F MOHROVA ROVINA:   𝜎= 𝑑𝑁 𝑑𝐴 𝜏= 𝑑𝑇 𝑑𝐴 𝜎= 𝑑𝑁 𝑑𝐴 = 𝑑𝐹 𝑑𝐴 ∙ cos 𝛼 A 𝜏= 𝑑𝑇 𝑑𝐴 = 𝑑𝐹 𝑑𝐴 ∙ sin 𝛼 𝑑𝐹 𝜈= 𝑑𝐹 𝑑𝐴

𝜏 𝑥𝑧 ∙ 𝑑𝑥∙𝑑𝑧 ∙𝑑𝑦− 𝜏 𝑦𝑧 ∙ 𝑑𝑦∙𝑑𝑧 ∙𝑑𝑥=0 ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) SMYKOVÉ NAPĚTÍ sdružená smyková napětí 𝑀 B =0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 B 𝑑𝑧 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝑑𝑥∙𝑑𝑧 𝑑𝑦∙𝑑𝑧 𝜏 𝑥𝑧 ∙ 𝑑𝑥∙𝑑𝑧 ∙𝑑𝑦− 𝜏 𝑦𝑧 ∙ 𝑑𝑦∙𝑑𝑧 ∙𝑑𝑥=0 𝜏 𝑥𝑧 = 𝜏 𝑦𝑧 cyklickou záměnou: 𝜏 𝑦𝑥 = 𝜏 𝑧𝑥 𝜏 𝑧𝑦 = 𝜏 𝑥𝑦 Jednoindexové značení: 𝜏 𝑦𝑥 = 𝜏 𝑧𝑥 = 𝜏 𝑥 ; 𝜏 𝑧𝑦 = 𝜏 𝑥𝑦 = 𝜏 𝑦 a 𝜏 𝑥𝑧 = 𝜏 𝑦𝑧 = 𝜏 𝑧

𝜎 𝜌 = 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 + 𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦 2 ∙ cos 2∙𝛼 + 𝜏 𝑧 ∙ sin 2∙𝛼 ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) ROVINNÁ NAPJATOST Mohrova kružnice 𝜏𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝜏𝑧 𝑑𝑦  𝜎 𝑥  𝜎 𝑦 𝜌 Postup: 1. Sestavení rovnice silové rovnováhy do směru normály n 2. Sestavení rovnice silové rovnováhy do směru tečny t 3. Využijeme vlastnosti goniometrických funkcí (dvojnásobný úhel) 4. Získáme parametrické rovnice kružnice v Mohrově rovině 𝜏𝑧 𝜏𝑧  𝜎 𝑥  𝜎 𝑦    n t 𝜎 𝜌 = 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 + 𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦 2 ∙ cos 2∙𝛼 + 𝜏 𝑧 ∙ sin 2∙𝛼 𝜏 𝜌 = 𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦 2 ∙ sin 2∙𝛼 − 𝜏 𝑧 ∙ cos 2∙𝛼

ROVINNÁ NAPJATOST ČVUT Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) ROVINNÁ NAPJATOST Mohrova kružnice 𝜎 𝜌 = 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 + 𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦 2 ∙ cos 2∙𝛼 + 𝜏 𝑧 ∙ sin 2∙𝛼 𝜏 𝜌 = 𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦 2 ∙ sin 2∙𝛼 − 𝜏 𝑧 ∙ cos 2∙𝛼  z 𝜏𝑧 𝜏𝑧  𝜎 𝑥  𝜎 𝑦 x y z  S r 𝑟= 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 2 + 𝜏 𝑧 2 S: 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 ;0

ROVINNÁ NAPJATOST ČVUT Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) ROVINNÁ NAPJATOST Mohrova kružnice 𝜎 2 =𝑆−𝑟== 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 − 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 2 + 𝜏 𝑧 2 𝜎 1 =𝑆+𝑟== 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 + 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 2 + 𝜏 𝑧 2 𝜏 𝑚𝑎𝑥 =𝑟= 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 2 + 𝜏 𝑧 2  z 𝜏𝑧 𝜏𝑧  𝜎 𝑥  𝜎 𝑦 x y z  S r 𝑟= 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 2 + 𝜏 𝑧 2 S: 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 ;0

𝝈 𝝍 𝝉 𝝍 𝝍 ROVINNÁ NAPJATOST 𝑻 𝝍 ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) ROVINNÁ NAPJATOST úplný Mohrův diagram k1,2 ; k2,3 a k1,3 1 ; 2 a 3 k1,3  𝑻 𝝍 𝜏 𝜓 𝝍 x y z k1,2 k2,3 𝝈 𝝍 𝝉 𝝍 𝝍 x y z 3 2 1 𝜎 𝜓  r

VĚDA NIKDY NEVYŘEŠÍ JEDEN PROBLÉM, ANIŽ BY VYPRODUKOVALA DESET NOVÝCH George Bernard Shaw