Opakujeme si geometrii Páťáci a matematika III 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 13 14 15 16 17 18 19 20 y 22 21 x A B D C S K L M β α p P O V R T 5 MA 1 TE 2 TI 3 KA 4 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je PaedDr. Marie Janků. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV). Téma Opakujeme si geometrii je shrnutím, upevněním učiva geometrie, které žáci poznali v minulých ročnících. Jsou to především témata 2M. 4 Vyznačujeme body, 2M. 6 Úsečka, 2M. 10 Přenášení úseček, 3M. 6 Rovina,polorovina, 3M 4 Délka úsečky, 4M 12 Přímá a nepřímá úměrnost. Novým učivem je zde zavedení symbolů ϵ, ∉- je (není) prvkem, je (není) částí, náleží (nenáleží) .

Co je možno geometricky zaznament jako body? H Body označujeme Co víte o bodech? Bod vyznačujeme 1. . 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 A´ A´ ´ H´ H´ ´ J´ J´ ´ O´ O´ ´ V´ V´ ´ P´ P´ ´ E´ E´ ´ B´ B´ ´ Co je možno geometricky zaznament jako body? 2. Ruda Jirka Matěj Lída Ola Eva Dan jako průsečík dvou čar. někdy malým kroužkem. modelujeme kouskem formely. velkými tiskacími písmeny. Pomocí bodů je možno zaznament rozmístění různých objektů např. hvězdy na obloze, rozestavení dětí na hřišti, zásahy šipkou do terče, Toto cvičení je opakováním tématu Druháci a matematika IV, Vyznačujeme body (1.) (2.) O M D L E J R

Bod, vrchol trojúhelníku Písmeny A, B označte krajní body úsečky, písmeny C, D, E vrcholy trojúhelníku a písmeny K, L, M, N, O, P, R, S vrcholy kvádru. Vyznačte bod úsečky AB, body trojúhelníku CDE, body kvádru KLMNOP. A B K O P L M N R S D C E (3.)

V parku roste šest stromů ve třech řadách. Body v řadách V parku roste šest stromů ve třech řadách. Vyznačte pomocí bodů místa, kde rostou. 1. Vyznačte, jak se může rozestavit při cvičení 9 žáků do deseti řad po třech. 2. (4.) Toto cvičení je opakováním cvičení z kolekce Třeťáci a matematika II. Opakování geometrie prezentace snímek 27, pracovní listy cv. 36 (5.) Vyučující vede žáky k tomu, aby uvažovali o tom, jak je potřeba upravit rozestavení devíti žáků, kteří stojí v osmi řadách po třech tak, aby stálí v deseti řadách po třech .

Narýsujte přímku, která prochází 3mi z vyznačených bodů. Přímka 3mi body Narýsujte přímku, která prochází 3mi z vyznačených bodů. Dokážete takových přímek narýsovat 12? (6.) Toto cvičení je obměnou cvičení z tématu II. kolekce Třeťáci a matematika (3M. 2)

Narýsujte přímku, která prochází 4mi z vyznačených bodů. Přímka 4mi body Narýsujte přímku, která prochází 4mi z vyznačených bodů. Dokážete takových přímek narýsovat 6? (7.) Toto cvičení je obměnou cvičení z tématu II. kolekce Třeťáci a matematika (3M. 2)

Souřadnice bodů v rovině Polohu bodu v rovině určujeme pomocí souřadnic x, y. Zapište polohu bodů A, B. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 13 14 15 16 17 18 19 20 y 22 21 x A B 9, A 13 B 19 , 4 Vyznačte body C 11, 11 , D 15, 18 . D C (8.) Toto cvičení navazuje na učivo tématu 4M. 3 Opakování geometrie a na učivo o přímé a nepřímé úměrnosti kolekce Čtvrťáci a matematika (4M. 12)

