Technická FYzika pro Strojaře 1 Šimon Kos, KFY Číslo dveří: UN207 Email: simonkos@kfy.zcu.cz Telefon: 37763 2245 Informace na http://www.kfy.zcu.cz/Pro_studenty/Predmety/TFYS1KS.html Cvičení, praktika—nejsou Zápočet zároveň se zkouškou

Zkouška ● Písemná: 5 otázek, každá za max. 2 body ● Možnost ústní zkoušky za max. 2 body ● Hodnocení: 10-9b…1 8-7b…2 6-5b…3

Důležitá role matematiky ve fyzice zdůrazňována… …v začátcích: Galileo: Kniha přírody je napsána jazykem matematiky (1623) Isaac Newton: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687) …i v době moderní fyziky: Eugene Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (1960) Co to znamená: ● Fyzikální veličiny mají číselnou hodnotu. ● Vztahy mezi fyzikálními veličinami jsou rovnice. ● Rovnice dávají do souvislosti veličiny a jejich změny v čase a prostoru. ● Změny jsou vyjádřeny derivacemi a rovnice jsou proto diferenciální rovnice (např. 2. Newtonův zákon za chvíli).

Fyzikální veličiny Veličina = číselná hodnota × jednotka; bez jednotky nemá číselná hodnota smysl! Např. m = 5kg nebo 5[kg] Základní veličiny mechaniky: veličina jednotka délka m hmotnost kg čas s Ostatní veličiny mechaniky jsou z nich odvozené, jak uvidíme v dalším (např. rychlost, síla, moment setrvačnosti). V dalších částech fyziky potkáme veličiny, které nejsou z těchto odvozené (např. elektrický proud, teplota, látkové množství).

Skaláry, vektory Dělení podle množství informace v dané veličině: Skaláry- jen velikost (hmotnost, čas, teplota,…) Vektory- velikost + směr (poloha, rychlost, zrychlení, síla,…) Graficky: šipka a Označení: tučně; v psaném textu šipka nad písmenem ay x y z a ax az Složky v pravoúhlém souřadném systému a=(ax,ay,az) Velikost vektoru: |a| nebo též prostě netučné a

Operace s vektory Probereme postupně: ● Sčítání, odečítání dvou vektorů, násobení vektoru skalárem ● Skalární součin dvou vektorů ● Vektorový součin dvou vektorů Probereme postupně:

Sčítání, odečítání, násobení skalárem a+b b+a = Sčítání: Komutativní jako u čísel a b a-b -b a+(-b) = Odčítání: Násobení skalárem: 3b -3b

Skalární součin a·a= |a||a| cos 0°= |a|2 =ax2+ay2+az2 Z jednoho vektoru vezmeme pouze projekci na druhý: a b  |a| cos  Skalární součin definujeme jako a·b=|a||b| cos  …symetrický výraz vůči a↔b…mohli jsme vzít projekci b na a Ve složkách: a·b=axbx + ayby + azbz Speciální případ: skalární součin vektoru sama se sebou a·a= |a||a| cos 0°= |a|2 =ax2+ay2+az2 Pythagorova věta

Vektorový součin 2 vektory v 3-rozměrném prostoru: Velikost: |C| = |A| |B| sin 

Podobnosti a rozdíly součinů Stejné: ● výsledek úměrný velikosti každého z obou vektorů ● platí pro ně pravidlo pro derivaci součinu dvou funkcí, které uvidíme za chvíli Různé: ● skalár vs. vektor, ● cos vs. sin (skalární součin největší pro ║, nulový pro ┴, vektorový naopak) ● komutuje vs. antikomutuje,

Derivace = poměr rychlostí změny veličiny f a veličiny x: x+h3 x+h2 x+h1 f(x) f(x+h3) f(x+h2) f(x+h1) symbolem  označujeme malou ale konečnou změnu veličiny Značení derivace: pro první derivaci pro druhou derivaci atd.

Derivace elementárních funkcí ● Mocnina: (spec. případ: derivace konstanty=0) ● Exponenciála: ● Trigonometrické funkce:

Pravidla pro derivování ● Součet: ● Součin: (i skalární nebo vektorový dvou vektorových funkcí) ● Speciálně násobení konstantou: ● Složená funkce: ● Součet a násobení konstantou dohromady dají linearitu:

Integrál Opak: známe rychlost f změny veličiny F… …a chceme dostat samotnou veličinu F Obě strany vynásobíme přírůstkem Δx čímž dostaneme přibližně přírůstek F(x). Když tyto přírůstky sečteme, dostaneme přibližně samotnou funkci F: Toto přiblížení je tím lepší, čím je menší Δx. V limitě Δx→0 dostaneme integrál který je určen až na libovolně velkou integrační konstantu. Když zadáme meze, dostaneme určitý integrál:

Geometricky f(x) x a b Δx Při zmenšování intervalu x se součet blíží ploše pod křivkou.

