Elektrický potenciál

konzervativnost elektrické síly Více o elektrickém poli práce 𝑊 elektrické síly při přemístění náboje 𝑄 0 v poli náboje 𝑄 z bodu 𝑟 𝑖 do bodu 𝑟 𝑓 𝑊= 𝑟 𝑖 𝑟 𝑓 𝑄 𝑄 0 4𝜋 𝜀 0 𝑟 2 d𝑟 = 𝑄 𝑄 0 4𝜋 𝜀 0 1 𝑟 𝑖 − 1 𝑟 𝑓 nezávisí na trajektorii, pouze na poloze jejího počátečního a konečného bodu

práce elektrické síly Více o elektrickém poli ∁ 𝑊= ∁ 𝑄 0 𝐸 ∙d 𝑠 … práce vnější síly 𝐸 𝑝 … potenciální energie částice v elektrickém poli

potenciální energie, potenciál Více o elektrickém poli ∁ 𝐸 𝑝𝑓 − 𝐸 𝑝𝑖 =− 𝑄 0 ∁ 𝐸 ∙d 𝑠 𝜑 𝑓 − 𝜑 𝑖 = 𝐸 𝑝𝑓 − 𝐸 𝑝𝑖 𝑄 0 =− ∁ 𝐸 ∙d 𝑠 𝜑( 𝑟 ) … potenciál elektrického pole

potenciál a napětí 𝜑= 𝐸 𝑝 𝑄 0 … elektrický potenciál 𝜑= 𝐸 𝑝 𝑄 0 … elektrický potenciál (hodnota potenciálu vůči vztažnému bodu, v němž platí 𝜑=0 … obvykle se volí v ∞) 𝑈 21 = 𝜑 2 − 𝜑 1 = 𝐸 𝑝2 − 𝐸 𝑝1 𝑄 0 =− 𝑟 1 𝑟 2 𝐸 ∙d 𝑠 … elektrické napětí mezi body 2 a 1

jednotky potenciálu a napětí Alessandro Volta (1745-1827) 1V= 1J 1C 𝜑= 𝐸 𝑝 𝑄 0 (1 Volt) 𝑈 21 =− 𝑟 1 𝑟 2 𝐸 ∙d 𝑠 1V= 1N 1C ∙1m 1N 1C = 1V 1m … intenzita elektrického pole

elektronvolt práce vnější síly při přenesení elektronu mezi body s potenciálovým rozdílem 1V 𝑊 𝑒𝑥𝑡 = 𝐸 𝑝𝑓 − 𝐸 𝑝𝑖 = 𝑄 0 𝑈=1,60∙ 10 −19 C∙1V=1,60∙ 10 −19 J 1eV=1,60∙ 10 −19 J

ekvipotenciální plocha množina bodů se stejným potenciálem vždy kolmá k siločarám 𝜑 2 − 𝜑 1 =− 𝑟 1 𝑟 2 𝐸 ∙d 𝑠 potenciál vždy klesá ve směru orientace siločar

kontrola

příklady

potenciál pole bodového náboje 𝜑(∞)=0 𝜑(𝑟)= 𝑄 4𝜋 𝜀 0 𝑟

potenciál soustavy bodových nábojů princip superpozice: 𝐸 = 𝑖=1 𝑛 𝐸 𝑖 𝜑= 𝑖=1 𝑛 𝜑 𝑖 = 1 4𝜋 𝜀 0 𝑖=1 𝑛 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖

potenciál pole elektrického dipólu 𝜑(𝑟)≈ 𝑝 cos 𝜃 4𝜋 𝜀 0 𝑟 2

potenciál pole spojitě rozloženého náboje 𝜑= 𝑖=1 𝑛 𝜑 𝑖 = 1 4𝜋 𝜀 0 𝑖=1 𝑛 𝑄 𝑖 𝑟 𝑖 𝜑= d𝜑 = 1 4𝜋 𝜀 0 d𝑄 𝑟 d𝑄=ρd𝑉…

potenciál rovnoměrně nabitého disku

výpočet intenzity z potenciálu 𝜑 2 − 𝜑 1 =− 𝑟 1 𝑟 2 𝐸 ∙d 𝑠 = 𝑟 1 𝑟 2 d𝜑 d𝜑=− 𝐸 ∙d 𝑠 =− 𝐸 𝑥 d𝑥− 𝐸 𝑦 d𝑦− 𝐸 𝑧 dz 𝐸 = − 𝜕𝜑 𝜕𝑥 ,− 𝜕𝜑 𝜕𝑦 ,− 𝜕𝜑 𝜕𝑧 =−grad 𝜑=−𝛻𝜑

potenciální energie soustavy bodových nábojů 𝐸 𝑝12 = 𝜑 1 𝑄 2 = 𝑄 1 𝑄 2 4𝜋 𝜀 0 𝑟 12 𝐸 𝑝123 = 𝜑 1 𝑄 2 + 𝜑 1 + 𝜑 2 𝑄 3 = 𝐸 𝑝12 + 𝐸 𝑝13 + 𝐸 𝑝23 potenciální energie soustavy nábojů je rovna práci, kterou musela vykonat vnější síla proti silám pole při sestavování této soustavy, tj. při přemísťování každého náboje „z nekonečna“ do jeho výsledné polohy

potenciál nabitého vodiče elektrická intenzita v izolovaném vodiči v ustáleném stavu je vždy nulová 𝜑 2 − 𝜑 1 =− 𝑟 1 𝑟 2 𝐸 ∙d 𝑠 =0 volný náboj na izolovaném vodiči se samovolně rozprostře po vnějším povrchu vodiče tak, že všechny body vodiče – na povrchu i uvnitř – mají stejný potenciál (to platí bez ohledu na to, zda vodič má či nemá dutinu)

vodič ve vnějším poli také v tomto případě je intenzita ve vodiči nulová a potenciál je stejný ve všech bodech vodiče – vnější pole je kompenzováno přerozdělením volného náboje ve vodiči a jeho siločáry vycházejí kolmo z povrchu vodiče (povrch vodiče je ekvipotenciální plochou)

příklady: vodič ve vnějším poli

60,000 Volt Tesla Coil Corona Discharge

vodič s dutinou Faradayova klec vnitřní plocha vodiče v ustáleném stavu je ekvipotenciální plochou – v dutině vodiče neobsahující náboj je proto intenzita nulová bez ohledu na vnější pole Faradayova klec

kovová kulová slupka  E +

Gaussova-Ostrogradského věta Ω 𝜕Ω 𝜕Ω 𝐴 ∙d 𝑆 = Ω div 𝐴 d𝑉 div 𝐴 = 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 Gaussův zákon (tok): 𝜕Ω 𝐸 ∙d 𝑆 = 1 𝜀 0 Ω 𝜌d𝑉 𝑄 Ω div 𝐸 d𝑉 = 1 𝜀 0 Ω 𝜌d𝑉 Ω div 𝐸 − 𝜌 𝜀 0 d𝑉 =0 div 𝐸 = 𝜌 𝜀 0 libovolné

Stokesova věta 𝐸 =−grad𝜑 𝜕Σ 𝐸 ∙d 𝑠 =0 Σ rot 𝐸 ∙d 𝑆 =0 rot 𝐸 =0 𝜕Σ Σ konzervativní pole (cirkulace): 𝜕Σ 𝐸 ∙d 𝑠 =0 Σ rot 𝐸 ∙d 𝑆 =0 libovolné rot 𝐸 =0 𝐸 =−grad𝜑 (nevírové pole)

Poissonova rovnice div 𝐸 = 𝜌 𝜀 0 𝐸 =−grad 𝜑 div grad 𝜑=− 𝜌 𝜀 0 𝑖 𝜕 𝜕𝑥 + 𝑗 𝜕 𝜕𝑦 + 𝑘 𝜕 𝜕𝑧 ∙ 𝑖 𝜕𝜑 𝜕𝑥 + 𝑗 𝜕𝜑 𝜕𝑦 + 𝑘 𝜕𝜑 𝜕𝑧 =− 𝜌 𝜀 0 𝜕 2 𝜑 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝜑 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝜑 𝜕 𝑧 2 =∆𝜑=− 𝜌 𝜀 0 (Poissonova rovnice)