Goniometrické funkce Autor © Mgr. Radomír Macháň Goniometrické funkce ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku: Funkce sinus

Opakování − Podobnost trojúhelníků Věta o podobnosti trojúhelníků: sss Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících si stran, jsou podobné.

Opakování − Podobnost trojúhelníků Jelikož součet všech tří úhlů je 180°, i třetí dvojice úhlů se musí rovnat. Víš, proč jen „dva úhly“? Věta o podobnosti trojúhelníků: uu Každé dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech, jsou podobné.

Opakování − Podobnost trojúhelníků A na závěr ještě věta o podobnosti trojúhelníků třetí: sus Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících si stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou podobné.

Opakování − Podobnost trojúhelníků Zápis podobnosti:  ABC   XYZ

Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku Věta o podobnosti trojúhelníků: sss Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících si stran, jsou podobné.

Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku … jsme získali vztah mezi stranami téhož trojúhelníku. Ze vztahu mezi stranami různých trojúhelníků… Dva trojúhelníky jsou si podobné, když mají stejný poměr kratší odvěsny a přepony (podle našeho obrázku).

Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku . a α c . x α z

o podobnosti trojúhelníků: uu. Dokážeš zdůvodnit toto tvrzení? Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku. . a α c . Všechny pravoúhlé trojúhelníky se stejným ostrým úhlem α jsou si podobné. x Ano. Plyne to z věty o podobnosti trojúhelníků: uu. Dokážeš zdůvodnit toto tvrzení? α z

. . Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku α α a c Pro libovolný pravoúhlý trojúhelník s ostrým úhlem o velikosti α tedy získáme stejný poměr některých dvou stran. x V našem případě protilehlé odvěsny a přepony. α z

. . Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku α α a c Poměr protilehlé odvěsny a přepony je tedy dán velikostí úhlu α a je úplně jedno, přes jaký pravoúhlý trojúhelník ho vypočítáme. x Poměr protilehlé odvěsny a přepony je vlastně funkcí daného úhlu. α z

. . Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku α α a c Tuto funkci nazýváme sinus a je velmi důležitá jako spojnice mezi úhly (tvarem) a stranami (velikostí). x α z

. . Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku α α Sinus úhlu α je poměr a protilehlé odvěsny a přepony. α c protilehlá odvěsna _________________ . sin α = přepona x α z

. . Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku β β Sinus úhlu β je poměr b protilehlé odvěsny a přepony. β c protilehlá odvěsna _________________ . sin β = přepona y β z

Určení funkčních hodnot funkce sinus protilehlá odvěsna _________________ sin α = přepona

Nejde přesně změřit, a proto si přesnou velikost vypočítáme. Určení funkčních hodnot funkce sinus protilehlá odvěsna _________________ sin α = přepona Nejde přesně změřit, a proto si přesnou velikost vypočítáme. Víte, jak?

Ano. Pomůže nám Pythagorova věta. Určení funkčních hodnot funkce sinus protilehlá odvěsna _________________ sin α = přepona př2 = od2 + od2 b2 = a2 + c2 Co můžeme tvrdit o velikosti odvěsen? Ano. Pomůže nám Pythagorova věta.

Určení funkčních hodnot funkce sinus protilehlá odvěsna _________________ sin α = přepona př2 = od2 + od2 b2 = a2 + c2 Odvěsny jsou stejně dlouhé. Proč? Protože trojúhelník je rovnoramenný, a tak a = c. 82 = a2 + a2 64 = 2a2 64 : 2 = a2 32 = a2

Tabulka základních funkčních hodnot funkce sinus α 0° 30° 45° 60° 90° sin α Další hodnoty lze najít v tabulkách, případně určit pomocí kalkulačky. Jednou z moderních možností však jsou i on-line kalkulátory na internetu (viz následující snímek).

Tady zadej velikost úhlu… … a tady zjistíš hodnotu funkce sinus. On-line kalkulátor goniometrických funkcí Uveřejněný odkaz [cit. 2010-23-09]. Dostupný z WWW: http://easycalculation.com/trigonometry/trigonometry.php Tady zadej velikost úhlu… … a tady zjistíš hodnotu funkce sinus.

Využití goniometrických funkcí pravoúhlého trojúhelníku 1) K výpočtu velikosti vnitřního úhlu pravoúhlého trojúhelníku, známe-li jeho přeponu a odvěsnu k určovanému úhlu protilehlou. Příklad: Urči velikost úhlů v pravoúhlém trojúhelníku. Jedna odvěsna měří 5 cm, přepona 13 cm.

Využití goniometrických funkcí pravoúhlého trojúhelníku 2) K výpočtu velikosti přepony či odvěsny protilehlé ke známému úhlu, pokud jednu z nich známe. Příklad: Urči přeponu a pravoúhlého trojúhelníku, má-li strana b velikost 5 cm a úhel β = 22°37´.