Vlastnosti integrálu Slovy: -integrál je lineární (jako derivace) -určité integrály se sčítají při sjednocení intervalů -určitý integrál změní znaménko při výměně mezí

Mechanika Kinematika: popis pohybu Dynamika: příčiny …studuje pohyb těles. Nejjednodušší: hmotný bod—když můžeme zanedbat rozměry tělesa, tj. když můžeme zanedbat otáčivý pohyb vůči posuvnému (na příští přednášce se budeme zabývat rotačním pohybem) Kinematika: popis pohybu Dynamika: příčiny Toto rozdělení i v jiných částech fyziky

Kinematika hmotného bodu… …zahrnuje následující pojmy: ● okamžitá poloha ● trajektorie = všude, kudy bod při pohybu projde ● rychlost = derivace polohy podle času; tečná k trajektorii ● zrychlení = derivace rychlosti podle času; má -tečnou složku kvůli změně velikosti rychlosti -normálovou složku kvůli změně směru rychlosti Probereme je postupně:

Poloha, trajektorie z r(t) z(t) y x(t) y(t) x V časovém okamžiku t je hmotný bod v místě popsaném polohovým vektorem r(t) se souřadnicemi x(t), y(t), z(t) Trajektorie = všechna místa, jimiž bod projde (červená čára).

Rychlost z r(t+Δt) r(t) z(t) y x(t) y(t) x ● Složky vektoru rychlosti jsou derivace složek polohového vektoru. ● Vektor rychlosti je tečný ke trajektorii. ● Jednotka = m s-1

Zrychlení Derivujeme ještě jednou podle času: Zrychlení může mít i složku tečnou k trajektorii i složku kolmou, tedy dostředivou neboli radiální. Jednotka = m s-2

Radiální zrychlení… …je způsobené změnou směru rychlosti: Podobnost trojúhelníků kde r je poloměr křivosti, dá

Tečné zrychlení… Dohromady …je způsobené změnou velikosti rychlosti: V autě nás točení volantem tlačí do strany, kdežto brzda a plyn nás tlačí dopředu a dozadu.

Hybnost, mezikrok k dynamice, je… …„quantitas motus“ (množství pohybu)—Newton. Je tím větší, čím je větší hmotnost nebo rychlost objektu: Vektor…má velikost i směr. Takhle to vypadá, že hybnost je odvozená od rychlosti. Další vývoj fyziky ukázal, že hybnost je více fundamentální veličina než rychlost. Jednotka = kg m s-1

Dynamika Nature and nature's laws lay hid in night; God said "Let Newton be" and all was light. Alexander Pope, 1730 It did not last: the Devil shouting "Ho. Let Einstein be," restored the status quo. John Collings Squire, 1926 Tehdy básníky zajímala přírodověda (jako u nás Nerudu).

Newtonův základní zákon dynamiky: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. ● Slovy: působící síla je rovná změně hybnosti tělesa. ● Diferenciální rovnice (skrytě druhého řádu…viz 2. Newtonův zákon za chvíli) ● Zákon platí v inerciální soustavě, tj. soustavě, která sama nezrychluje. ● Jednotka síly = N = kg m s-2

Důsledky…použitím matematiky 1. Slovy: když na těleso konstantní hmotnosti v inerciální soustavě nepůsobí síla, pak těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu. …1. Newtonův zákon 2. Slovy: při konstantní hmotnosti je působící síla rovna součinu hmotnosti a zrychlení objektu. …2. Newtonův zákon Druhá derivace…diferenciální rovnice druhého řádu.

3. Když dva objekty působí jeden na druhý, ale bez působení vnější síly, např. kladivo a hřebík, pak Slovy: síla, kterou působí objekt 1 na objekt 2 je stejné velikosti a opačného směru k síle, kterou působí objekt 2 na objekt 1 …3. Newtonův zákon (zákon akce a reakce) V případě kladiva a hřebíku síla Fnh zpomaluje kladivo a síla Fhn zrychluje hřebík.

Příklad: volný pád Gravitační (tíhová) síla: kde g je tíhové zrychlení, které má i konstantní směr (dolů) i konstantní velikost (asi 10 m s-2) Dosadíme do 2. Newtonova zákona: Tedy objekt se pohybuje se zrychlením rovným tíhovému zrychlení. Integrujeme obě strany poslední rovnosti: Konstanta g jde před integrál kvůli linearitě. Integrační konstanta v0 má fyzikální význam počáteční rychlosti v čase t = 0.

Dráhu určíme z rychlosti druhým integrováním: Integrační konstanta r0 má fyzikální význam počáteční polohy v čase t = 0.

Druhý způsob výpočtu: ve složkách. Zvolíme souřadnou soustavu: vodorovná rovina je xy a z směřuje svisle nahoru. Pak g=(0,0,-g), takže Integrace dá kde integrační konstanty v0x, v0y, v0z jsou složky počáteční rychlosti v čase t = 0. Ještě jedna integrace dá souřadnice polohy jako funkce času:

kde integrační konstanty x0, y0, z0 jsou souřadnice počáteční polohy v čase t = 0. Když ze souřadnic na obou stranách rovnice složíme vektory, dostaneme opět Grafem jsou paraboly vzhůru nohama:

Mechanická práce Síla koná mechanickou práci, pokud se objekt, na který působí, pohybuje v jejím směru a je úměrná i působící síle i posunutí Když se objekt pohybuje v jiném směru, než je směr síly, vezmeme pouze složku síly ve směru pohybu o velikosti F cos  Pak práce je rovna …poznáváme skalární součin. Jednotka = J = N m = kg m2 s-2 Vidíme (rychlost)2—viz dále Tedy v tíhovém poli Země nekonáme práci, když závaží držíme na místě, nebo s ním pohybujeme vodorovně. Vztah W=F·d platí pro konstantní sílu a rovnou dráhu. V obecném případě:

Libovolná síla a dráha ri rf Dráhu přiblížíme lomenou čárou a aproximujeme Toto přiblížení je tím lepší, čím jsou menší délky |Δr | Tohle je stejný postup, jako když jsme zaváděli integrál, takže v limitě r→0 dostaneme

Integrál spočteme použitím 2. Newtonova zákona: Integrál přes r jsme díky 2.N.z. převedli na integrál přes v a příslušně změnili meze Skalární součin komutuje a platí pro něj pravidlo pro součin derivací a Pythagorova věta: takže

Fyzikální interpretace Veličina 1/2mv2 se nazývá kinetická energie Slovy: práce vykonaná vnější silou způsobí změnu kinetické energie Toto odvození zákona přeměny mechanické práce na kinetickou energii z 2. Newtonova zákona ilustruje vztah matematiky a fyziky.

Silové pole = síla v každém bodě (části) prostoru Speciální ale velmi důležitý případ = Konzervativní silové pole: Pro jakoukoliv dráhu práce závisí jen na počátečním a koncovém bodě. Důsledek: W=0 pro jakoukoliv uzavřenou dráhu (mohu zvolit dráhu nulové délky). Příklad konzervativního pole: gravitační, elektrostatické Nekonzervativní síla: elektromagnetická, tření —práce závisí na dráze

Protože práce konzervativního pole podél dráhy závisí jen na počátečním a koncovém bodě, můžeme definovat potenciální energii vůči referenčnímu bodu r0: Vlnka odlišuje integrační proměnnou od meze. Určitý integrál mění znaménko při výměně mezí. Slovy: potenciální energii -nahromadíme, když se pohybujeme proti síle pole z referenčního bodu -spotřebujeme, když se pohybujeme podél síly pole do referenčního bodu Práci konzervativní síly můžeme vyjádřit pomocí potenciální energie: Určité integrály se sčítají při sjednocení intervalů. Tento výsledek nezáleží na volbě referenčního bodu. Dosadíme do zákona přeměny mechanické práce na kinetickou energii:

Zákon zachování mechanické energie takže Zákon zachování mechanické energie První příklad ZZE; stále na něj věříme, ale s dalšími formami energie (elektromagnetická, tepelná,…)

Potenciální energii jsme spočetli ze síly. Můžeme ale naopak spočítat sílu z potenciální energie: Pro jednoduchost uvažujeme pohyb v jednom rozměru podél osy x Jelikož integrace je opačná operace k derivaci, platí: Síla ve směru klesání potenciální energie.

Grafické znázornění -též pomůže určit rovnovážné polohy (místa, kde F = 0) a jejich druh: Epot(x;x0) x0 x F Stabilní rovnováha Labilní Změna referenčního bodu posune křivku nahoru nebo dolu…nezmění síly.

Příklad: potenciální energie v tíhovém poli Země… …vůči referenčnímu bodu na povrchu Země Skalární součin = mg krát projekce r0-r do směru svisle dolů g r0-r r r0 výška h povrch Země

Opět druhá možnost řešení ve složkách. Jako počátek zvolíme referenční bod a směr souřadných os zvolíme jako u volného pádu. Dosazení dá: Tedy oběma způsoby dostáváme známý vztah

V obou příkladech (volný pád a potenciální energie v tíhovém poli) jsme předpokládali, že g má i konstantní směr i konstantní velikost. To je pravda jen dostatečně blízko povrchu Země, konkrétně pokud výška je podstatně menší než poloměr Země. Příště uvidíme, jak se chová gravitační síla i na velkých vzdálenostech a tím i co vedlo k vytvoření Newtonovy mechaniky.