Souřadnice bodů v prostoru Polohu bodu v prostoru určujeme pomocí souřadnic x, y, z. ; A 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 13 14 15 16 17 18 19 20 2 1 22 21 y z x B Zapište polohu bodů A, B. A B 6, 13, 4 3, 7, 11 Vyznačte body C 13, 1, 8 , D 9, 8, 13 . D C (9.)V tomto cvičení si žáci uvědomují, že je možno zaznamenat polohu bodu i v trojrozměrném prostoru a navazuje na učivo o přímé a nepřímé úměrnosti kolekce Čtvrťáci a matematika (4M. 12)

Polohu místa na Zemi určujeme také pomocí souřadnic - Zeměpisné souřadnice Polohu místa na Zemi určujeme také pomocí souřadnic - zeměpisných souřadnic. Zeměpisnou síť tvoří západ východ sever jih poledníky a rovnoběžky. Afrika Australie Jižní Amerika Severní Antarktida Evropa Asie 70 60 50 40 20 90 10 30 poledníky zeměpisná délka rovnoběžky rovník zeměpisná šířka (10.) Toto učivo je vhodné propojit se zeměpisným učivem. Kdy žáci pracují s globusem a určují zeměpisnou polohu různých objektů. (Praha50° 05' severní šířky14° 25' východní délky, Brno49° 12' severní šířky16° 37' východní délky,Ostrava49° 50' 30.31” severní šířky18° 17' 29.56” východní délky, Olomouc49° 35' 38" severní šířky17° 15' 03" východní délky) Podle globusu určete polohu Prahy. Praha severní šířky, východní délky. 50 14

leží mezi jejími krajními body. 2. Úsečka Co víte o úsečce? Úsečka má dva krajní body. Každý další bod úsečky leží mezi jejími krajními body. A B Úsečky označujeme pomocí jejich krajních bodů. Úsečka AB. D A B C Body A, B, C Bod D Bod C leží Bod C je Zapisujeme: mezi body A, B. bodem úsečky AB. (11.) Toto cvičení je shrnutím učiva témat VI. Úsečka a X. Přenášení úseček z kolekce Druháci a matematika. Novým učivem je zde zavedení symbolů ϵ,∉ - je (není) bodem úsečky. C AB, A AB, B AB. leží v úsečce. není bodem úsečky AB. D AB Bod S A B D C S je bodem úsečky AB. S AB, AS = BS je středem úsečky AB.

Měříme na centimetry a milimetry. Délku úsečky zapisujeme Délka úsečky Co víte o délce úsečky? Délku úsečky určujeme Jednotky délky: měřením. metr m, decimetr dm, centimetr cm, milimetr mm, kilometr km. Měříme na centimetry a milimetry. C D E F A B Délku úsečky zapisujeme 7 2 3 4 5 6 1 8 9 10 12 13 14 15 11 16 svislými čárkami /AB/ = 4 cm, /AB/ = 40mm. Úsečka AB měří cm. 4 Úsečka AB měří mm. 40 (12.) Toto cvičení je shrnutím učiva témat IV. Délka úsečky X. z kolekce Třeťáci a matematika. 7 2 3 4 5 6 1 8 9 10 12 13 14 15 11 16 /CD/ = 5 cm /CD/ = 53 mm 7 2 3 4 5 6 1 8 9 10 12 13 14 15 11 16 /EF/ = 6 cm /EF/ = 56 mm

Změřte délky obou hran lavice na decimetry a pak i na metry. Délka hrany lavice Změřte délky obou hran lavice na decimetry a pak i na metry. Vypočítejte obvod desky lavice. délka šířka dm m obvod 1. Změřte délky stran pokoje nebo třídy na metry a vypočítejte její obvod. m délka šířka obvod 2. V těchto cvičeních si žáci uvědomují význam měření délky úsečky v běžném životě. 1. (13.) 2. (14.)

