EKONOMETRIA PREDNÁŠKA 6 NESPLNENIE PREDPOKLADOV LINEÁRNEHO KLASICKÉ HO MODELU- AUTOKORELÁCIA doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc Obsah prednášky: PPROBLÉMY ŠPECIFIKÁCIE EKONOMETRICKÉHO MODELU – AUTOKORELÁCIA 5.1.3 Autokorelácia 5.1.3.1 Dôsledky a príčiny autokorelácie 5.1.3.2 Zisťovanie autokorelácie 5.1.3.3 Durbinov – Watsonov test autokorelácie 5.1.3.4 Autokorelácia v modeli s oneskorenou endogénnou vysvetľujúcou premennou Durbinov h –test 5.1.3.5 Breuschov – Godfreyho (BG) všeobecný test autokorelácie 5.1.3.6 Riešenie problému autokorelácie 5.1.3.7 Cochrane – Orcuttova metóda doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 5.1.3 Autokorelácia Dôležitým predpokladom odhadu lineárneho ekonometrického modelu (5.1) pomocou metódy najmenších štvorcov, je podmienka (5.4): (5.43) t.j. nulové kovariancie, resp. nediagonálne prvky variančno – kovariančnej matice náhodných porúch sú rovné nule. Tento predpoklad často nie je splnený, predovšetkým pri odhade parametrov modelu z údajov časových radov. Autokorelácia je teda chápaná ako závislosť medzi dvomi, alebo viacerými hodnotami jednej premennej usporiadanej v čase. Preto v ďalšom texte budeme namiesto neutrálneho i ako index pozorovania používať t (čas), pričom podmienku (5.43) prepíšeme do tvaru: (5.44) 5.1.3.1 Dôsledky a príčiny autokorelácie Sériová nezávislosť náhodných porúch, poprípade rezíduí, je oveľa častejšie narušená pri kvantifikácii modelu z údajov časových radov, avšak môžeme sa ňou stretnúť i pri použití prierezových dát (priestorová autokorelácia). Všeobecne platí, že výskyt sériovej korelácie je pravdepodobnejší pri kratších časových intervaloch jednotlivých pozorovaní, napr. denné, mesačné resp. štvrťročné údaje, menej už pri ročných dátach. Príčiny a dôsledky autokorelácie náhodných porúch je možné koncentrovane zhrnúť do týchto základných okruhov: doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc Väčšina údajov časových radov ekonomických dát vykazuje značnú zotrvačnosť , takže ich pozorovania za niekoľko po sebe idúcich obdobiach nie sú nezávislé, ale sériovo skorelované. Najčastejšie sa jedná o pozitívnu autokoreláciu, ktorá odráža napríklad cyklické zmeny trendu. Vynechanie takýchto vysvetľujúcich premenných pri špecifikácii ekonometrického modelu vedie k vzniku špecifikačnej chyby, ktorá sa prejaví obvykle pozitívnou autokoreláciou náhodných porúch modelu. Niekedy sa tento prípad nazýva kvaziautokoreláciou. Chybná či nepresná špecifikácia matematickej formy modelu, spočívajúca v hrubej aproximácii napríklad kvadratickej, alebo inej nelineárnej funkčnej závislosti lineárnym vzťahom. Špecifikačná chyba tohto druhu sa tak stáva súčasťou náhodných porúch. Zahrnutie chýb meraní endogénnej premennej do náhodných porúch. V dynamickej ekonometrickej analýze vyvoláva zahrnutie oneskorených vysvetľujúcich premenných do modelu autokoreláciu. Oneskorené exogénne premenné vyjadrujú časové posunutie, alebo do niekoľkých období rozložený vplyv tak endogénnej, ako aj vysvetľujúcich premenných. Kvantifikácia modelu z dát, obsahujúcich spriemerované, vyrovnané, interpolované alebo extrapolované údaje. Tieto úpravy dát môžu systematicky ovplyvňovať náhodné poruchy a spôsobovať ich vzájomnú závislosť v rôznych pozorovaniach. doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc Dôsledky autokorelácie náhodných porúch, pokiaľ ide o vlastnosti estimátora najmenších štvorcov, sú podobné ako v prípade heteroskedasticity. Odhady parametrov lineárneho ekonometrického modelu klasickou metódou najmenších štvorcov zostávajú síce nestranné a konzistentné, avšak nemajú minimálny rozptyl a nie sú asymptoticky výdatné. Odhadnuté rozptyly a štandardné chyby sú pri použití obvyklých formúl, vychýlené a nemožno sa spoľahnúť na kvalitu induktívnych záverov, ktoré strácajú na sile. V prípade kladnej autokorelácie sú