CW-057 LOGISTIKA 43. PŘEDNÁŠKA Teorie grafů – 2 Leden 2017 AKREDITAČNÍ ZMĚNA OZNAČENÍ PŘEDMĚTU – z CW13 na CW057 CW-057 LOGISTIKA 43. PŘEDNÁŠKA Teorie grafů – 2 Leden 2017 © Ing. Václav Rada, CSc.

TEORIE GRAFŮ 3. pokračování ‍۩ TEORIE GRAFŮ 3. pokračování ☺ březen 2017

další ….. METODY ŘEŠENÍ jsou z oblasti TEORIE GRAFŮ ☺ CW057 CW13 CW05 POKRAČOVÁNÍ další ….. METODY ŘEŠENÍ jsou z oblasti TEORIE GRAFŮ ☺ Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Teorie GRAFŮ GRAFY - JEDNOTAŽKY Má-li graf nevelký počet vrcholů a zejména hran, lze jej asi nejsrozumitelněji popsat dia-gramem. Má to však dvě nevýhody. Obrázek často svádí k jednostrannému po-hledu (srovnej následující obrázek) a není vhodný jako vstup do počítače. březen 2010

navzájem izomorfních grafů. CW05 Teorie GRAFŮ Izomorfní grafy Ne každý graf je rovinný a i rovinný graf lze nakreslit nerovinným způsobem. Jeden a týž graf nakreslený třemi různými způsoby je na následujícím obrázku. Jedná se o příklad navzájem izomorfních grafů. Vzhledem k třetímu způsobu zakreslení však jde o rovinný graf. březen 2010

Navzájem izomorfní grafy CW05 Teorie GRAFŮ Navzájem izomorfní grafy březen 2010

CW057 CW13 CW05 Teorie grafů Na předchozím obrázku je nakreslen jeden a týž graf třemi různými způsoby. Jedná se tedy o příklad navzájem izomorfních grafu. Vzhledem k třetímu způsobu zakreslení však jde o rovinný graf. Březen 2016

CW05 Teorie GRAFŮ - POPIS Používají se různé způsoby popisu grafu. Matematicky elegantní je maticový popis grafu. Pro zadání grafu je vhodné označit uzly přirozenými čísly 1, . . . , n. Incidenční (vazební) matice (sousednosti) vrcholu grafu je čtvercová matice n-tého řádu, kde n je počet uzlů, jejíž prvky aij udávají počet hran, které spojují vrcholy i, j. březen 2010

Maticový popis grafu s málo hranami je dosti neúsporný. CW05 Teorie GRAFŮ Pro neorientované grafy je matice symetric-ká, bez smyček má na hlavní diagonále nuly, u multigrafu její prvky mají i hodnoty větší než jedna. Maticový popis grafu s málo hranami je dosti neúsporný. Matice pak obsahuje značné procento nul a vyhledávání nenulových prvků stojí zbytečně mnoho času. březen 2010

graf, jehož množiny vrcholů a hran jsou popsány výčtem prvků: CW05 Teorie GRAFŮ Příklad: graf, jehož množiny vrcholů a hran jsou popsány výčtem prvků: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, H = {{1, 4}, {1, 5}, {2, 5}, {3, 5}, {3, 6}, {5, 6}}. březen 2010

Incidenční matice tohoto grafu má tvar: CW05 Teorie GRAFŮ Incidenční matice tohoto grafu má tvar: 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 Obrázek grafu březen 2010

(závorky v označení se vynechávají)…….. CW05 Teorie GRAFŮ Popis tohoto grafu lze úsporněji zakódovat do následující posloupnosti: (6, 6, 1, 4, 1, 5, 2, 5, 3, 5, 3, 6, 5, 6). První číslo udává počet uzlu, druhé počet hran, a pak následuje soupis všech hran (závorky v označení se vynechávají)…….. (6, 6, (1, 4), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (3, 6), (5, 6)). březen 2010

