8. Elektrické obvody s nelineárnymi prvkami Definícia a základné typy nelineárnych obvodových prvkov Veličiny charakterizujúce nelineárny rezistívny prvok a ich vzťah ku voltampérovej (VA) charakteristike - statický odpor, diferenciálny odpor Metódy riešenia obvodov s nelineárnymi rezistívnymi prvkami

8.1. Definícia a základné typy nelineárnych prvkov Typickým predstaviteľom je obyčajná žiarovka – elektrický odpor kovov s rastúcou teplotou rastie, následkom čoho je odpor žeravého vlákna (vyrobeného z wolfrámu) podstatne vyšší, ako odpor vlákna v studenom stave – závisí teda od napätia, resp. prúdu, ktorý tečie cez vlákno. Pod pojmom nelineárny obvodový prvok rozumieme taký prvok elektrického obvodu, u ktorého jeho charakteristická (určujúca) veličina (odpor R, indukčnosť L, kapacita C a pod.) nie je konštantná, ale závisí od hodnoty obvodových veličín – napätí, resp. prúdov. Medzi základné typy nelineárnych prvkov patrí napr.: Sem patrí napr. cievka s feromagnetickým jadrom – v dôsledku zložitých magnetických javov vo feromagnetických materiáloch je indukčnosť takejto cievky taktiež závislá od prúdu tečúceho vinutím cievky. V tomto prípade sa situácia navyše komplikuje aj hysteréziou magnetických vlastností (hysterézne slučky). r ur(t) ir(t) nelineárny rezistor r Reprezentantom je kapacitná dióda - varikap, u ktorej je kapacita polovodičového PN priechodu výrazne ovplyvnená napätím na PN priechode. Praktické využitie je napr. v rádiotechnike na ladenie rôznych prijímačov a vysielačov, kde úplne nahradila klasické otočné kondenzátory. l il(t) ul(t) nelineárny induktor l c ic(t) uc(t) nelineárny kapacitor c V nasledujúcich častiach sa zameriame iba na obvody s konštantnými veličinami (v stacionárnom ustálenom stave), v ktorých sa uplatnia iba nelineárne rezistory.

8.1.1. Nelineárny rezistor Nelineárny rezistor je prvok elektrického obvodu charakterizovaný nelineárnou závislosťou napätia od prúdu (prúdu od napätia) - voltampérovou (VA) charakteristikou. Je to dôsledok skutočnosti, že ohmický odpor takéhoto prvku je funkciou napätia, resp. prúdu tečúceho cez obvodový prvok. r Ur Ir VA-charakteristiky nelineárnych rezistorov môžu byť vzhľadom na počiatok súradnicovej sústavy tvorenej napäťovou a prúdovou osou symetrické (napr. žiarovka) nesymetrické (napr. polovodičová dióda). Pokiaľ VA-charakteristika prechádza iba 1. a 3. kvadrantom súradnicovej sústavy, nelineárny rezistor je pasívny prvok (t. j. nie je schopný trvale dodávať energiu). Ak VA-charakteristika prechádza aj 2. alebo 4. kvadrantom, jedná sa o aktívny prvok (správa sa ako trvalý zdroj energie) - fotodióda.

8.2. Veličiny charakterizujúce nelineárny rezistívny prvok Ako už bolo spomenuté, v prípade nelineárnch obvodových prvkov jediný konštantný parameter nepostačuje na opis ich vlastností. V dôsledku nelinearity VA-charakteristiky podiel napätia a prúdu nie je konštantný. Z toho dôvodu nelineárny rezistívny prvok nie je jednoznačne definovaný jediným parametrom (odporom R), ale celou VA-charakteristikou. V každom bode P voltampérovej charakteristiky nelineárnych rezistorov možno definovať dve hodnoty odporu: statický odpor RS (podiel napätia a prúdu v bode P) diferenciálny odpor rdif (smernica dotyčnice k VA charakteristike v bode P) Poznámky: statický odpor v prípade pasívnych nelineárnych prvkov môže nadobúdať len kladné hodnoty, zatiaľ čo diferenciálny odpor môže byť kladný aj záporný (napr. v prípade tunelovej diódy) u aktívnych nelineárnych prvkov môže byť aj statický odpor záporný (podiel napätia a prúdu v 2. a 4. kvadrante súradnicovej sústavy je záporný - fotodióda)

