8.1.3 Lineární obal konečné množiny vektorů

Lineární obal konečné množiny vektorů Jestliže 𝑀= 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 je konečná množina vektorů z 𝑉 𝑟 (tj. 𝑀⊂ 𝑉 𝑟 ), potom lineárním obalem množiny 𝑀= 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 rozumíme nejmenší podprostor 𝑊 aritmetického vektorového prostoru 𝑉 𝑟 takový, že 𝑀= 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 ⊂𝑊. Vyjádření nejmenší podprostor 𝑊 aritmetického vektorového prostoru 𝑉 𝑟 takový, že 𝑀= 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 ⊂𝑊, znamená, že pro každý podprostor 𝑈 vektorového prostoru 𝑉 𝑟 takový, že 𝑀= 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 ⊂𝑈, platí: 𝑊⊂𝑈. Lineární obal množiny 𝑀= 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 budeme označovat 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 nebo 𝑀 . Poznamenejme, že množina 𝑀 může být prázdná.

Lineární obal konečné množiny vektorů Věta. Lineární obal množiny 𝑀= 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 ⊂ 𝑉 𝑟 (tj. množina 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 ⊂ 𝑉 𝑟 ) je podprostor aritmetického vektorového prostoru 𝑉 𝑟 . Důkaz. Vyplývá přímo z definice lineárního obalu vektorů. Uvedeme pro pár jednoduchých konečných množin ve 𝑉 𝑟 jejich lineární obal. Je-li množina 𝑀=∅, potom lineárním obalem 𝑊 množiny 𝑀 je triviální podprostor 𝑊= 𝒐 aritmetického vektorového prostoru 𝑉 𝑟 , tj. ∅ = 𝒐 . Jestliže 𝑀= 𝒐 , kde 𝒐∈ 𝑉 𝑟 , potom lineární obal množiny 𝑀 je množina všech reálných násobků nulového vektoru 𝒐, tj. 𝒐 = 𝒐 , tedy a) množina 𝒐 je jednoprvková, tedy konečná, b) množina 𝑀= 𝒐 je sama svým lineárním obalem.

Lineární obal konečné množiny vektorů Jestliže 𝑀= 0, 1, 0 , potom 𝑀⊂ 𝑉 3 a 0, 1, 0 je množina všech reálných násobků vektoru 0, 1, 0 , tj. 0, 1, 0 = 𝑘∙ 0, 1, 0 ;𝑘∈𝑅 = 0, 𝑘, 0 ;𝑘∈𝑅 . Jestliže 𝑀= 𝒂 je množina taková, že 𝒂∈ 𝑉 𝑟 − 𝒐 (tj. 𝒂 je nenulový 𝑟-rozměrný aritmetický vektor), potom lineární obal množiny 𝑀 je množina všech reálných násobků vektoru 𝒂, tj. 𝒂 = 𝑘∙𝒂;𝑘∈𝑅 a 𝒂 nekonečná množina. Věta. Jestliže 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 ⊂ 𝑉 𝑟 , potom množina 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 obsahuje právě všechny lineární kombinace vektorů 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 . Důkaz. Symbolem 𝐿𝐾 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 označíme množinu všech lineárních kombinací vektorů 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 .

Lineární obal konečné množiny vektorů Věta. Jestliže 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 ⊂ 𝑉 𝑟 , potom množina 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 obsahuje právě všechny lineární kombinace vektorů 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 . Důkaz. Symbolem 𝐿𝐾 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 označíme množinu všech lineárních kombinací vektorů 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 . a) Vektory 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 patří do podprostoru 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 , tudíž 𝐿𝐾 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 ⊂ 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 . b) Množina 𝐿𝐾 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 je neprázdná, je podmnožinou 𝑉 𝑟 ; jsou-li vektory 𝒂 a 𝒃 z 𝐿𝐾 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 , potom i 𝒂+𝒃∈𝐿𝐾 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 ; je-li 𝑘 reálné číslo a 𝒂∈𝐿𝐾 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 , potom 𝑘∙𝒂∈𝐿𝐾 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 . 𝐿𝐾 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 je podprostor 𝑉 𝑟 , proto musí být 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 ⊂𝐿𝐾 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 . Z a) a b) vyplývá 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 =𝐿𝐾 𝒂 1 , 𝒂 2 , …, 𝒂 𝑠 . Tedy q.e.d.

Příklad 1. Mějme vektory 𝒂 1 = 1, 0, 0, 0, 0 , 𝒂 2 = 0, 1, 0, 0, 0 a 𝒂 3 = 0, 0, 1, 0, 0 . Určíme lineární obal 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 . Protože 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 je podle předchozí věty množina všech lineárních kombinací vektorů 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , dostáváme 𝒂∈ 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 právě tehdy, jestliže existují reálná čísla 𝑘 1 , 𝑘 2 a 𝑘 3 taková, že 𝒂= 𝑘 1 ∙ 𝒂 1 + 𝑘 2 ∙ 𝒂 2 + 𝑘 3 ∙ 𝒂 3 , což přepíšeme 𝒂= 𝑘 1 ∙ 1, 0, 0, 0, 0 + 𝑘 2 ∙ 0, 1, 0, 0, 0 + 𝑘 3 ∙ 0, 0, 1, 0, 0 = = 𝑘 1 , 𝑘 2 , 𝑘 3 , 0, 0 , tedy 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 = 𝑘 1 , 𝑘 2 , 𝑘 3 , 0, 0 ; 𝑘 1 ∈𝑅⋀ 𝑘 2 ∈𝑅⋀ 𝑘 3 ∈𝑅 =𝑠𝑣 𝑉 3 , což je podprostor 𝑉 5 .

Příklad 2. Mějme vektory 𝒂 1 = 1, 0, 0, 0 , 𝒂 2 = 0, 1, 0, 0 , 𝒂 3 = 0, 0, 1, 0 a 𝒂 4 = 0, 0, 0, 1 . Určíme lineární obal 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 . Protože 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 je podle předchozí věty množina všech lineárních kombinací vektorů 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 , dostáváme 𝒂∈ 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 právě tehdy, jestliže existují reálná čísla 𝑘 1 , 𝑘 2 , 𝑘 3 a 𝑘 4 taková, že 𝒂= 𝑘 1 ∙ 𝒂 1 + 𝑘 2 ∙ 𝒂 2 + 𝑘 3 ∙ 𝒂 3 + 𝑘 4 ∙ 𝒂 4 , což je 𝒂= 𝑘 1 ∙ 1, 0, 0, 0 + 𝑘 2 ∙ 0, 1, 0, 0 + 𝑘 3 ∙ 0, 0, 1, 0 + 𝑘 4 ∙ 0, 0, 0, 1 = = 𝑘 1 , 𝑘 2 , 𝑘 3 , 𝑘 4 . Tedy lineární obal 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 = 𝑘 1 , 𝑘 2 , 𝑘 3 , 𝑘 4 ; 𝑘 1 ∈𝑅⋀ 𝑘 2 ∈𝑅⋀ 𝑘 3 ∈𝑅⋀ 𝑘 4 ∈𝑅 = 𝑉 4 .

Příklad 3. Mějme vektory 𝒂 1 = 1, 0, 0, 0 , 𝒂 2 = 0, 1, 0, 0 , 𝒂 3 = 0, 0, 1, 0 a 𝒂 4 = 0, 0, 0, 1 . Rozhodneme o lineární závislosti nebo nezávislosti vektorů 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 . Použijeme větu o lineární závislosti a nezávislosti vektorů. Vytvoříme lineární kombinaci vektorů 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 a položíme ji rovnu nulovému vektoru, tj. hledáme reálná čísla 𝑘 1 , 𝑘 2 , 𝑘 3 a 𝑘 4 taková, že 𝒐= 𝑘 1 ∙ 𝒂 1 + 𝑘 2 ∙ 𝒂 2 + 𝑘 3 ∙ 𝒂 3 + 𝑘 4 ∙ 𝒂 4 , což je 𝒐= 𝑘 1 ∙ 1, 0, 0, 0 + 𝑘 2 ∙ 0, 1, 0, 0 + 𝑘 3 ∙ 0, 0, 1, 0 + 𝑘 4 ∙ 0, 0, 0, 1 , tj. 0, 0, 0, 0 = 𝑘 1 , 𝑘 2 , 𝑘 3 , 𝑘 4 ; dva vektory se rovnají, jestliže mají stejné souřadnice. Z toho dostáváme jediné řešení 𝑘 1 = 𝑘 2 = 𝑘 3 = 𝑘 4 =0. Z věty o lineární závislosti a nezávislosti vektorů vyplývá: 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 jsou lineárně nezávislé.