Porovnejte úsečky a doplňte <, >, . Porovnávání úseček Porovnávání úseček A B E F C D K L AB EF KL EF KL CD EF CD AB KL AB CD Porovnejte úsečky a doplňte <, >, . (15.) V tomto cvičení se procvičuje učivo probírané v tématech 2M. 10 Přenášení úseček, 3M. 11 Jednoduché konstrukce kružítkem. = > = > > > >

Zapište všechny vyznačené úsečky. Kolik jich je? Kolik úseček R S P T D B A C E F 2. Zapište všechny vyznačené úsečky. Kolik jich je? Je zde vyznačeno úseček: 1. 6 PR, PS, PT, RS, RT, ST V těchto cvičeních si žáci procvičují určování úseček v různých situacích a uvažují o tom, jak postupovat, aby se nestalo, že by tutéž úsečku uváděli vícekrát. (16.) 2. (17.) 13 AE, AC, AF, AD, AB, BF, BE, BD, BC, CE, CD, DF, EF

Narýsute všechny úsečky určené těmito body. Kolik úseček Vypočítejte kolik úseček je určeno vyznačenými body A, B, C, D, E, F, H, K, L. Narýsute všechny úsečky určené těmito body. A B C D E F H K L 9 A B C D E F H K L A B C D E F H K L AB AC AD AE AF AH AK AL BA BC BD BE BF BH BK BL CA CB CD CE CF CH CK CL DA DB DC DE DF DH DK DL EA EB EC ED EF EH EK EL FA FB FC FD FE FH FK FL HA HB HC HD HE HF HK HL KA KB KC KD KE KF KH KL LA LB LC LD LE LF LH LK 9 . 8 = 72 9 . 9 = 81 (18.) Počet úseček určených daným počtem bodů vypočítáme tak, že počet bodů např. 5 násobíme číslem o 1 menším – tedy čtyřmi, protože neuvažujeme úsečky AA, BB nebo také násobíme tímtéž číslem (tedy 5.5) a odečteme číslo, které je počtem vyznačených bodů– viz tabulka a pak dělíme dvěma, protože úsečka AB je totéž co úsečka BA. Tento postup je pro žáky pochopitelnější, jestliže se jednotlivé úsečky postupně ukazují a zapisují do tabulky. 72 : 2 = 36 81 - 9 = 72 72 : 2 = 36 Devíti různými body je určeno úseček. 36 Každý z devíti vyznačených bodů je krajním bodem úseček. osmi Počet bodů násobíme číslem o 1 menším (neuvažujeme AA, BB....) a pak dělíme 2, protože úsečka AB je totéž jako úsečka BA.

nebo pomocí dvou jejích vyznačených bodů. 3. Přímka, polopřímka Co víte o přímce? 1. Přímky označujeme B A malými písmeny nebo pomocí dvou jejích vyznačených bodů. Přímka r, . r Přímka AB. r r C D B E A Body jsou body přímky . 2. Které z vyznačených bodů jsou body přímky ? Body nejsou body přímky . A, B, D A , r B , r D r r (19.) (20.) (21.) C, E C , r E r Body K, L, M 3. Jakou polohu mají body K, L, M? K L M leží v přímce. Je možno vyznačit přímku, které všechny tři body náleží.

Vzájemná poloha dvou přímek Jakou vzájemnou polohu mohou mít dvě přímky? D r v n m s t Přímky jsou Přímky jsou m, n Přímky jsou s, t r, v různoběžné. Zapisujeme r v Bod D je průsečík přímek . r, v rovnoběžné. Zapisujeme m n Nemají žádný společný bod a leží v téže rovině. (22.) V tomto cvičení se procvičuje též zápis rovnoběžnosti a různoběžnosti přímek //, m//n, x, r x v ( téma 4M. 14 Rovnoběžky) . mimoběžné. Nemají žádný společný bod a neleží v téže rovině.

