MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce. 3. Limita funkce Derivace funkce Průběh funkce 1 proměnné, motivační příklady Lineární algebra pro udělení zápočtu bez zápočtového testu je nutno splnit současně: nejvýše 4 absence na cvičeních včetně omluvených absencí dostatečnou úspěšnost v průběžných testech klasifikace u zkoušky v řádném termínu je výsledkem procenta úspěšnosti na cvičeních a zkouškového testu. klasifikace u zkoušky v opravných termínech je výsledkem opravného testu. Pravděpodobné termíny zkoušky: termíny: 9.1.2018, 11.1.2018, 22.1.2018 termíny: 25.1.2018, 30.1.2018 termín: 6.2.2018 vždy 8:30 – 10:30

body pro klasifikaci jsou tvořeny 80% za zkouškový test Každý test na cvičeních je hodnocen procentem úspěšnosti 0% – 100%. Pro získání zápočtu musí být průměr úspěšností všech krátkých testů na cvičeních alespoň 55%. Pokud student nezíská zápočet, nemůže skládat zkoušku  je hodnocen známkou “4“ (neprospěl) Klasifikace u zkoušky řádný termín: Klasifikace u zkoušky opravné termíny: body pro klasifikaci jsou tvořeny 80% za zkouškový test 20% za procento úspěšnosti na cvičeních body pro klasifikaci jsou tvořeny 100% za opravný test klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti: x < 55, známka 4 55  x < 65, známka 3 65  x < 70, známka 2- 70  x < 80, známka 2 80  x < 90, známka 1- x  90, známka 1 klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti: x < 55, známka 4 55  x < 65, známka 3 65  x < 70, známka 2- 70  x < 80, známka 2 80  x < 90, známka 1- x  90, známka 1

Literatura. Dostálková I. Matematika 0, BF JU, Č. Budějovice,1992. Bušek I., Calda E. Matematika pro gymnázia. Základní poznatky, 2008 Charvát J., Zhouf J. Matematika pro gymnázia. Rovnice a nerovnice, 2008 Hrubý D, Kubát J. Matematika pro gymnázia. Diferenciální a integrální počet, 2008 Kočandrle M., Boček L. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie, 2008 Odvárko O. Matematika pro gymnázia. Funkce, 2008 Odvárko O. Matematika pro gymnázia. Goniometrie, 2008 Internetové odkazy. http://mi21.vsb.cz/modul/herbar-funkci http://mathonline.fme.vutbr.cz/ http://www.ft.utb.cz/czech/um/studium/sbirka.htm http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika.alej http://maths.cz/mapa-webu/ss-matematika.html

OPAKOVÁNÍ toho, co byste měli umět. výroky, množiny operace s reálnými čísly absolutní hodnoty, relace mezi nimi Výroky, množiny. Výrok je sdělení, u něhož mohou nastat pouze 2 možnosti: pravda, nepravda. Množina je soubor prvků určité vlastnosti. Výroky. V1 je zataženo V2 prší Operace s výroky. je zataženo a současně prší  konjunkce  (V1  V2) = (V1 a V2) = (V1 and V2) je zataženo nebo prší  alternativa  (V1  V2) = (V1 nebo V2) = (V1 or V2) když je zataženo, prší  implikace  (V1  V2) zataženo je právě, když prší  ekvivalence  (V1  V2) neprší  negace  ( V1) = (V1’) = (not V1)

Tabulky pravdivostních hodnot. V1 … mléko obsahuje vápník V2 … mléko obsahuje chlorofyl V1 ˄ V2 …mléko obsahuje vápník a chlorofyl Výrok je nepravdivý. V1 ˅ V2 …mléko obsahuje vápník nebo chlorofyl Výrok je pravdivý. Jestliže mléko obsahuje chlorofyl, pak obsahuje vápník. Výrok je pravdivý. Jestliže mléko obsahuje vápník, pak obsahuje chlorofyl. Výrok je nepravdivý.

Krávy létají jen tehdy, když kapr je savec. Výrok je pravdivý. ¬ V1 … mléko neobsahuje vápník Výrok je nepravdivý. ¬ V2 … mléko neobsahuje chlorofyl Výrok je pravdivý. Příklad. Negace konjunkce výroků V1 a V2. (V1… je úterý, V2 … je 4.10.) tautologie V1 V2 V1  V2 (V1  V2)/ (V1/  V2 / )  (V1  V2)/ p n Není pravda, že je úterý, 4.10.  není úterý nebo není 4.10.

Příklad. Negace implikace mezi výroky V1 a V2. tautologie V1 V2 V1  V2 (V1  V2)/ (V1 ˄ V2 / )  (V1  V2)/ p n Není pravda, že jestliže je úterý, pak je 4.10.  je úterý a není 4.10. Příklad. Negace ekvivalence mezi výroky V1 a V2.