odhady štandardných chýb parametrov podhodnotené (vychýlené smerom k nule). Ak medzi náhodnými poruchami z rôznych pozorovaní existuje nejaký typ závislosti, môžeme vychádzať z najjednoduchšieho predpokladu o tvare tejto závislosti – tzv. autoregresnej schémy – resp. autoregresného procesu 1. rádu, ak platí: Potom autoregresný proces 1. rádu môžeme zapísať v tvare: (5.45) kde je neznámy parameter, tzv. koeficient autokorelácie, pre ktorý platí: (5.46) doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc pretože pre by náhodné poruchy s rastom počtu pozorovaní geometricky narastali, a pre by oscilovali s geometricky narastajúcou amplitúdou. V oboch prípadoch by model (5.45) nemal interpretáciu, lebo vplyv náhodných porúch v ňom by s narastajúcim počtom pozorovaní prevyšoval jeho deterministickú, teda ekonomicky interpretovateľnú zložku hodnoty závisle premennej. Autoregresný proces 1. rádu sa označuje AR(1). Ďalej predpokladáme, že v autoregresnej schéme (5.45) je náhodný člen , ktorý spĺňa predpoklady: (5.47) Náhodná veličina v autoregresnej schéme (5.45), sa chová ako náhodná porucha v klasickom lineárnom modeli. Autoregresná schéma prvého rádu nie je jedinou možnou schémou generovania autokorelovaných hodnôt náhodných porúch . Existujú aj schémy vyšších rádov napr. schéma druhého rádu AR(2) bude: (5.48) doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc Všeobecne schéma r – tého rádu AR(r) má tvar: (5.49) 5.1.3.2 Zisťovanie autokorelácie Autokorelácia je vlastnosť nepozorovateľných náhodných porúch a na jej prítomnosť nás môže upozorniť už jednoduchá grafická analýza reziduálov. Aj keď reziduály nie sú totožné s náhodnými poruchami , sú však s nimi v určitom vzťahu, ktorý sme popísali v (3.27) t.j.: (5.50) Zo vzťahu (5.50) vyplýva , že ak existuje autokorelácia medi zložkami vektora , potom sa prejaví aj medzi zložkami vektora reziduálov . Preto na zisťovanie sériovej korelácie prvkov vektora náhodných porúch možno využiť reziduály . doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc Ak teda graficky znázorníme priebeh reziduálov v čase, dostaneme graf, ktorý môže nielen indikovať autokoreláciu, ale môže aj naznačiť niečo o jej povahe a príčinách. Túto indikáciu však treba precizovať doplnením analytickými postupmi, ktoré umožnia testovanie štatistickej významnosti autokorelácie náhodných porúch. Najčastejšie sa používajú tieto testovacie postupy: Durbinov – Watsonov test Durbinov h - test Breuschov – Godfreyho všeobecný test autokorelácie 5.1.3.3 Durbinov – Watsonov test autokorelácie Najčastejšie používaným a najznámejším testom autokorelácie je Durbinov – Watsonov test. Testujeme ním autokoreláciu v zmysle autoregresnej schémy 1. rádu (5.51) Nulovú hypotézu je možné sformulovať do tvaru: (5.52) oproti alternatívnej hypotéze: (5.53) doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc Zamietnutie nulovej hypotézy znamená štatisticky významnú autokoreláciu náhodných porúch, čo sa prejaví v neadekvátnosti estimátora najmenších štvorcov. V opačnom prípade, keď potvrdíme nulovú hypotézu je estimátor najmenších štvorcov správny a teda prijateľný. Testovacia štatistika DW testu sa vypočíta: (5.53) Skôr ako naznačíme postup testu , všimnime si vzťah medzi testovacou štatistikou a neznámym koeficientom autokorelácie . Vzťah (5.53) upravíme umocnením: (5.54) doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc Keďže súčty v čitateli výrazu (5.54) sa líšia len o hodnotu môžeme ich považovať za približne rovnaké a rovnajúce sa približne súčtu v menovateli, takže namiesto rovnosti (5.54), platí iba približná veľkosť: (5.55) Autoregresná schéma (5.51) náhodných porúch implikuje autoregresnú schému reziduálov: (5.56) ktorá predstavuje jednoduchý regresný model bez úrovňovej konštanty s vysvetľujúcou premennou . Reziduály vieme vypočítať a zo vzťahu (5.56) je možné odhadnúť