Identifikácia MSW modelu Na určenie vhodného rádu p pre AR(p) v jednotlivých režimoch MSW modelu ako aj na určenie optimálneho počtu režimov sa používa Bayesovo informačné kritérium BIC modifikované pre m-stavový MSW model kde je vierohodnostná funkcia pre časový rad n, počítaná pre maximálne vierohodné odhady vektora parametrov , dm je počet nezávislých parametrov mrežimového MSW modelu a n je dĺžka časového radu. Hodnota dm = m2 + m . Označme:
Potom: Vyberáme model s menším BIC.
Štandardné chyby ML odhadov parametrov MSW modelu Sú založené na tzv. skórovej funkcii kde f(Xt|t-1, ) je podmienená hustota pravdepodobnosti pozorovateľnej premennej Xt: Hamilton ukázal, že pre dvojrežimový MSW model s AR(p) v obidvoch režimoch je skórová funkcia nasledovná: kde:
Výraz vyjadruje, ako sa zmení odhad pravdepodobnosti, že proces je v stave j v čase t po pridaní pozorovania Xt v čase t do histórie pozorovaní. Štandardné chyby dostaneme ako druhé odmocniny diagonálnych prvkov inverznej matice k vonkajšiemu súčinu vektorov skórovej funkcie: Predpokladáme: Potom:
b) Testovanie premenlivosti režimov modelu - testovanie linearity oproti nelinearite typu MSW. Pre testovanie linearity oproti alternatíve nelinearity typu MSW sa používa test vierohodnostným pomerom, v ktorom sa testuje nulová hypotéza linearity, t.j. H0 : 1 = 2 i {0, 1, ..., p}, kde p = max (p1, p2). Testovacie kritérium je: kde LMSW a LAR sú hodnoty logaritmov vierohodnostných funkcií zodpovedajúcich modelom MSW a AR. Za predpokladu platnosti nulovej hypotézy sú pravdepodob-nosti prechodu p11 a p22 prebytočnými parametrami.
Hansen ukázal, že LR - štatistika nemá štandardné pravdepodobnostné rozdelenie. Toto rozdelenie dokonca ani nemôže byť vyjadrené analyticky, ale jedine simulačne. Pri simulačnom určovaní kritických hodnôt sa postupuje tak, že sa pomocou modelu AR(p) vygeneruje veľké množstvo umelých časových radov (minimálne 5000). Ďalej sa pre každý vygenerovaný časový rad odhadnú parametre modelov AR a MSW a určí sa hodnota testovacieho kritéria LR. Týmto spôsobom sa odhadne jeho pravdepodobnostné rozdelenie a určia sa potrebné kritické hodnoty.
c) Diagnostické testy Sú to testy typu LM (Lagrange multiplier), ktoré sú založené na skórovej funkcii Pre diagnostické testy je skórová funkcia pre dvojrežimový MSW model s AR(p) v obidvoch režimoch nasledovná: kde: Ak sú dáta skutočne generované dvojrežimovým MSW modelom s AR(p) v obidvoch režimoch, potom platí:
1. Autokorelácia rezíduí „naprieč“ režimami (vzájomná autokorelácia) Vychádza sa z podmienenej hustoty pravdepodobnosti: Nulová hypotéza je, že rezíduá naprieč režimami nie sú korelované: H0: = 0 oproti H1: ≠ 0 Dá sa dokázať, že platí:
Testovacie kritérium má potom tvar: kde je maximálne vierohodný odhad parametrov za predpokladu platnosti nulovej hypotézy, t.j. = 0. Toto testovacie kritérium má za platnosti H0 asymptoticky rozdelenie 2(1).
2. Autokorelácia rezíduí vo vnútri i-teho režimu (i = 1, 2) Vychádza sa z podmienenej hustoty pravdepodobnosti: Nulová hypotéza je, že rezíduá vo vnútri i-teho režimu nie sú korelované : H0: = 0 oproti H1: ≠ 0 Testovacie kritérium má opäť tvar: Toto testovacie kritérium má za platnosti H0 asymptoticky rozdelenie 2(1).