dvěma body, jejím počátkem a dalším jejím bodem. Polopřímka Doplňte , . T PR Co víte o polopřímce? Polopřímka je určena R P T 1. dvěma body, jejím počátkem a dalším jejím bodem. Bod P je počátkem polopřímky PR. Přímka PR. Polopřímka PR. Tato cvičení jsou shrnutím učiva o polopřímkách z témat 2M. 8 Přímka a 3M. 2 Opakování geometrie (23.) (24.) 2. B A Polopřímka opačná k polopřímce AB: Co víte o opačných polopřímkách? AB AB Polopřímka AB. AB

Polpřímky VC a VD mají nemají společný počátek, Polopřímky D V C Polpřímky VC a VD mají nemají společný počátek, leží neleží v téže přímce. Jsou nejsou navzájem opačné. Škrtněte ve větách slova tak, aby věty byly pravdivé. VD VC (25.)

4. Úhel konvexní, nekonvexní Co víte o polopřímkách a úhlech? Polopřímky se společným počátkem určují M P N R S T dva úhly. Jeden konvexní a jeden nekonvexní nebo dva konvexní. Nekonvexní úhel SRT SRT Konvexní úhel RST SRT Konvexní úhel MPN Učivo o úhlech je shrnutím poznatků žáků o úhlech z témat 4M. 7 Úhel, 4M. 9 Osa úhlu (26.) Nekonvexní úhel: Konvexní úhel: Není možno vyznačit úsečku, jejíž dva krajní body jsou body daného úhlu, ale je možno vyznačit i její body, které danému úhlu nenáleží. Je možno vyznačit úsečku, jejíž dva krajní body jsou body daného úhlu, ale je možno vyznačit i její body, které danému úhlu nenáleží.

Víte, jak rozlišujeme konvexní úhly? Ostrý,tupý Víte, jak rozlišujeme konvexní úhly? Pravý úhel jeho ramena jsou k sobě kolmá. Ostrý úhel je menší než pravý úhel. C Z D A V B Tupý úhel je větší než pravý úhel. jeho ramena jsou opačné polopřímky. (27.) Přímý úhel S P M N R T AVB CZD SRT MPN <

Jak poznáme vedlejší úhly? Úhly vedlejší Jak poznáme vedlejší úhly? S K L M Vedlejší úhly: KSM, LSM Vedlejší úhly: NRP, ORP R N O P Je-li jeden z vedlejších úhlů pravý, (28.) Vedlejší úhly jsou dva úhly, jejichž jedno rameno je společné a druhá ramena jsou opačné polopřímky. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel. je pravý i druhý úhel Jedno rameno mají společné. Dvě ramena jsou opačné polopřímky.

opačné polopřímky. Co víte o vrcholových úhlech? Vrcholové úhly: Úhly vrcholové Co víte o vrcholových úhlech? v A B C D J K M L H Vrcholové úhly: AVD BVC = = CVD AVB (29.) Vrcholové úhly jsou dva úhly, jejichž ramena jsou opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou shodné. = JHK KHL LHM JHM Je-li jeden z vrcholových úhlů pravý, jsou pravé všechny čtyři úhly. Ramena vrcholových úhlů jsou opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou shodné.

Kolik úhlů dvěma různoběžkami? Kolik úhlů je určeno dvěma různoběžkami? Dvěma různoběžkami je určeno celkem úhlů. v A B C D (30.) AVB, AVB BVC, BVC B AVC, D AVC A BVD, C BVD, AVD, AVD CVD, CVD. 4 konvexní úhly menší než přímé 4 nekonvexní úhly 4 přímé úhly 12

Ukažte alespoň jednu dvojici vedlejších úhlů, určených štaflemi. Úhly kolem nás Ukažte alespoň jednu dvojici vedlejších úhlů, určených štaflemi. Vyznačte úhly, které jsou určeny stojícími štaflemi. Ostré úhly vyznačte čeveným obloučkem, tupé modrým. (31.) Vyučující vede vhodně volenými otázkami k tomu, aby si žáci všímali úhlů určených hranami různých předmětů v jejich okolí-

třemi body, které neleží v přímce. !! 5. Rovina, polorovina Co víte o rovině? A C B β Rovina je určena (32.) 3M. 6 Rovina,polorovina třemi body, které neleží v přímce. Rovina ABC, zapisujeme: ABC Rovinu označujeme také řeckými písmeny: - beta β α - alfa γ - gama

