Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0637

Matematické vzdělávání Tematická oblast: Pravděpodobnost Předmět: Šablona: III/2 č. materiálu: VY_32_INOVACE_175 Jméno autora: Mgr. Drozdová Barbora Třída/ročník: IV. Datum vytvoření: 15.10.2012 Vzdělávací oblast: Matematické vzdělávání Tematická oblast: Pravděpodobnost Předmět: Matematika Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Pravděpodobnost sjednocení jevů, pravděpodobnost nezávislých jevů, podmíněná pravděpodobnost, typové příklady Klíčová slova: sjednocení, nezávislé jevy, podmíněná pravděpodobnost Druh učebního materiálu: výukový list

Pravděpodobnost sjednocení jevů Pro pravděpodobnost jevů A, B platí:

Pravděpodobnost sjednocení dvou jevů, které se vylučují

Dosadíme do rovnosti: pro vylučující jevy platí:

Příklad Určete pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet sedm nebo aspoň na jedné kostce padne šestka.

Řešení: Připustíme, že oba jevy mohou nastat současně. Jev A „padnutí součtu 7“, jev B „padnutí aspoň jedné šestky.

Určíme množinu výsledků těmto jevům příznivých. Výsledky příznivé jevu A: (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) m(A) = 6 P(A) = 6/36

Výsledky příznivé jevu B: (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) m(B) = 11 P(B) = 11/36

jsou příznivé výsledky: (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) Je tedy Jevu

Pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet sedm nebo padne šestka aspoň na jedné kostce, je rovna . .

Pravděpodobnost nezávislých jevů Řekneme, že jevy A a B jsou nezávislé, jestliže platí:

Řekneme, že jevy A, B, C, jsou nezávislé, jestliže a navíc

Obecně, jevy A, B, C, . . . , Z se nazývají nezávislé, jestliže pravděpodobnosti průniků libovolných dvou, tří, čtyř, . . z nich jsou rovny součinům jejich pravděpodobností. Jsou-li jevy A, B, C, . . . Z nezávislé, jsou nezávislé i každé dva z nich.

Jsou-li A, B nezávislé jevy, potom také A, B´ jsou nezávislé a rovněž A´, B a A´, B´ jsou nezávislé.

Příklad Určete pravděpodobnost, že ve dvou hodech kostkou padne v prvním hodu šestka a ve druhém nepadne.

Řešení: Jev A „padnutí šestky v 1. hodu“ Jev B „nepadnutí šestky ve 2. hodu“ Tyto jevy jsou nezávislé, neboť výsledek druhého hodu není ovlivněn výsledkem hodu prvního. P(A) = 1/6 P(B) = 5/6

Abychom nalezli hledanou pravděpodobnost jevu A B, určíme množinu všech možných výsledků, které mohou nastat Ω = [(1, 1) (1, 2) . . . (1, 6) (2, 1) . . . (6, 5) (6, 6)] Výsledky příznivé jevu A B jsou (6, 1)(6, 2)(6, 3)(6, 4) (6, 5)

B) = 5/36 platí: platí P(A

Podmíněná pravděpodobnost: libovolného jevu A za podmínky B je definována jako takto:

Jsou-li jevy A, B nezávislé, pak ze vzorce vyplývá, že P(A/B) = P(A) a také P(B/A) = P(B). Tedy nastání jevu B nezmění pravděpodobnost jevu A a naopak.

Příklad: Hodíme 2 kostkami, bílou a černou. Jaká je pravděpodobnost, že na bílé kostce padla 5 za podmínky, že padl součet 9?

Řešení: Označme jevy, o nichž je řeč: Odtud:

Literatura: Doc. RNDr. Emil CALDA, CSc.: Matematika pro gymnázia, kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Doc. RNDr. Emil CALDA, CSc.:Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU 3. díl