3. Test ostávajúcej nelinearity Dvojrežimový model je v prípade, že 1 2. Trojrežimový model získame pridaním tretieho režimu. Budeme teda testovať: H0 : 2 = 3 i {0, 1, ..., p}, kde p = max (p2, p3). Testovacie kritérium je kde LMSW3r a LMSW2r sú hodnoty logaritmov vierohodnostných funkcií odpovedajúcich dvojrežimovému a trojrežimovému MSW modelu. Kritické hodnoty testovacej štatistiky opäť musíme určiť simuláciou. Pomocou dvojrežimových MSW modelov vygenerujeme veľké množstvo umelých časových radov. Pre každý vygenerovaný časový rad odhadneme parametre trojrežimových MSW modelov a určíme hodnoty testovacieho kritéria LR. Ďalej už postupujeme rovnako ako pri teste linearity.
Konštrukcia bodových predpovedí na základe MSW modelov Konštrukcia bodových predpovedí modelov MSW sa skladá z predpovede v závislosti od režimu, ktorý nastane v čase T+h, t.j. v závislosti na režime qT+h a z predpovede pravdepodobnosti, s ktorou tento režim nastane. Pre predpoveď s horizontom jedna teda platí (pre m-režimový MSW model): kde E(XT+1 | qT+1 = j, T) = j,0 + j,1 XT + ... + j,p XT-p+1 sú predikované pravdepodobnosti.
Diebold - Mariannov test V súčasnosti sa všeobecne používa na vyhodnotenie bodových predpovedí dvoch porovnávaných modelov a je hodnotený ako jedna z najlepších diagnostických mier. Uvažujme dve 1-krokové predpovede časového radu Xt, označené ako počítané pre t = T , …, T + P - 1 (t. j. celkovo P predpovedí), kde T je počet dát v testovacej časti vzorky. Nulová hypotéza je, že obidva modely dávajú rovnako presné predpovede. Postup pri testovaní: Určí sa „stratová“ (loos) funkcia g(ei,t(1)), kde ei,t(1) je odpovedajúca chyba pre 1-krokovú predpoveď, t. j. , i = 1, 2. Vypočíta sa rozdiel dt g(e1,t(1)) – g(e2,t(1)), pre ktorý pri rovnakej presnosti predpovedí platí E[ dt ] = 0.
Za predpokladu kovariančnej stacionarity časového radu dt je asymptotické rozdelenie výberového priemeru dané vzťahom , kde Testovacia štatistika DM pre H0: E[dt] = 0 má za predpokladu platnosti H0 asymptoticky normálne rozdelenie N(0, 1). Definovaná je vzťahom: DM = kde je konzistentný odhad založený na výberových autokovarianciách
Výsledky testu sa zapisujú do tabuľky, ktorá má v riadkoch aj stĺpcoch uvažované modely. Prvok v i-tom riadku a j-tom stĺpci tejto tabuľky je rovný a) 1 b) -1 c) 0 ak je kvalita predikcie modelu v riadku i v porovnaní s modelom v stĺpci j a) štatisticky významne lepšía b) štatisticky významne horšía c) nie je medzi nimi štatisticky významný rozdiel.
Osnova programu na desiate cvičenie Výber najlepšieho modelu z triedy SETAR, LSTAR a ESTAR na popisné účely na základe: smerodajnej odchýlky rezíduí relatívneho zlepšenia oproti lineárnemu modelu = kde SSR0 je reziduálny súčet štvorcov lineárneho a SSR1 viacrežimového modelu. Výber modelu z triedy SETAR, LSTAR a ESTAR s najlepšími predikčnými vlastnosťami na základe: predpovedných chýb Diebold – Mariannovho testu.