8.2.1. Statický a diferenciálny odpor Bod P sa nazýva aj pracovný bod Ir P Ur UP IP

8.3. Metódy riešenia obvodov s nelineárnymi prvkami Pre vyznačenú uzavretú slučku sformulujeme pomocou II. Kirchhoffovho zákona jedinú nelineárnu rovnicu v tvare: Pri riešení elektrických obvodov s jedným nelineárnym prvkom sa zvyčajne používa metóda náhradného aktívneho dvojpólu. Postup pri tejto metóde možno zhrnúť do niekoľkých bodov: úsek s nelineárnym rezistorom odčleníme od pôvodného elektrického obvodu, zvyšok obvodu (lineárnu časť) nahradíme: ekvivalentným zdrojom napätia, ktorého parametre určíme pomocou Thèveninovej teorémy ekvivalentným zdrojom prúdu, ktorého parametre určíme pomocou Nortonovej teorémy, na svorky ekvivalentného náhradného aktívneho dvojpólu pripojíme úsek s hľadanou obvodovou veličinou. Dostaneme tak jednoduchý elektrický obvod, v ktorom pomocou Kirchhoffových zákonov a Ohmovho zákona určíme hľadanú obvodovú veličinu. r Ur Ir UE RE Vnútorné napätie UE reálneho zdroja napätia určíme ako napätie naprázdno medzi uzlami, do ktorých bol v pôvodnom obvode pripojený úsek s hľadanou veličinou. Vnútorný odpor RE reálnych zdrojov napätia i prúdu určíme ako odpor nahradzovanej časti elektrického obvodu medzi uzlami, do ktorých bol v pôvodnom obvode pripojený úsek s hľadanou veličinou, pričom výstupné veličiny autonómnych zdrojov vynulujeme (napäťové zdroje sú nahradené skratmi a prúdové nekonečnými odpormi - úsek s prúdovým zdrojom jednoducho odpojíme). Vnútorný odpor RE reálnych zdrojov napätia i prúdu určíme ako odpor nahradzovanej časti elektrického obvodu medzi uzlami, do ktorých bol v pôvodnom obvode pripojený úsek s hľadanou veličinou, pričom výstupné veličiny autonómnych zdrojov vynulujeme (napäťové zdroje sú nahradené skratmi a prúdové nekonečnými odpormi - úsek s prúdovým zdrojom jednoducho odpojíme). Ur a Ir sú neznáme parametre nelineárneho prvku r, ktorých vzájomný vzťah je ale daný VA-charakteristikou Ur = f1(Ir) (alebo Ir = f2(Ur)) - stačí teda určiť iba jeden z nich. Po dosadení napr. za Ur vyjadrené pomocou Ir (alebo naopak) do jednej z rovníc dostaneme jedinú rovnicu pre jedinú neznámu veličinu, ktorou je buď Ur alebo Ir. Podľa toho, akým spôsobom je zadaná VA-charakteristika, získaná rovnica je buď lineárna (ak sa linearizuje VA-charakteristika) alebo nelineárna (ak je VA-charakteristika nahradená mocninovým polynómom, resp. nelineárnou analytickou funkciou). Spoločným atribútom u všetkých metód riešenia takejto rovnice je vlastne hľadanie priesečníka VA-charakteristiky so zaťažovacou priamkou náhradného aktívneho dvojpólu – pracovného bodu P. Vnútorný prúd IE reálneho zdroja prúdu určíme ako prúd nakrátko, ktorý preteká skratovacím ideálnym vodičom pripojeným medzi uzly, do ktorých bol v pôvodnom obvode pripojený úsek s hľadanou veličinou. r Ur Ir IE RE Pre vyznačený uzol sformulujeme pomocou I. Kirchhoffovho zákona jedinú nelineárnu rovnicu v tvare:

8.3.1. Spôsoby aproximácie VA-charakteristík Experimentálne určené VA-charakteristiky sa dajú aproximovať nasledovnými spôsobmi: náhrada dotyčnicou ku VA-charakteristike v pracovnom bode (linearizácia pomocou diferenciálneho odporu), náhrada lomenými čiarami (linearizácia po častiach), aproximácia mocninovým polynómom, aproximácia analytickou funkciou.

