Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 Kapitola 4 ARIMA modely

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4. ARIMA modely 4.1. Úvod 4.2. Predbežná analýza 4.3. Výber vhodných modelov 4.4. Porovanie kvality modelov 4.5. Výpočet prognózy

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.1. Úvod ARIMA modely AutoRegressive Integrated Moving-Average models sú konštruované iným spôsobom ako klasické modely princíp hodnota časového radu je lineárna kombinácia jej vlastných historických hodnôt historických hodnôt reziduálnych odchýlok tzv. náhodných šokov Predkovia Počasie

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.1. Úvod ARIMA modely vyžadujú náročnejšiu analýzu ako iné typy modelov pre väčšinu ekonomických veličín poskytujú lepšie výsledky proces analýzy má viacero fáz identifikácia modelu odhad modelu verifikácia modelu prognózovanie

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Predpoklad ARIMA modelov ARIMA modely popisujú správanie časových radov s použitím minimálneho počtu parametrov takéto úsporné opatrenie, ale niečo stojí cenou za možnosti, ktoré poskytujú ARIMA modely je splnenie konkrétneho predpokladu predpokladu stacionarity štatistické vlastnosti časového radu sa v čase nemenia hovoríme potom, že časový rad je stacionárny

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Definícia stacionarity ČR priemer a štandardná odchýlka resp. rozptyl sú konštantné pre všetky pozorovania časového radu sila závislosti (korelácia) medzi dvojicou pozorovaní je daná len ich vzájomnou vzdialenosťou v čase stacionárny časový rad

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Zhodnotenie stacionarity vychádza z vizuálnej posúdenia grafu vývoja časového radu grafu výberovej autokorelačnej funkcie - Sample Autocorrelation function (SACF)

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Graf vývoja časového radu hľadáme zmenu v úrovni ČR - zmenu v priemere hľadáme zmenu vo variabilite ČR - zmenu v rozptyle Predaj výrobkov tabakového priemyslu v USA zmena variability ČR zmena úrovne ČR

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Graf výberovej autokorelačnej funkcie autokorelácia ČR vzájomný lineárny vzťah - závislosť medzi pozorovaniami časového radu koeficient autokorelácie meria silu autokorelácie medzi pozorovaniami časového radu, ktoré sú v čase od seba vzdialené o k okamihov k=0, 1, 2 …. k je tzv. lag - oneskorenie určuje poradie koeficienta autokorelácie hodnoty z intervalu (-1 , 1) blízko 1  silná pozitívna autokorelácia blízko -1  silná negatívna autokorelácia blízko +/-  slabá lineárna autokorelácia blízko 0  lineárna autokorelácia neexistuje graf autokorelačnej funkcie zobrazuje hodnoty koeficientov autokorelácie os x - poradie koeficienta autokorelácie os y - hodnota koeficienta autokorelácie

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Graf výberovej autokorelačnej funkcie SACF(1) - koeficient autokorelácie s oneskorením o jeden časový okamih - meria silu lineárnej závislosti medzi pozorovaniami, ktoré sú od seba vzdialené o jednu časovú jednotku - ako objem predaja tento mesiac závisí od objemu predaja v minulom mesiaci SACF(12) - koeficient autokorelácie s oneskorením o 12 časových okamihov - ako objem predaja tento mesiac závisí od objemu predaja pred rokom oneskorenie - poradie koeficienta hodnota koeficienta autokorelácie

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Graf výberovej autokorelačnej funkcie prítomnosť nestacionarity postupný pokles koeficientov autokorelácie systematická zmena znamienka koeficientov autokorelácie

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Odstránenie nestacionarity pomocou stacionarizujúcich transformácií ČR postup určíme príčinu zvolíme transformáciu Nestacionarita ČR vo variabilite (v rozptyle) Transformácia ČR analytické transformácie (log) najskôr stacionarizujeme variabilitu v úrovni (v priemere) jednoduché diferencie (Yt-Yt-1)