metódou najmenších štvorcov takto: (5.57) doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc Ak tento odhad dosadíme do (5.55)dostaneme: (5.58) Keďže pre platí , potom do vzťahu (5.58) dosadíme a dostaneme: t.j. horná hranica Durbinovho – Watsonovho koeficienta (5.53) je 4. Podobne dosadíme do (5.58) a dostaneme: t.j. dolná hranica pre Durbinov- Watsonov koeficient sa rovná 0 a interval možných hodnôt pre d definujeme intervalom: (5.59) Ak náhodné poruchy nie sú autokorelované t.j. , po dosadení do (5.58) dostaneme hodnotu: To znamená, že ak nie sú autokorelované, hodnota testovacieho kritéria je približne 2. doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc Pri testovaní autokorelácie sa teda môžu určiť tieto zóny: dve zóny zamietnutia nulovej hypotézy v prípade pozitívnej alebo negatívnej autokorelácie, dve šedé zóny nejednoznačného rozhodnutia, keď hodnota testovacej štatistiky leží medzi hornou a dolnou hranicou jej kritickej hodnoty, a zóna akceptovania nulovej hypotézy o neprítomnosti autokorelácie. Zrekapitulujme celý postup. Bude užitočné oprieť sa o schematické grafické znázornenie rozdelenia testovacej štatistiky d, o ktorom vieme, že je definované na intervale (0, 4) a že je to rozdelenie symetrické so stredom v bode 2. Teda Durbinov - Watsonov test autokorelácie pozostáva z týchto krokov: Odhadneme parametre modelu metódou najmenších štvorcov, vypočítame reziduály e a testovaciu štatistiku d. Pre daný počet pozorovaní n a počet vysvetľujúcich premenných k+1 (vrátane úrovňovej konštanty) a zvolenú hladinu významnosti nájdeme v tabuľkách dolnú (dL) a hornú (dU) hranicu kritickej hodnoty Durbinovho -Watsonovho koeficienta d. Ak d < dL, zamietame nulovú hypotézu v prospech alternatívnej hypotézy o  pozitív- nej autokorelácii, t.j. H1: . Ak d > 4 - dL, zamietame nulovú hypotézu v prospech alternatívnej hypotézy o  negatívnej autokorelácii, t.j. H1: . Ak dU < d < 4 – dU, akceptujeme nulovú hypotézu, ide o neprítomnosť autokorelácie. 6. Ak dL < d < dU, alebo 4 – dU < d < 4 – dL, test neumožňuje jednoznačne rozhodnúť, či zamietnuť, alebo nezamietnuť nulovú hypotézu. doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc Nedostatkom tohto testu je nemožnosť správneho rozhodnutia, t.j. existencia intervalov v ktorých nevieme rozhodnúť o autokorelácii. V týchto prípadoch možno skúsiť aj iné testy, získať ďalšie pozorovania, alebo nový výber. Hranice kritickej hodnoty dL a  dU sú tabelované od n = 6 (Príloha – tabuľka 9). 5.1.3.4 Autokorelácia v modeli s oneskorenou endogénnou vysvetľujúcou premennou Durbinov h –test Uviedli sme, že Durbinov -Watsonov test nemožno použiť, ak medzi vysvetľujúcimi premennými je aj oneskorená hodnota závisle premennej yt-1. Takéto modely sa nazývajú autoregresnými modelmi. V aplikovanej ekonometrii sú však modely tohto typu, t. j. dynamické modely s oneskorením, veľmi časté. Spôsob testovania autokorelácie v tomto prípade ukážeme na najjednoduchšom autoregresnom modeli: (5.61) Durbin navrhol pre testovanie autokorelácie v modeloch tohto typu (a pre veľké výbery) nasledujúcu testovaciu štatistiku: (5.62) doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc kde je odhad koeficientu autokorelácie získaný metódou najmenších štvorcov z autoregresnej schémy reziduálov: (5.63) pričom n je veľkosť výberu a  je rozptyl odhadu parametra stojaceho pri oneskorenej premennej yt-1 v autoregresnom modeli. Odhad môžeme vypočítať aj z jeho vzťahu s Durbinovu -Watsonovou štatistikou d, ktorú rutinne vypočítavajú všetky ekonometrické i štatistické programové balíky: (5.64) Durbin ukázal, že pre veľké výbery a za predpokladu , že , má štatistika h normované normálne rozdelenie: . Štatistickú významnosť vypočítaného h možno stanoviť porovnaním s kritickou hodnotou normovaného normálneho rozdelenia. Ak je vypočítané h väčšie ako kritická hodnota, potom