Soustava rovnic Karel Mudra

Co je to soustava rovnic? Soustava rovnic je tvořena více rovnicemi o více neznámých, které řešíme najednou Všechny rovnice ze soustavy musí platit zároveň Př. 2𝑥−𝑦=5 3𝑥−2𝑦=6 První rovnice Druhá rovnice

Jak řešit soustavu rovnic? Naučíme se dvě metody: Dosazovací (substituční) Sčítací

1. Dosazovací metoda Snažíme se z jedné z rovnic vyjádřit některou neznámou Výhodné je, pokud najdeme rovnici, ve které je neznámá s koeficientem jedna, tu pak vyjádříme (např. x – 2y = 5) Vyjádřenou neznámou poté dosadíme do druhé rovnice a dopočítáme ji Již vypočítanou neznámou dosadíme nazpět do první rovnice Je možné ji dosadit i do našeho vyjádření

1. Dosazovací metoda - příklad 2𝑥−𝑦=5 3𝑥−2𝑦=6 2𝑥−𝑦=5 −𝑦=5−2𝑥 𝑦=−5+2𝑥 𝑦=2𝑥−5 Vezmeme první rovnici a pokusíme se z ní vyjádřit y Vynásobíme celou rovnici -1 Vyjádřené y, dosadíme do druhé rovnice 3𝑥−2𝒚=6 3𝑥−2∙ 𝟐𝒙−𝟓 =6 3𝑥−4𝑥+10=6 −𝑥=6−10 −𝑥=−4 /∙(−1) 𝑥=4 Za každé y dosadíme vyjádřené y z rovnice výše Dopočítáme jako lineární rovnici Dosadíme spočítané x nazpět do vyjádřeného y 𝑦=2𝒙−5 𝑦=2∙4−5 𝑦=3 Řešením soustavy rovnic je dvojice x = 4 a y = 5 Řešení ověříme zkouškou

Příklady Vyřešte soustavy rovnic dosazovací metodou: 4𝑥−𝑦=2 3𝑥+2𝑦=7 𝑥+3𝑦=−1 4𝑥−𝑦=9 𝑥+𝑦=3 3𝑥−𝑦=−3 2𝑥−𝑦=10 𝑥+2𝑦=0 x = 1, y = 2 x = 2, y = -1 x = 0, y = 3 x = 4, y = -2

2. Sčítací metoda Snažíme se sečíst rovnice tak, aby nám jedna neznámá „vypadla“ Jednotlivé rovnice můžeme ekvivalentními úpravami dostat do takového tvaru, že budeme mít u jedné z neznámých stejný koeficient Př. 3𝑥−𝟐𝑦=16 5𝑥+𝟐𝑦=8 3𝒙−2𝑦=16 3∙𝟑−2𝑦=16 9−2𝑦=16 −2𝑦=16−9 −2𝑦=7 /:(−2) 𝑦=− 7 2 3𝑥−𝟐𝑦=16 + + + 5𝑥+𝟐𝑦=8 8𝑥+0𝑦=24 8𝑥=24 𝑥=3 Řešením soustavy je dvojice 𝒙=𝟑 a 𝒚=− 𝟕 𝟐 Dosadíme spočítané x do libovolné z rovnic a dopočítáme y

2. Sčítací metoda – příklad II 3𝑥+4𝑦=17 2𝑥+𝑦=8 Snažíme se vynásobit jednu z rovnic tak, abychom dostali u jedné z neznámých stejný koeficient, ale opačné znaménko /∙(−4) −4 ∙2𝑥+ −4 ∙𝑦= −4 ∙8 −8𝑥−4𝑦=−32 3𝑥+𝟒𝑦=17 −8𝑥−𝟒𝑦=−32 −5𝑥+𝟎𝑦=−15 −5𝑥=−15 𝑥=3 2𝒙+𝑦=8 2∙𝟑+𝑦=8 6+𝑦=8 𝑦=8−6 𝑦=2 Řešením soustavy je dvojice 𝒙=𝟑 a 𝒚=𝟐

Příklady Vyřešte soustavy rovnic sčítací metodou: 3𝑥−𝑦=−2 −3𝑥+2𝑦=7 2𝑥+3𝑦=1 𝑥+5𝑦=−3 2𝑥+5𝑦=7 4𝑥−3𝑦=1 3𝑥−5𝑦=−15 7𝑥+10𝑦=30 x = 1, y = 5 x = 2, y = -1 x = 1, y = 1 x = 0, y = 3