Náhrada dotyčnicou ku VA-charakteristike Táto metóda sa používa vtedy, ak vieme u nelineárneho rezistora približne odhadnúť polohu pracovného bodu a intervaly zmien napätia a prúdu. Výhody: jednoduchá náhrada, stačí riešiť lineárnu rovnicu. P U0 Nevýhody: v závislosti od tvaru VA-charakteristiky sa s rastúcou vzdialenosťou od pracovného bodu zväčšujú rozdiely medzi presnou charakteristikou a jej aproximáciou, preto je vhodná iba na analýzu relatívne malých zmien napätí a prúdov v blízkom okolí pracovného bodu. U0 je priesečník dotyčnice s napäťovou osou (t. j. napätie pri nulovom prúde) a smernica priamky je určená diferenciálnym odporom rdif v pracovnom bode. Rovnica dotyčnice ku VA-charakteristike v pracovnom bode P má tvar

Náhrada lomenými čiarami (linearizácia po častiach) Táto metóda sa používa vtedy, ak je požadovaná čo najpresnejšia náhrada VA-charakteristiky v širokom rozsahu napätí a prúdov, ale chceme sa vyhnúť riešeniu nelineárnej rovnice. Výhody: stačí riešiť lineárnu rovnicu, presnejšia náhrada VA-charakteristiky, riešenie akceptovateľné v širšom rozsahu zmien napätí a prúdov. Nevýhody: komplikovanejšia náhrada VA-charakteristiky, je potrebné určiť rovnice niekoľkých priamok v závislosti od tvaru charakteristiky a polohy pracovného bodu.

Aproximácia mocninovým polynómom Táto metóda sa používa vtedy, ak chceme získať čo najpresnejšie možné riešenie. VA-charakteristika je aproximovaná mocninovým polynómom stupňa n>1 v tvaroch (ak n=1 ide vlastne o linearizáciu) V prípade pasívneho nelineárneho prvku a0=0 (VA-charakteristika prechádza počiatkom súradnicovej sústavy). Ak je VA-charakteristika symetrická, polynóm má len členy s nepárnou mocninou Ir, resp. Ur. Výhody: veľmi presné riešenie, nelineárna rovnica sa dá vyriešiť analyticky (pre n<5) resp. jednoducho numericky (hľadáme korene polynómu). Nevýhody: je potrebné riešiť nelineárnu rovnicu, koeficienty polynómu musíme určiť regresiou z nameraných bodov VA-charakteristiky (sústava n lineárnych rovníc s n neznámymi koeficientami).

Aproximácia analytickou funkciou Táto metóda sa používa vtedy, ak chceme získať čo najpresnejšie možné riešenie. Aproximácia sa dá urobiť dvomi spôsobmi: pomocou typicky zakrivených transcendentných funkcií (exponenciálne, logaritmické, hyperbolické, arctg a pod.), funkciou vyplývajúcou z fyzikálnej teórie opisujúcej vlastnosti nelineárneho prvku (napr. u polovodičovej diódy teória PN-priechodu a pod.). Výhody: veľmi presné riešenie. Nevýhody: je potrebné riešiť nelineárnu rovnicu, ktorá sa v mnohých prípadoch dá riešiť iba numericky.

Sériové spojenie nelineárnych prvkov Ak chceme riešiť elektrický obvod, v ktorom sa vyskytuje viac nelineárnych rezistorov, je možné nájsť v závislosti od zapojenia výslednú VA-charakteristiku ako súčet charakteristík jednotlivých prvkov. Súčet je možné vykonať buď graficky alebo analyticky. Takto získaný zjednodušený nelineárny obvod sa rieši ako obvod s jediným nelineárnym prvkom. r1 Ur1 Ir r2 Ur2 Ur r Ur Ir Zjednodušenie spočíva v náhrade niekoľkých nelineárnych prvkov jediným prvkom s rovnakým pracovným bodom P (Ur, Ir), aký má pôvodné zapojenie nelineárnych prvkov vzhľadom na zvyšok obvodu. I”r U”r I’r r2 U”r2 U’r V prípade sériového zapojenia sa výsledná VA-charakteristika získa ako súčet napätí na jednotlivých prvkoch pri danom prúde, ktorý je pre všetky prvky spoločný. U’r2 U”r1 r1 U’r1