Tabulka pravdivostních hodnot. Exkluzivní disjunkce.   Tabulka pravdivostních hodnot. V1 V2 V1  V2 P N V1 V2 V1  V2 (V1  V2) V2 P N Šifrování. Příklad - kryptografie: Vstupní text (V1): 0111011010101 Klíč (V2): 1011000100100 Výsledek XOR (V1 xor V2): 1100011110001 – zašifrovaný text Na zašifrovaný text znovu použijeme klíč: Výsledek XOR: 1100011110001 Klíč: 1011000100100 A dostáváme vstupní text: 0111011010101

Množiny. Způsoby definice množiny M: M = {0, 2, 4, 6, 12} konečná množina zadaná výčtem prvků M = {0, 1, 2, 3, ...} nekonečná množina M = {x splňující určité vlastnosti} množina zadaná vlastnostmi prvků x  M x patří do množiny M 0  {0, 2, 4, 6, 12} x  M x nepatří do množiny M 1  {0, 2, 4, 6, 12} A  M A je podmnožinou množiny M {0, 2}  {0, 2, 4, 6, 12} A  M A není podmnožinou množiny M {1, 3} {0, 2, 4, 6, 12} Definice. Nechť A a B jsou množiny. Pak A  B právě, když pro každý prvek množiny A platí, že je prvkem množiny B. A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Struktura definice. předpoklad (za jakých podmínek platí) závěr (čeho se definice týká)

A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Příklad. A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Z negace konjunkce plyne, že A ≠B právě, když (A není podmnožinou B) NEBO (B není podmnožinou A). Speciální množiny.  prázdná množina = množina neobsahující žádný prvek N množina přirozených čísel = {1, 2, 3, 4, ...} Z množina celých čísel = {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Q množina racionálních čísel = {p/q, kde p Z, q  N } R množina reálných čísel = všechny “body přímky“. Kvantifikátory.  pro každý “pro každý prvek množiny A platí, že je prvkem množiny B.“  existuje “existuje (alespoň jedno) číslo, které nepatří do množiny N.“ Poznámky.  prázdná množina {} množina obsahující 1 prvek, prázdnou množinu {x}  R jednoprvková množina je podmnožinou množiny reálných čísel x  R prvek množiny reálných čísel

Operace s množinami. Nechť A a B jsou množiny. Pak Průnik množin: A  B = {x; x A a současně x B }. Jestliže A B = , množiny se nazývají disjunktní. Sjednocení množin: A  B = {x; x A nebo x B }. Doplněk množiny A’ = {x; x  A} Rozdíl množin: A - B = {x; x A a současně x  B} A B AB = (A-B)(B-A)(AB), při tom (A-B)  (B-A) =  a současně (A-B)  (AB) =  a současně (B-A)  (AB) = . Říká se tomu disjunktní rozklad AB A-B AB B-A

Negace výroků. Příklady. V: Každý student umí malou násobilku. Aspoň n …. je …(n >1)   Nejvýše (n - 1) … je … Nejvýše n … je …(n >0) Aspoň (n+1) …. je … Každý … je… Nejvýše žádný … není… Existuje 1, který není Aspoň... 1... není Existuje 1 … je ... Aspoň 1 … je ... Žádný(každý) … není ... Nejvýše... 0 … je Příklady. V: Každý student umí malou násobilku. V: Nejvýše žádný student neumí násobilku. V/: Aspoň 1 student neumí násobilku. V/: Existuje student, který neumí násobilku. V: Existuje student, který umí malou násobilku. V: Aspoň 1 student umí násobilku. V/: Nejvýše 0 studentů umí násobilku. V/: Žádný (každý) student neumí násobilku. V: Aspoň 3 prvky patří množině A. V/: Nejvýše 2 prvky patří množině A. V: Nejvýše 3 prvky patří množině A. V/: Alespoň 4 prvky patří množině A.

Příklad. M A B C AC D AD AB = CB = DB = , množiny A, C, D jsou disjunktní s B D  C, současně však C  D, proto D  C.

Operace s reálnými čísly. Nechť a, b, c  R. Sčítání a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a komutativní zákon asociativní zákon jednotkový prvek Násobení ab = ba (ab)c = a(bc) a.1 = a , a.(-1) = -a (a + b)c = ac + bc distributivní zákon Relace mezi reálnými čísly. ab > 0  [(a > 0)  (b > 0)]  [(a < 0)  (b < 0)] (x+1)(x+2)>0 [(x > -1)  (x > -2)]  [(x < -1)  (x < -2)]  (x < -2)  (x > -1) ab < 0  [(a > 0)  (b < 0)]  [(a < 0)  (b > 0)] (x+1)(x+2)>0 [(x > -1)  (x < -2)]  [(x < -1)  (x > -2)]  -2 < x < -1 ab = 0  (a = 0)  (b = 0) (x+1)(x+2)= 0  (x = -2)  (x = -1) a / b > 0, b  0  [(a > 0)  (b > 0)]  [(a < 0)  (b < 0)] a / b < 0, b  0  [(a > 0)  (b < 0)]  [(a < 0)  (b > 0)] a / b = 0, b  0  (a = 0) a > 0  - a < 0.