Přímka určuje v rovině dvě poloroviny: je bodem roviny ABC. polorovina Co víte o polorovině? Každý bod přímky p Přímka určuje v rovině dvě poloroviny: A C B (33.) je bodem roviny ABC. polorovinu A a polorovinu k A opačnou, polorovinu B. p

Co víte o dvou zde vyznačených rovinách? Roviny ABC a KLM nemají žádný Roviny rovnoběžné A B C K L M β α Co víte o dvou zde vyznačených rovinách? ↔ Roviny ABC a KLM nemají žádný společný bod, (34.) jsou rovnoběžné. β α // ABC // KLM ↔

Co víte o dvou zde vyznačených rovinách? Roviny různoběžné Co víte o dvou zde vyznačených rovinách? p P O V S R T Roviny RTV a RTP jsou Přímka p leží Přímka p určuje v rovině RTV Přímka p určuje v rovině RTP (35.) různoběžné. v rovině RTV a zároveň v rovině RTP. dvě opačné poloroviny a to RTV a RTS. dvě opačné poloroviny a to RTP a RTO.

6.Rovinné geometrické útvary Jaké znáte rovinné útvary - obrazce? kruh, kružnice k K Čtyřúhelník má: čtyřúhelník K L M N trojúhelník Trojúhelník má: ABC A C B k l n m a b c d S r (36.) A, B, C 3 vrcholy 4 vrcholy K, L, M, N Kruh, kružnice má: a + b > c a + c > b b + c > a S střed 3 strany a, b, c 4 strany k, l, m, n KLM LMN MNK NKL poloměr r 3 vnitřní úhly ABC, ACB, BAC 4 vnitřní úhly průměr d K (S,r) S K k (S,r) S k 3 těžnice (vrchol, střed protější strany) 2 úhlopříčky KM, LN

Jak rozlišujeme trojúhelníky? úhlů podle stran Jak rozlišujeme trojúhelníky? různostranný rovnostranný rovnoramenný ostroúhlý pravoúhlý tupoúhlý (37.) Třídění podle stran: trojúhelník různostranný (obecný) – žádné dvě strany nejsou shodné, trojúhelník rovnoramenný – právě dvě strany jsou shodné, trojúhelník rovnostranný – všechny strany jsou shodné. Třídění podle úhlů: trojúhelník ostroúhlý – všechny vnitřní úhly jsou ostré, trojúhelník pravoúhlý – jeden vnitřní úhel je pravý, trojúhelník tupoúhlý – jeden vnitřní úhel je tupý.

Jaké znáte čtyřúhelníky? rovnoběžník čtverec obdélník kosočtverec kosodélník lichoběžník rovnoramenný pravoúhlý různostranný (38.) rovnoběžník - obě dvojice protějších stran rovnoběžné dále se dělí buď podle úhlů: pravoúhlý - čtverec, obdélník kosoúhlý - kosočtverec, kosodélník nebo podle délek stran: rovnostranný - čtverec, kosočtverec různostranný - obdélník, kosodélník lichoběžník - pouze jedna dvojice protějších stran rovnoběžná kromě obecného lichoběžníka známe ještě dva speciální typy: rovnoramenný lichoběžník - nerovnoběžné strany shodné pravoúhlý lichoběžník - jedno rameno kolmé k základně různoběžník - čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné různoběžník konvexní nekonvexní

Rozeznáte další mnohoúhelníky? n-úhelníky Rozeznáte další mnohoúhelníky? pětiúhelník šestiúhelník osmiúhelník pravidelný nepravidelný (39.) nekovexní