nulovú hypotézu o neprítomnosti autokorelácie v autoregresnom modeli zamietame. Pri testovaní autokorelácie v autoregresných modeloch nezáleží na počte vysvetľujúcich premenných X ani na tom, koľko oneskorených hodnôt y vystupuje v úlohe vysvetľujúcich premenných. Pri výpočte štatistiky h potrebujeme iba odhad a odhad rozptylu parametra stojaceho pri . Z formuly (5.62) vyplýva podmienka: doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc Tento test je určený pre veľké výbery a jeho vlastnosti v malých výberoch neboli doposiaľ odvodené. S odhadom parametrov autoregresných modelov súvisia aj iné problémy, ako je testovanie autokorelácie.   5.1.3.5 Breuschov – Godfreyho (BG) všeobecný test autokorelácie Autori rozpracovali postup, ktorý je všeobecnejším testom autokorelácie ako DW – test. Je možné ho použiť aj v prípade stochastických regresorov a pre autoregresné schémy vyšších rádov. Test je známy aj ako LM – test (Lagrange Multiplier test). Predpokladajme model:   (5.65) Náhodné poruchy sú generované autoregresnou schémou r – tého rádu AR(r): (5.66) kde je náhodná veličina s normálnym rozdelením: . Testujeme nulovú hypotézu: (5.67) doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc v porovnaní s alternatívnou hypotézou, kedy aspoň pre jedno i je odlišné od nuly. Testovací postup je možné sformulovať do nasledovného postupu:   Parametre modelu (5.65) odhadneme metódou najmenších štvorcov a vypočítame reziduály . V autoregresnej schéme (5.67) nahradíme náhodné poruchy reziduálmi a zaradíme do nej vysvetľujúce premenné čím dostaneme pomocnú regresiu: (5.68) Zaradením oneskorených reziduálov sa počet dostupných pozorovaní pre pomocnú rovnicu zníži na . Odhadneme parametre pomocnej regresie a vypočítame koeficient determinácie . Ak je výber dostatočne veľký, má kritérium pri platnosti nulovej hypotézy - rozdelenie s r stupňami voľnosti. Nulovú hypotézu zamietame v prospech alternatívnej hypotézy, ak hodnota kritéria je väčšia ako kritická hodnota rozdelenia pre zvolenú hladinu významnosti a počet stupňov voľnosti r : (5.69) BG – test je možné použiť aj v prípade, keď medzi vysvetľujúcimi premennými sú aj oneskorené endogénne premenné atď. doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 5.1.3.6 Riešenie problému autokorelácie Keďže v prípade autokorelácie je estimátor najmenších štvorcov neefektívny, musíme nájsť inú procedúru odhadu, resp. modifikovať metódu najmenších štvorcov tak, aby sme získali prijateľný estimátor vektora parametrov . Logika postupu je rovnaká ako v prípade heteroskedasticity – budeme najskôr predpokladať, že koeficient autokorelácie poznáme. Samozrejme, v praxi koeficient autokorelácie nepoznáme, takže súčasťou modifikovanej metódy odhadu parametrov bude aj odhad koeficientu autokorelácie. Vyjdeme z modelu: (5.70) Zapíšme ho pre obdobie t-1: (5.71) Vynásobme túto „oneskorenú“ rovnicu známym a odpočítajme od (5.70): (5.72) doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc čo môžeme písať takto: (5.73) kde: doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc (5.76) doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc Vynásobením modelu touto maticou dostaneme model v kvázidiferenciách (5.72), stratíme však prvé pozorovanie. Ak prvé pozorovanie stratiť nechceme, využijeme (5.76) a maticu W rozšírime o jeden riadok takto: (5.80) doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 5.1.3.7 Cochrane – Orcuttova metóda Je to iteračná metóda. Na začiatku (povedzme, že je to nultá iterácia) odhadneme parametre pôvodného modelu: (5.84) metódou najmenších štvorcov a vypočítame reziduály: (5.85) V každej ďalšej iterácii (predpokladajme, že ide o s-tú iteráciu) sa z reziduálov získaných v predchádzajúcej iterácii vytvorí model v zmysle autoregresnej schémy 1. rádu: t = 2, 3, . . ., n (5.86) doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc