MOCNINY Operácie s mocninami
am MOCNINY základ a2 = a . a 72 = 7 . 7 = 49 44 = 4 . 4 . 4 . 4 = 256 Exponent (mocniteľ) am základ a2 = a . a 72 = 7 . 7 = 49 44 = 4 . 4 . 4 . 4 = 256
Operácie s mocninami sčítavanie a odčítavanie mocnín, súčin mocnín, podiel mocnín, umocňovanie mocnín, záver.
Sčitovanie mocnín 2x3 + 6x4 + 7x3 + 5x4 = 4y5 + 12z3 -5y5 + 8z3 + 9y5 + 4z3 = 0,8a3 - 1/2b8 + 1,3a3 - 3/4b8 = = 2,1a3 - 5/4b8
Odčitovanie mocnín 4x2 - 5x6 + (-5x2) - 9x6 = -1x2 - 14x6 -5a + 9b5 - (-8a + 3b5) = -5a + 9b5 + 8a - 3b5 = 3a + 6b5
Sčitovanie a odčitovanie mocnín Sčitovať a odčitovať môžeme tie mocniny, ktoré majú ten istý základ (x) a toho istého exponenta (3). 2x3 + 7x3 = (2+7)x3 = 9x3
Sčitovanie a odčitovanie mocnín PRIKLADY 3a2 - 2a + 4a2 + a = 3k2 + (-2k3) - k2 - (+5k3) = 6x2 - 2y2 - 3x2 + 2x3 + 5y2 - 7x3 = (2,7x2+5,3x-4,9) - (3,1x2+4,7x+3,2) = (-4z2) + (-2z) + (-z2) - (-3z) - (+5z2) = 7y3 - (-6y) - (+2y2) - (+y) + y2 - 6y3 = 8a2 - (+4b2) + (-5a2) - 1 + 2b2 - 3a2 + 2 =
Sčitovanie a odčitovanie mocnín VÝSLEDKY 7a2 - a 2k2 - 7k3 3x2 - 5x3 + 0y2 = 3x2 - 5x3 -0,4x2 + 0,6x - 8,1 z - 10z2 y3 - y2 + 5y 1 - 2b2
= 23 + 5 = 28 = a2 + 4 = a6 Súčin mocnín a . a . a . a . a . a = 23 . 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = = 23 + 5 = 28 a2 . a4 = a . a . a . a . a . a = = a2 + 4 = a6 4x5 . 3x3 . (-2x4) = = -24x5+3+4 = -24x12
Súčin mocnín 5x5 . 8x3 -0,2x7 . 4x5 1/2x9 . 2/5x 3a2b3c . 8ab8c2 =
am . an = am + n Súčin mocnín Mocniny s rovnakým základom násobíme tak, že základ umocníme súčtom exponentov. am . an = am + n m, n N
3a2b . 4ab3 = 5m4n2 . (-2m2n3) = -5b . (-2b)3 = k . 2k2 . 3k3 = Súčin mocnín PRÍKLADY 3a2b . 4ab3 = 5m4n2 . (-2m2n3) = -5b . (-2b)3 = k . 2k2 . 3k3 = 5ax3 . (-x) . (-a)2 = (-2) 2 . (-2)3 = (3x - 2) . (3x - 2)2 =
Súčin mocnín VYSLEDKY = 12a3b4 = -10m6n5 = +40b4 = 6k5 = 5a3x4 = (-2)5 = -32 = (3x - 2)3
= 24 - 2 = 22 = 23 - 5 = 2-2 = a4 - 4 = a0 = 1 Podiel mocnín 24 : 22 = 24/22= 2 . 2 . 2 . 2 / 2 . 2 = = 24 - 2 = 22 23 / 25 = 2 . 2 . 2 / 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = = 23 - 5 = 2-2 a4 / a4 = a . a . a .a / a . a . a . a = = a4 - 4 = a0 = 1 24x5 / 3x3 = 8x5-3 = 8x2
Podiel mocnín 15x5 : 5x3 -1,2x7 : 4x7 1/2x3 : 2/5x5 45x8y5z2 : 9x6y5z4 = (45:9)x8-6y5-5z2-4 = = 5x2y0z-2 = 5x2z-2
am : an = am - n Mocniny s rovnakým základom delíme tak, Podiel mocnín Mocniny s rovnakým základom delíme tak, že základ umocníme rozdielom exponentov. am : an = am - n
am : an = am - n = m = n m < n m > n a0 = 1 ax a-x = 1 / x Delenie mocnín am : an = am - n = ak: mocniteľ delenca je väčší ako exponent deliteľa m > n ax x - kladný ex. mocniteľ delenca sa rovná exponent deliteľa m = n a0 = 1 mocniteľ delenca je menší ako exponent deliteľa m < n a-x = 1 / x
Podiel mocnín PRÍKLADY 3a5b2 : 0,2a3b = 5x2y3 : (-10x2y4) = 18z6 : (-9z4) = (-4a2b3c4) : 2a2b2c = 24xy2 : (-8x2y2) = 1015 : 106 = (3a - 1)3 : (3a - 1) =
Podiel mocnín VYSLEDKY = 5a2b = -0,5y-1 = -2z2 = -2bc3 = -3x-1 = (10)9 = 1000 000 000 = (3a - 1)2
Mocnina súčinu a podielu (a . b)4 = ab . ab . ab . ab = a.a.a.a . b.b.b.b = = a4 . b4 (2xy)3 = 23x3y3 = 8x3y3 (-2 . 4)3 = (-8) 3 = 512 alebo = (-2)3 . (4)3 = 8 . 64 = 512 (-2y3z5)4 = (-2)4y3.4 z5.4 = 16y12z20
Mocnina súčinu a podielu Súčin umocníme tak, že umocníme každého činiteľa. (a . b)n = an . bn
Mocnina súčinu a podielu (2/3)2 = (2 . 2) / (3 . 3) = 22/32 = = 4/9 (a . a . a .a) / (b . b. b . b) = (a/b)4 = = a4/b4
Mocnina súčinu a podielu Zlomok umocníme tak, že umocníme činiteľa i menovateľa zlomku. (a / b)n = an / bn
= 22 . 3 = 26 = a3 . 4 = a12 Umocňovanie mocnín = +16x10y6 22+2+2 = (22)3 = 22 . 22 . 22 = = 22 . 3 = 26 a3 . a3 . a3 . a3 = a3+3+3+3 = (a3)4 = = a3 . 4 = a12 (-4x5y3)2 = (-4)2x5.2y3.2 = = +16x10y6
Umocnenie mocnín (5x5)3 (-0,2x7)2 (1/2x9)4 (3x4y2)3 = 33x4 . 3y2.3 = 27x12y6
(am)n = am . n Mocninu umocníme tak, že základy mocniny Umocňovanie mocnín Mocninu umocníme tak, že základy mocniny umocníme súčinom exponentov. (am)n = am . n
Umocňovanie mocnín PRÍKLADY (4 . 5)2 = (-2a2/3)3 = (-a2bc4)3 = (-8x2y3z5)2 = (a2 . 1/2c4)3 = (5 . 2 . 3)2 = [(0,5a2)2 . (2a4b3)2]2 =
Umocňovanie mocnín VYSLEDKY = (20)2 = 400 alebo = 42. 52 = 16.25 = 400 = -23a2.3/33 = -8a6/27 = -a2.3b1.3c4.3 = -a6b3c12 = -82x2.2y3.2z5.2 = +64x4y6z10 = a2.3 . 13/23c4.3 = a6 . 1/8c12 = (30)2 = 900 alebo 52 . 22 . 32 = 25.4.9 = 900 = [0,25a4.4a8b6]2 = [1a12b6]2 = 1a24b12
ZÁVER sčitujeme a odčitujeme LEN mocniny s ROVNAKÝM základom a mocniteľom 2x2 + 3x2 = (2 + 3)x2 = 5x2 násobenie: am . an = am + n delenie: am : an = am - n umocnenie: (am)n = am . n a0 = 1; a1 = a a-m = 1/am
KONIEC Ak chceš, môžeš mi napísať na email. Napíš mi: či sa ti to páčilo, či si to pochopil, čo by si zmenil. saskia.vidova@gmial.com