Pravoúhlý trojúhelník Narýsujte trojúhelníky ABC, ABD, ABE, které mají vrcholy na kružnici. Porovnejte úhly s vrcholy C, D, E a určete jejich velikost. C A B E (40.) Toto cvičení je opakováním cvičení z tématu 4M. 9 Osa úhlu. Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravé. Jiné znění: Všechny trojúhelníky, jejichž střed kružnice opsané půlí nejdelší stranu, jsou pravoúhlé. Nebo jinak: Sestrojme libovolnou kružnici s průměrem. Koncové body jejího průměru označíme A a B a zvolíme libovolný bod C na kružnici. Pak platí, že trojúhelník ABC je pravoúhlý a má pravý úhel u vrcholu C. Původní znění[zdroj?]: "Středový úhel je dvojnásobek obvodového" Z toho vyplývají předešlá znění. (Při středovém úhlu 180° - přímka je obvodový úhel pravý - 90°) D ≅ ≅ ≅ ACB ADB ACB AEB ADB AEB Všechny úhly sesrojené nad průměrem kružnice a s vrcholem na kružnici jsou pravé.

Osy stran, osy úhlů, těžnice Sestrojte osy stran, osy vnitřních úhlů, těžnice trojúhelníků. Co jste tak zjistili? těžnice osy stran osy vnitřních úhlů (41.)

Osy stran, osy úhlů, těžnice Sestrojte: Osy vnitřních úhlů trojúhekníku Osy stran trojúhekníku jsou Těžnice trojúhekníku je osy stran osy vnitřních úhlů těžnice (41.) Těžnice trojúhelníku je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany. Trojúhelník má přesně tři těžnice a jejich průsečík tvoří těžiště trojúhelníku. se protínají v jednom bodě. úsečka jejími krajnimi body je vrchol trojúhelníku a střed protější strany. kolmice procházející jejich středem a protínají se v jednom bodě. Těžnice se protínají v jednom bodě - těžiště.

Strana trojúhelníku je dvojnásobkem protější střední příčky. Střední příčka Narýsujte úsečky určené středy stran trojúhelníku - střední příčky trojúhelníku. Sestrojte osy stran, osy úhlů, těžnice rovnostranného trojúhelníku. Osy stran, osy úhlů, těžnice rovnostranného trojúhelníku 1. se překrývají - splývají. 2. Porovnejte střední příčku trojúhelníku s protější stranou trojúhelníku. A B C (42.) (43.) D E F AB = _ EF 2 AC = _DE 2 Strana trojúhelníku je dvojnásobkem protější střední příčky. BC = _ DF 2

6. Geometrické útvary prostorové Geometrické útvary prostorové - tělesa Spojte čárou obrázek tělesa s jeho názvem. krychle kvádr pětiboký hranol nekonvexní pětiboký hranol trojboký hranol nekonvexní desetiboký hranol čtyřboký hranol hranoly (44.) Lineární geometrické útvary (přímka, polopřímka, úsečka)  Rovinné geometrické útvary – obrazce (polorovina, mnohoúhelníky, kružnice, kruh, kuželosečky, křivky a útvary vymezené křivkami  Prostorové geometrické útvary – tělesa (hranoly (např. krychle, kvádr), válec, jehlan, kužel, koule, …) 

Spojte čárou obrázek tělesa s jeho názvem. jehlany pravidelný trojboký pravidelný čtyřboký pravidelný pětiboký pravidelný šestiboký nepravidelný trojboký nepravidelný čtyřboký nepravidelný pětiboký nekonvexní pětiboký Spojte čárou obrázek tělesa s jeho názvem. jehlany (45.)

Spojte čárou obrázek tělesa s jeho názvem. Oblá tělesa Spojte čárou obrázek tělesa s jeho názvem. oblá tělesa komolý kužel válec koule kužel (46.)