Popis vzniku grafu – typ jednotažka. CW05 Teorie GRAFŮ Popis vzniku grafu – typ jednotažka. L. Euler v roce 1736 dokázal, že existují grafy, které lze projít tzv. „jedním tahem“. A dále odvodil, kdy taková procházka není možná. Tento okamžik bývá označován za počátek teorie grafů. březen 2010

grafu je možné pouze při splnění jednoho z těchto dvou předpokladů: CW05 Teorie GRAFŮ Euler dokázal, že vytvořit tah procházející všemi hranami souvislého neorientovaného grafu je možné pouze při splnění jednoho z těchto dvou předpokladů: – buď jsou všechny uzly grafu sudého stupně a pak je možné začít v kterémkoliv z nich a na konci se do něj opět navrátit (jde o tzv. uza-vřený eulerovský tah) – ………. březen 2010

jde o tzv. otevřený eulerovský tah CW05 Teorie GRAFŮ – anebo jsou dva uzly lichého stupně a všechny ostatní uzly sudého stupně – pak je nutné začít v některém uzlu lichého stupně a tah bude ukončen ve druhém uzlu lichého stupně jde o tzv. otevřený eulerovský tah březen 2010

CW05 Teorie GRAFŮ Graf se nazývá eulerovský graf, jestliže všechny jeho uzly mají sudý stupeň větší nebo rovný dvěma. Graf lze sestrojit jedním tahem, když v něm existuje tah obsahující všechny hrany grafu a každou právě jednou. březen 2010

CW05 Teorie GRAFŮ O něco komplikovanější situace nastává, uva-žujeme-li graf orientovaný. Pak musí platit: – buď vstupní stupeň se rovná výstupnímu stupni ve všech uzlech grafu – pak je možné nalézt uzavřený eulerovský tah, – anebo je v jednom uzlu výstupní stupeň o jednotku větší – zde se musí začít – a sou-časně v jiném uzlu o jednotku menší – zde se bude končit. březen 2010

CW05 Teorie GRAFŮ William R. Hamilton v polovině 19. století po-psal graf v něm existuje kružnice (cyklus) pro-cházející všemi uzly grafu – hamiltonovský. Název patří grafu, který má dvacet vrcholů pravidelného dvanáctistěnu – jeho povrch je tvořen jedenácti shodnými pětiúhelníky. březen 2010

CW05 Teorie GRAFŮ Hamilton připojil ke každému vrcholu jméno některého světového velkoměsta a nabídl výrobci hraček hlavolam, jehož řešením je cesta kolem světa po hranách dvanáctistěnu, během níž se vyjde z některého města, kaž-dým z dalších měst se projde právě jednou a nakonec se vrátí do výchozího města. březen 2010

Základní vzhled grafu podle zadání CW05 Teorie GRAFŮ Základní vzhled grafu podle zadání březen 2010

Hamiltonova grafová formulace hlavolamu: CW05 Teorie GRAFŮ Hamiltonova grafová formulace hlavolamu: Je dán graf o 20 uzlech (vrcholy dvanácti-stěnu), 30 hran grafu, které odpovídají hra-nám dvanáctistěnu. Jde o pravidelný graf 3. stupně na dvaceti uzlech. Úkolem je v tomto grafu najít kružnici prochá-zející všemi uzly (tzv. hamiltonovskou kruž-nici). březen 2010

CW05 Teorie xx Posouzení výsledku březen 2010

CW05 Teorie GRAFŮ Je však zřejmé, že existují grafy, které hamil-tonovské nejsou. Takové jsou například všechny stromy, protože v nich neexistuje žádná kružnice, tím méně hamiltonovská kružnice. Dále například graf vrcholů a hran rhombic-kého dodekaedru také není hamiltonovský – je zobrazen na obrázku. březen 2010

K tomu by bylo potřeba, aby černých a bílých vrcholů byl stejný počet. CW05 Teorie GRAFŮ Na grafu je 6 černých a 8 bílých vrcholů, které jsou umístěny tak, že se na každé hraně stří-dají. Proto sestrojit cestu takovou, aby pře-chod od vrcholu k vrcholu byl doprovázen změnou barvy není možný. K tomu by bylo potřeba, aby černých a bílých vrcholů byl stejný počet. březen 2010

CW057 CW13 CW05 Teorie GRAFŮ rhombický dodekaedr březen 2010

Úplný graf s více než dvěma vrcholy je vždy hamiltonovský. CW057 CW13 CW05 Teorie GRAFŮ Platí tato tvrzení: Úplný graf s více než dvěma vrcholy je vždy hamiltonovský. Jestliže pro graf s n uzly (n ≥ 3) platí: st u + st v ≥ n pro každé dva různé uzly, které nejsou spo-jeny hranou, pak je hamiltonovský. Dostatečná podmínka, aby byl graf hamilto-novský; nutná podmínka není známa. březen 2017

…..… Informace pokračují …… ….. CW057 cw057 – p. 43 / 3 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …… ….. …..… cw057 – p. 43 / 3 březen 2017

CW057 CW13 CW05 …… … Březen 2017