Příklad 4. Mějme vektory 𝒂 1 = 1, 1, 1, 1 , 𝒂 2 = 0, 1, 1, 1 , 𝒂 3 = 0, 0, 1, 1 a 𝒂 4 = 0, 0, 0, 1 . Určíme lineární obal 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 . Protože 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 je podle předchozí věty množina všech lineárních kombinací vektorů 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 , dostáváme 𝒂∈ 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 právě tehdy, jestliže existují reálná čísla 𝑘 1 , 𝑘 2 , 𝑘 3 a 𝑘 4 taková, že 𝒂= 𝑘 1 ∙ 𝒂 1 + 𝑘 2 ∙ 𝒂 2 + 𝑘 3 ∙ 𝒂 3 + 𝑘 4 ∙ 𝒂 4 , což je 𝒂= 𝑘 1 ∙ 1, 1, 1, 1 + 𝑘 2 ∙ 0, 1, 1, 1 + 𝑘 3 ∙ 0, 0, 1, 1 + 𝑘 4 ∙ 0, 0, 0, 1 = = 𝑘 1 , 𝑘 1 + 𝑘 2 , 𝑘 1 + 𝑘 2 + 𝑘 3 , 𝑘 1 + 𝑘 2 + 𝑘 3 + 𝑘 4 . Tedy lineární obal 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 je množina 𝑘 1 , 𝑘 1 + 𝑘 2 , 𝑘 1 + 𝑘 2 + 𝑘 3 , 𝑘 1 + 𝑘 2 + 𝑘 3 + 𝑘 4 ; 𝑘 1 , 𝑘 2 , 𝑘 3 , 𝑘 4 ∈𝑅 , což je rovněž celý prostor 𝑉 4 .

Příklad 5. Mějme vektory 𝒂 1 = 1, 1, 1, 1 , 𝒂 2 = 0, 1, 1, 1 , 𝒂 3 = 0, 0, 1, 1 a 𝒂 4 = 0, 0, 0, 1 . Rozhodneme o lineární závislosti nebo nezávislosti vektorů 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 . Použijeme větu o lineární závislosti a nezávislosti vektorů. Vytvoříme lineární kombinaci vektorů 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 a položíme ji rovnu nulovému vektoru, tj. hledáme reálná čísla 𝑘 1 , 𝑘 2 , 𝑘 3 a 𝑘 4 taková, že 𝒐= 𝑘 1 ∙ 𝒂 1 + 𝑘 2 ∙ 𝒂 2 + 𝑘 3 ∙ 𝒂 3 + 𝑘 4 ∙ 𝒂 4 , což je 𝒐= 𝑘 1 ∙ 1, 1, 1, 1 + 𝑘 2 ∙ 0, 1, 1, 1 + 𝑘 3 ∙ 0, 0, 1, 1 + 𝑘 4 ∙ 0, 0, 0, 1 , tedy 0, 0, 0, 0 = 𝑘 1 , 𝑘 1 + 𝑘 2 , 𝑘 1 + 𝑘 2 + 𝑘 3 , 𝑘 1 + 𝑘 2 + 𝑘 3 + 𝑘 4 ; dva vektory se rovnají, jestliže mají stejné souřadnice. Z toho dostáváme jediné řešení 𝑘 1 = 𝑘 2 = 𝑘 3 = 𝑘 4 =0. Z věty o lineární závislosti a nezávislosti vektorů vyplývá: 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 jsou lineárně nezávislé.

© Vysoká škola ekonomie a managementu, 2016 Děkuji za pozornost. © Vysoká škola ekonomie a managementu, 2016