MATEMATIKA Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

Název projektu: Nové ICT rozvíjí matematické a odborné kompetence Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0228 Název školy: Střední odborná škola Litovel, Komenského 677 Číslo materiálu: III-2-04-09_Rovnice_a_nerovnice Autor: Mgr. Jitka Vyhlídalová Tematický okruh: Matematika Ročník: II. Datum tvorby: 01.2013 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jitka Vyhlídalová

Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých si ukážeme na jednoduché slovní úloze. ? Ve skladu mají v třicetilitrových a padesátilitrových sudech uskladněno 10 hl oleje. Kolik je sudů každého druhu, je-li všech sudů 26? Počet třicetilitrových sudů x Počet padesátilitrových sudů y Sudů celkem 26 Počet litr oleje v třicetilitrových sudech 30x Počet litrů v padesátilitrových sudech 50y Množství oleje celkem 10 hl = 1 000 l Rovnice: 𝑥+𝑦=26 tj. 𝑥+𝑦=26 30𝑥+50𝑦=1000 3𝑥+5𝑦=100 Jedná se o soustavu dvou rovnic o dvou neznámých x, y. Tyto soustavy můžeme řešit různými způsoby, např. metodou dosazovací (substituční), metodou sčítací (adiční), metodou grafickou nebo můžeme uvedené metody kombinovat.

Metoda dosazovací (substituční) Postup: Z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a získaný výraz dosadíme do druhé rovnice soustavy. Vznikne rovnice o jedné neznámé, kterou vyřešíme, následně dopočítáme druhou neznámou. 𝑥+𝑦=26 𝑥=26−𝑦 3𝑥+5𝑦=100 3 26−𝑦 +5𝑦=100 78−3𝑦+5𝑦=100 2𝑦=22 𝑦=11 𝑥=26−11=15 Řešením soustavy je dvojice čísel 𝑥=15, 𝑦=11.

Metoda sčítací (adiční) Postup: Jednu nebo obě rovnice vhodně vynásobíme tak, aby sečtením obou rovnic vznikla jedna rovnice o jedné neznámé. Tuto rovnici vyřešíme a následně dosazením dopočítáme druhou neznámou. 𝑥+𝑦=26 /∙ −3 3𝑥+5𝑦=100 −3𝑥−3𝑦=−78 + 3𝑥+5𝑦=100 2𝑦=22 /÷2 𝑦=11 𝑥+11=26 /−11 𝑥=15 Řešením soustavy je dvojice čísel 𝑥=15, 𝑦=11

Metoda grafická Postup: Z obou rovnic vyjádříme neznámou y a budeme předpokládat, že se jedná o rovnice lineárních funkcí. Sestrojíme jejich grafy – dvě přímky. Řešením soustavy jsou souřadnice společných bodů těchto přímek. 𝑥+𝑦=26 𝑦=26−𝑥 𝑦= 100−3𝑥 5 =20− 3𝑥 5 3𝑥+5𝑦=100 x 13 20 y 6 𝑓 1 :𝑦=26−𝑥 x 10 y 20 14 𝑓 2 :𝑦=20− 3𝑥 5

Metoda grafická Řešením soustavy je dvojice čísel 𝑥=15, 𝑦=11 𝑓 2 𝑓 1 Řešením soustavy je dvojice čísel 𝑥=15, 𝑦=11 Grafická metoda je pouze orientační, výsledek závisí na přesnosti rýsování.

Př.: Řešte sčítací metodou soustavu rovnic: 𝑥+𝑦=12 𝑥−𝑦=4 𝑥+𝑦=12 + 𝑥−𝑦=4 2𝑥=16 /÷2 𝑥=8 8+𝑦=12 /−8 𝑦=4 Řešení: 𝑥=8, 𝑦=4 Př.: 2𝑥 5 −𝑦= 1 2 Řešte soustavu rovnic: 0,2𝑥−0,5𝑦=0,25 2𝑥 5 −𝑦= 1 2 /∙10 0,2𝑥−0,5𝑦=0,25 /∙100

4𝑥−10𝑦=5 20𝑥−50𝑦=25 /÷5 4𝑥−10𝑦=5 4𝑥−10𝑦=5 /∙ −1 4𝑥−10𝑦=5 + -4𝑥+10𝑦=−5 0=0 Soustava má nekonečně mnoho řešení Pozn.: řešením jsou dvojice čísel, které určíme tak, že x zvolíme a y dopočítáme. Př.: Řešte soustavu rovnic: 𝑥+2𝑦=10 𝑥 10 + 𝑦 5 =2 𝑥+2𝑦=10 𝑥 10 + 𝑦 5 =2 /∙10

𝑥+2𝑦=10 𝑥+2𝑦=20 /∙ −1 𝑥+2𝑦=10 + −𝑥−2𝑦=−20 0=−10 Soustava nemá řešení. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých může mít buď jediné řešení, žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení.

Anotace: Tato prezentace slouží k výkladu řešení soustav dvou rovnic o dvou neznámých a popisu metod řešení těchto soustav. Použité zdroje: doc. RNDr. Emil Calda, CSc.: Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU, 2. díl, 1. vydání 2003, Prometheus, ISBN 80-7196-260-0 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jitka Vyhlídalová