Paralelné spojenie nelineárnych prvkov V prípade paralelného zapojenia sa výsledná VA-charakteristika získa ako súčet prúdov tečúcich cez jednotlivé prvky pri danom napätí, ktoré je pre všetky prvky spoločné. r1 Ur Ir1 r2 Ir2 Ir r Ir Je samozrejmé, že naznačený postup je použiteľný aj pre lineárne obvody. I”r2 I”r1 I”r Z predchádzajúcich obrázkov (VA-charakteristiky) je taktiež jasné, že v elektrických obvodoch obsahujúcich nelineárne prvky NEPLATÍ PRINCÍP SUPERPOZÍCIE!!! Dôkaz je jednoduchý: zdvojnásobeniu napätia (prúdu) na nelineárnom prvku nemusí nutne zodpovedať zdvojnásobenie prúdu (napätia) (pozri napr. VA-charakteristiku znázornenú červenou farbou (r1), kde U”r =2U’r ale I”r1 <2I’r1 ). r2 U”r r1 U’r I’r2 I’r1 I’r

8.3.2. Grafická metóda V prípade čisto grafickej metódy je okrem VA-charakteristiky určená experimentálne aj zaťažovacia priamka. Zaťažovacia priamka sa dá experimentálne určiť veľmi jednoducho: UE RE V UR R IR UE Použitie takto definovanej čisto grafickej metódy samo osebe nemá veľký praktický význam, nakoľko je jednoduchšie určiť experimentálne priamo napätie Ur, resp. prúd Ir v pracovnom bode. V praxi sa preto častejšie využívajú kombinované metódy, kedy je zaťažovacia priamka určená výpočtom pomocou metódy náhradného aktívneho dvojpólu. Experimentálne určenie prúdu nakrátko je problematické nakoľko ampérmetre majú nenulový vnútorný odpor, ktorý spôsobuje chybu merania (pripočítava sa ku vnútornému odporu RE). Preto sa zaťažovacia priamka experimentálne určuje presnejšie postupom uvedeným v opise čisto grafickej metódy. voltmetrom zmeriame napätie naprázdno UE medzi uzlami, do ktorých bol v pôvodnom obvode pripojený úsek s hľadanou veličinou medzi uzly pripojíme lineárny rezistor so známou hodnotou R a zmeriame napätia na tomto rezistore UR (je to vlastne svorkové napätie zaťaženého zdroja) Ir Ur Takto sme určili dva body zaťažovacej priamky, ktorú teraz možno zakresliť do toho istého grafu, ako odmeranú VA-charakteristiku. Nakoniec graficky určíme súradnice priesečníka, čím získame hodnoty Ur, resp. Ir v pracovnom bode. IR UE UR

8.3.3. Analytické metódy Riešenie: Do rovnice získanej aplikáciou II. Kirchhoffovho zákona dosadíme za Ir vzťah pre VA-charakteristiku. Analytické metódy sú založené na analytickom riešení jednej z rovníc odvodených v časti 8.3. Podľa toho, akým spôsobom je aproximovaná VA-charakteristika nelineárneho prvku, riešenie rovnice môže byť relatívne jednoduché (niekedy stačí vyriešiť lineárnu rovnicu), ale v mnohých prípadoch dostávame takú nelineárnu rovnicu, ktorá sa dá riešiť iba numerickými metódami. Dostaneme tak kvadratickú rovnicu s neznámym napätím Ur v tvare Po dosadení číselných hodnôt a vyriešení získame dva korene kvadratickej rovnice Ur1 a Ur2: Záporná hodnota znamená, že smer napätia je opačný, ako bolo predpokladané - v tom prípade by sme ale pomocou II. Kirchhoffovho zákona dostali inú rovnicu. Z matematického hľadiska sú správne obidve riešenia, ale problémom je skutočnosť, že pri jednej hodnote prúdu nemôžu byť na obvodovom prvku súčasne dve napätia. Fyzikálne správne je teda iba jedno riešenie – kladné. Príklad: V obvode s nelineárnym prvkom na obrázku je dané: r Ur Ir UE RE Rovnica VA-charakteristiky: Nakoniec dosadíme Ur1 do rovnice VA-charakteristiky a vypočítame tak druhú súradnicu pracovného bodu - prúd Ir1: II. Kirchoffov zákon pre vyznačenú slučku:

