Goniometrické funkce Autor © Mgr. Radomír Macháň Goniometrické funkce ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku: Funkce tangens

Opakování − Podobnost trojúhelníků Věta o podobnosti trojúhelníků: sss Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících si stran, jsou podobné.

Opakování − Podobnost trojúhelníků Jelikož součet všech tří úhlů je 180°, i třetí dvojice úhlů se musí rovnat. Víš, proč jen „dva úhly“? Věta o podobnosti trojúhelníků: uu Každé dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech, jsou podobné.

Opakování − Podobnost trojúhelníků A na závěr ještě třetí věta o podobnosti trojúhelníků: sus Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících si stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou podobné.

Opakování − Podobnost trojúhelníků Zápis podobnosti:  ABC   XYZ

Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku Věta o podobnosti trojúhelníků: sss Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících si stran, jsou podobné.

Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku … jsme získali vztah mezi stranami téhož trojúhelníku. Ze vztahu mezi stranami různých trojúhelníků… Dva trojúhelníky jsou si podobné, když mají stejný poměr kratší odvěsny a delší odvěsny (podle našeho obrázku).

Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku . b a α . y x α

o podobnosti trojúhelníků: uu. Dokážeš zdůvodnit toto tvrzení? Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku . b a α . Všechny pravoúhlé trojúhelníky se stejným ostrým úhlem α jsou si podobné. y x Ano. Plyne to z věty o podobnosti trojúhelníků: uu. Dokážeš zdůvodnit toto tvrzení? α

. . Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku α α b a Pro libovolný pravoúhlý trojúhelník s ostrým úhlem o velikosti α tedy získáme stejný poměr některých dvou stran. y x V našem případě protilehlé odvěsny a přilehlé odvěsny. α

. . Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku α α b a Poměr protilehlé odvěsny a přilehlé odvěsny je tedy dán velikostí úhlu α a je úplně jedno, přes jaký pravoúhlý trojúhelník ho vypočítáme. y x Poměr protilehlé odvěsny a přilehlé odvěsna je vlastně funkcí daného úhlu. α

. . Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku α α b a Tuto funkci nazýváme tangens a je velmi důležitá jako spojnice mezi úhly (tvarem) a stranami (velikostí). y x α

. . Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku α α Tangens úhlu α je poměr b a protilehlé odvěsny a přilehlé odvěsny. α protilehlá odvěsna _________________ . tg α = přilehlá odvěsna y x α

. . Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku β β Tangens úhlu β je poměr b a protilehlé odvěsny a přilehlé odvěsny. β protilehlá odvěsna _________________ . tg β = přilehlá odvěsna y x β

Určení funkčních hodnot funkce tangens protilehlá odvěsna _________________ tg α = přilehlá odvěsna

Nejde přesně změřit, a tak musíme hledat jinou cestu. Určení funkčních hodnot funkce tangens Například změřit stranu b a případně ji využít k výpočtu velikosti strany c. protilehlá odvěsna _________________ tg α = přilehlá odvěsna Nejde přesně změřit, a tak musíme hledat jinou cestu.

Určení funkčních hodnot funkce tangens protilehlá odvěsna _________________ tg α = přilehlá odvěsna př2 = od2 + od2 b2 = a2 + c2 62 = 32 + c2 36 = 9 + c2 36 – 9 = c2 27 = c2

Další hodnoty lze najít v tabulkách, případně určit pomocí kalkulačky. Tabulka základních funkčních hodnot funkce tangens α 0° 30° 45° 60° 90° tg α Další hodnoty lze najít v tabulkách, případně určit pomocí kalkulačky. Jednou z moderních možností však jsou i on-line kalkulátory na internetu (viz následující snímek).

Tady zadej velikost úhlu… … a tady zjistíš hodnotu funkce tangens. On-line kalkulátor goniometrických funkcí Uveřejněný odkaz [cit. 2010-23-09]. Dostupný z WWW: http://easycalculation.com/trigonometry/trigonometry.php Tady zadej velikost úhlu… … a tady zjistíš hodnotu funkce tangens.

Využití goniometrických funkcí pravoúhlého trojúhelníku 4,2 cm 48 mm 4 cm 32 mm 6 cm 28 mm 35 mm 5 cm K výpočtu hodnot pravoúhlého trojúhelníku: délek stran či velikostí úhlů.