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Stacionarizujúce transformácie jednoduché diferencie vypočítame nový časový rad ako rozdiel hodnôt pôvodného časového radu môžu byť rôzneho rádu d= 1, 2, … jednoduché diferencie 1. rádu Zt = Yt - Yt-1 Zt = (1- B ) Yt B je operátor spätného chodu (backshift operátor) definuje sa ako BYt = Yt-1 jednoduché diferencie 2. rádu Wt = Zt - Zt-1 Wt = (Yt - Yt-1) - (Yt-1 - Yt-2) Wt = Yt - 2Yt-1 + Yt-2 Wt = Yt - 2B Yt + B2 Yt Wt = (1- B )2Yt dôležitý zápis v teórii ARIMA modelov

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Stacionarizujúce transformácie jednoduché diferencie Zt = Yt - Yt-1 Zt = Yt - Yt-1

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Stacionarizujúce transformácie analytické transformácie hodnoty ČR prepočítame pomocou matematickej funkcie ak variabilita rastie s rastúcimi hodnotami ČR najčastejšie používame logaritmickú transformáciu Zt = log( Yt) po stabilizovaní variability pristupujeme k stabilizácii úrovne Wt = Zt - Zt-1 = log( Yt) - log( Yt-1) Wt = (1-B) Zt Zt = log( Yt) Wt = Zt - Zt-1

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Sezónnosť všeobecne hodnota ČR závisí od konkrétnej sezóny - mesiaca, štvrťroka, v ktorom bola zaznamenaná ARIMA modely hodnota ČR závisí od hodnoty v predchádzajúcich sezónach od hodnoty ČR pred pred rokom a pod. koeficienty autokorelácie pre k=dĺžka sezónny sú významne vysoké sezónny ČR rad musí byť stacionárny aj zo sezónneho hľadiska sezónna úroveň sa nemení ak je stacionárna celková úroveň, sezónna úroveň nemusí byť stacionárna sezónna variabilita sa nemení ak je stacionárna celková variabilita, je stacionárna aj sezónna variabilita

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Sezónnosť v ARIMA modeloch identifikujeme pomocou SACF koeficienty autokorelácie pre pozorovania od seba vzdialené o násobky jedeného roka sú významne vysoké SACF(12) SACF(24)

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Sezónnosť a stacionarita ak je ČR stacionárny v celkovej variabilite, je stacionárny aj v sezónnej variabilite o stacionarite v úrovni to neplatí prítomnosť nestacionarity v sezónnej úrovni sa prejaví v SACF koeficienty autokorelácie so sezónnym oneskorením postupne klesajú Sezónna nestacionarita v úrovni ČR

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Odstránenie sezónnej nestacionarity použijeme sezónne stacionarizujúce transformácie koriguje sezónnu nestacionaritu úrovne ČR pri úprave jednoduchej nestacionarite v úrovni ČR sme použili jednoduché diferencie pri sezónnej nestacionarite úrovne použijeme sezónne diferencie

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Sezónne stacionarizujúce transformácie sezónne diferencie vypočítame nový časový rad ako rozdiel hodnôt pôvodného časového radu, ktoré sú od seba vzdialené o jednu periódu (rok) jednoduché diferencie 1. rádu sú väčšinou postačujúce Zt = Yt - Yt-P Zt = (1- BP ) Yt P je dĺžka periódy B je operátor spätného chodu (backshift operátor) definuje sa ako BYt = Yt-P Zt = Yt - Yt-P

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Prestacionarizovaný ČR ČR bol diferencovaný viac ako bolo treba stáva sa nepoužiteľným poskytuje horšie výsledky ako nestacionárny ČR skontrolujeme pomocou vizuálneho posúdenia grafu výberovej inverznej autokorelačnej funkcie SIACF - Sample Inverse Autocorrelation Function stacionarizovaný ČR koeficienty SIACF rýchlo klesajú k nule koeficienty SIACF pomaly klesajú k nule prestacionarizovaný ČR

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Prestacionarizovaný ČR a SIACF SIACF stacionarizovaného radu Zt SIACF prestacionarizovaného radu Wt

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 4.2. Predbežná analýza ČR Zhrnutie predbežnej analýzy 1. graf vývoja časového radu graf autokorelačnej funkcie 2. overte stacionaritu overte sezónnosť 3. transformujte ČR 4. log transformácia - variabilita jednoduché diferencie - základná úroveň sezónne diferencie - sezónna úroveň 5. overte prestacionarizovanosť pomocou SIACF

Základy štatistiky s využitím systému SAS® 9/22/2018 Ukážka Predbežná analýza ČR