Analytické riešenie – pokračovanie: Statický odpor RS určíme ako podiel napätia a prúdu v pracovnom bode: Ak chceme vypočítať aj diferenciálny odpor rdif musíme najskôr z rovnice VA-charakteristiky vyjadriť napätie ako funkciu prúdu (hľadáme inverznú funkciu). Po úprave dostaneme: Tento výraz zderivujeme podľa prúdu a dostávame tak všeobecný vzťah pre diferenciálny odpor rdif ako funkciu prúdu Ir: Iná možnosť je určenie diferenciálnej vodivosti, z ktorej potom diferenciálny odpor vypočítame ako jej prevrátenú hodnotu. Vtedy netreba hľadať inverznú funkciu. Diferenciálny odpor v pracovnom bode rdif vypočítame tak, že dosadíme za premennú veličinu Ir jej hodnotu v pracovnom bode – Ir1. Výsledok je:

8.3.4. Numerické metódy (iterácia) Numerické metódy sú založené na postupnom spresňovaní (tzv. iterácii) hodnôt napätia Ur (prúdu Ir) nelineárneho prvku v jednej z rovníc odvodených v časti 8.3. Numerické riešenie je samozrejme možné použiť ako alternatívu vždy, teda aj vtedy, keď sa rovnice dajú riešiť aj iným spôsobom (analyticky). Riešenie: Z rovnice získanej aplikáciou II. Kirchhoffovho zákona vyjadríme Ur: Voľba inej štartovacej hodnoty, ako z uvedeného intervalu, nemá praktický význam, nakoľko v danom obvode napätie nikdy neprekročí hodnotu napätia naprázdno (UE) a nikdy nezmení znamienko. Je síce možná aj iná voľba, čo ale môže spomaliť postup konvergencie, alebo dokonca spôsobiť, že proces iterácie bude divergovať. Vo výraze pre napätie Ur nahradíme prúd Ir pravou stranou rovnice VA charakteristiky. Rovnica vyplýva z fyzikálnej teórie PN-priechodu v polovodiči. Význam jednotlivých parametrov aj s číselnými hodnotami je nasledovný: Is = 1x10-14 A (saturačný prúd) e = 1,6021x10-19 C (elementárny náboj) k = 1,3806x10-23 J/K (Boltzmannova konštanta) T =  293,15 K (absolútna teplota) Dostaneme tak tzv. rekurentný vzťah pre napätie Ur v tvare Príklad: V obvode s polovodičovou diódou na obrázku je dané: Proces iterácie prebieha tak, že zvolíme ľubovoľnú tzv. štartovaciu hodnotu napätia Ur (pre n = 0) r Ur Ir UE RE Rovnica VA-charakteristiky: Zvolenú štartovaciu hodnotu dosadíme do pravej strany rekurentného vzťahu a vypočítame novú (spresnenú) hodnotu napätia. II. Kirchoffov zákon pre vyznačenú slučku:

Numerické riešenie – pokračovanie: Takto určenú spresnenú hodnotu opäť dosadíme do pravej strany rekurentného vzťahu a celý postup opakujeme dovtedy, kým rozdiel medzi starou a novou hodnotou nebude menší, ako požadovaná presnosť (napr. 1% novej hodnoty). V tabuľke sú uvedené hodnoty napätia vypočítané viacnásobným opakovaním procesu iterácie (n - krok iterácie): V prípade, že proces iterácie diverguje, postupujeme nasledovne: Z rovnice VA-charakteristiky vyjadríme napätie Ur v tvare (nájdeme inverznú funkciu) Z rovnice získanej aplikáciou II. Kirchhoffovho zákona vyjadríme Ir: n Urn 1 8 2 -5,13310123 3 4 Vo výraze pre napätie Ur opäť nahradíme prúd Ir pravou stranou rovnice. Znovu tak dostaneme rekurentný vzťah pre napätie Ur tentoraz ako Z tabuľky je zrejmé, že proces iterácie diverguje (hodnota napätia pre n = 2 neleží medzi predchádzajúcimi dvomi hodnotami, má dokonca záporné znamienko). Znamená to, že ani po nekonečne veľa krokoch by sme nedospeli ku výsledku. Ďalší postup pri iteráciách je taký istý, ako v predchádzajúcom prípade.