Pro které reálné r platí . Příklad. 𝑟+2 𝑟−3 ≥0 Pro které reálné r platí . 𝑟+2≥0  r−3>0  𝑟+2≤0  r−3<0  𝑟≥−2  r>3  [(r ≤ -2)  (r < 3)] (3, +∞) -2 3 (−∞, −2> 𝑟∈(−∞, −2>  (3, +∞)

Příklad. Pro která reálná r, s platí Příklad. Pro která reálná r, s platí

Intervaly. R = (-, + ) = {x; - < x < +  } (a, b) = {x  R; a < x < b } (a, b > = {x  R; a < x  b } Absolutní hodnoty. Nechť a  R. Absolutní hodnota čísla a je nezáporné číslo (| a |  0) definované takto: a, pro a  0 | a | = - a, pro a  0 Příklad. Řešme rovnici | x – 4 | = 2. Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Pro x > 4 je x – 4 > 0, tedy | x – 4 | = x – 4, | x – 4 | = x – 4 = 2  x = 6. Pro x < 4 je x – 4 < 0, tedy | x – 4 | = - x + 4, | x – 4 | = - x + 4 = 2  x = 2. Rovnice má 2 řešení: x = 2 a x = 6.

Příklad. Řešme rovnici | x – 4 | = 2 na množině <5, + ). Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Pro x > 4 je x – 4 > 0, tedy | x – 4 | = x – 4, | x – 4 | = x – 4 = 2  x = 6. Pro x < 4 je x – 4 < 0, tedy | x – 4 | = - x + 4, | x – 4 | = - x + 4 = 2  x = 2. Na množině <5, + ) má rovnice 1 řešení: x = 6. Příklad. Řešme nerovnici | x – 4 |  2. Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Nulový bod rozdělí reálnou osu na 2 intervaly: (- , 4 >, < 4, + ). x – 4 ≤ 0 pro x  (- , 4>, tedy | x – 4 | = 4 – x  2  2  x. Tedy x  (- , 4>  < 2, + ) = < 2, 4>. x – 4 ≥ 0 pro x  <4, + ), tedy | x – 4 | = x - 4  2  x  6. Tedy x  (- , 6 >  <4 , + ) = <4, 6 >. Řešením nerovnice je tedy interval < 2, 4>  <4, 6 > = <2, 6>.

Úpravy výrazů vycházející z předchozích pravidel. Příklad. Upravte 𝑎−3 1+3𝑎 − 𝑎−4 1+4𝑎 = 𝑎−3 1+4𝑎 −(𝑎−4)(1+3𝑎) (1+3𝑎)(1+4𝑎) = 𝑎−3+4 𝑎 2 −12𝑎 −(𝑎−4+3 𝑎 2 −12𝑎 1+3𝑎)(1+4𝑎 = 𝐚 𝟐 +𝟏 𝟏+𝟑𝐚)(𝟏+𝟒𝐚 Nulou nelze dělit, proto 1+3𝑎≠0, 1+4𝑎 ≠0  𝑎 ≠− 1 3 a současně 𝑎≠− 1 4  𝐚  {− 𝟏 𝟑 , − 𝟏 𝟒 }

Příklad. Upravte 𝑎−3 1+3𝑎 − 𝑎−4 1+4𝑎 :(1+ 𝑎−3 1+3𝑎 . 𝑎−4 1+4𝑎 = = 𝑎 2 +1 1+3𝑎)(1+4𝑎 : 1+3𝑎 1+4𝑎 + 𝑎−3 (𝑎−4 1+3𝑎)(1+4𝑎 = = 𝑎 2 +1 1+3𝑎)(1+4𝑎 . 1+3𝑎)(1+4𝑎 1+3𝑎 1+4𝑎 + 𝑎−3 (𝑎−4 = 𝑎 2 +1 1+3𝑎)(1+4𝑎 +(𝑎−3)(𝑎−4) = 𝑎 2 +1 13+13 𝑎 2 = 𝑎 2 +1 13(1+ 𝑎 2 ) = 𝟏 𝟏𝟑 Nulou nedělíme, tedy 𝐚  − 𝟏 𝟑 , − 𝟏 𝟒 , protože (1+ 𝑎 2 ) > 0.