Numerické riešenie – pokračovanie: Výsledok procesu iterácie je uvedený v nasledovnej tabuľke: Výhodou iteračnej metódy je možnosť využitia programovateľných kalkulačiek. Dôležitou je otázka konvergencie iteračného postupu. Dá sa ukázať jednoznačná súvislosť medzi konvergenciou a pomerom ekvivalentného odporu RE ku diferenciálnemu odporu v pracovnom bode (RE/rdif) vo vzťahu ku tvaru VA-charakteristiky (či je konkávna alebo konvexná), ale tento poznatok je v praxi nepoužiteľný – nepoznáme pracovný bod (veď ho ešte len ideme vypočítať) a teda ani diferenciálny odpor. Preto v praxi volíme vždy tú možnosť, ktorú považujeme za jednoduchšiu a iba ak postup diverguje, využijeme druhý spôsob (pomocou inverznej funkcie). Niekedy ale inverznú funkciu nevieme nájsť a vtedy musíme použiť iné metódy riešenia nelineárnych rovníc (napr. metóda bisekcie, Newton-Raphsonova metóda, Brentova metóda a pod.) Opis spomenutých metód ale presahuje rámec tohoto predmetu. n Urn 1 0,85662981 2 0,85376874 3 0,85377886 4 0,85377882 To, či proces iterácie konverguje, je zrejmé už po druhom kroku - ak tretia hodnota leží medzi prvými dvomi, môžeme pokračovať (je splnená nutná podmienka konvergencie). Vtedy je potrebné overiť aj postačujúcu podmienku konvergencie – t. j. aby sa s rastúcim počtom krokov zmenšoval rozdiel medzi dvomi po sebe nasledujúcimi hodnotami (ak sa rozdiel nezmenšuje, hodnoty oscilujú okolo riešenia, ale nekonvergujú). Z tabuľky je zrejmé, že na rozdiel od predchádzajúceho prípadu proces iterácie konverguje veľmi rýchlo, výsledky sa po 4. kroku zhodujú na 8 platných číslic. Z hodnoty napätia získanej po dostatočnom počte iteračných krokov nakoniec určíme hodnot prúdu v pracovnom bode. Podobne sa dajú odvodiť aj rekurentné vzťahy pre prúd Ir.

8.3.5. Kombinované metódy (graficko - počtárske) Kombinované metódy sa v praxi využívajú veľmi často z dôvodu relatívnej jednoduchosti a dostatočnej presnosti. Pracovný bod sa určí graficky, pričom na rozdiel od čisto grafickej metódy je zaťažovacia priamka určená výpočtom pomocou metódy náhradného aktívneho dvojpólu (najjednoduchšie ako dva body – napätie naprázdno UE a prúd nakrátko Ik= UE /RE.

Záver V tejto kapitole sa pozornosť sústredila na riešenie elektrických obvodov s nelineárnymi rezistívnymi prvkami pomocou metódy náhradného aktívneho dvojpólu. Okrem toho je ale možné použiť aj iné metódy známe z riešenia lineárnych obvodov, čo ale vedie na riešenie sústav rovníc, v ktorých je aspoň jedna rovnica nelineárna. V praxi sa veľmi často vyskytuje opačný problém – poznáme pracovný bod nelineárneho prvku a úlohou je návrh (syntéza) elektrického obvodu, ktorý má zabezpečiť nastavenie pracovných podmienok tak, aby nelineárny prvok pracoval v požadovanom režime. Príkladom môže byť návrh jednoduchého stabilizátora napätia so Zenerovou diódou, alebo návrh jednostupňového tranzistorového zosilňovača pre striedavé napätia.