Slovní úlohy o pohybu Pohyby proti sobě s časovým posunem

Jak při řešení rovnic postupovat? 1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát). 2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. 3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu. 4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy a na jejím základě sestav rovnici a vyřeš ji. 5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy. 6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.

Slovní úloha o pohybu proti sobě s čas. posunem Touto variantou se myslí úlohy, v nichž pohybující se tělesa vycházejí, vyjíždějí, odlétají ze dvou různých míst a pohybují se proti sobě tak, aby se v jistém okamžiku a v jisté vzdálenosti od obou míst střetla. Abychom to neměli tak jednoduché, tělesa vycházejí, vyjíždějí či odlétají v různých časech, v odlišnou dobu. A B

Slovní úloha o pohybu proti sobě s čas. posunem Ukázka zadání takové úlohy: Vzdálenost dvou míst je 240 km. Z místa A vyjelo v 8.00 hodin nákladní auto průměrnou rychlostí 60 km/h. V 8.30 hodin mu z místa B vyjelo naproti osobní auto pohybující se průměrnou rychlostí 80 km/h. Za jak dlouho a jak daleko od místa A se obě vozidla potkají?

s = s1 + s2 Slovní úloha o pohybu proti sobě s čas. posunem s A B s1 Součet těchto uražených drah (vzdáleností) je roven celkové vzdálenosti mezi místy A a B = s. Obě pohybující se tělesa přitom urazí nějakou svoji dráhu s1 a s2. Tato logická rovnost plynoucí z textu úlohy je i základem pro sestavení rovnice pro výpočet hledané neznámé. s = s1 + s2

Slovní úloha o pohybu proti sobě s čas. posunem s1 = v1 . t1 s1 s2 = v2 . t2 s2 Uražená dráha se přitom vypočítá jako součin průměrné rychlosti pohybujícího se tělesa a doby pohybu: s = v . t s = v1 . t1 + v2 . t2 s = s1 + s2

Příklad: Vzdálenost dvou míst je 240 km. Z místa A vyjelo v 8.00 hodin nákladní auto průměrnou rychlostí 60 km/h. V 8.30 hodin mu z místa B vyjelo naproti osobní auto pohybující se průměrnou rychlostí 80 km/h. Za jak dlouho a jak daleko od místa A se obě vozidla potkají? 240 km A B v1 = 60 km/h v2 = 80 km/h t t − 0,5 Závorku použijeme proto, abychom nezapomněli, že to celé je vyjádření času, musíme s ním tedy jako s celkem počítat. Místo setkání s1 = 60 . t s2 = 80 . (t − 0,5) A potom ty neznámé … Nejprve tedy ty známé … V našem případě je to čas pohybu obou aut. Při řešení nejen slovních úloh o pohybu je pro větší názornost vždy velmi přínosný obrázek vykreslující situaci úlohy. Do něj si zapíšeme všechny známé i neznámé údaje. Označíme si čas nákladního auta t. Protože osobní auto vyjelo podle časových údajů o půl hodiny později, promítne se tato půlhodina i do času jeho jízdy. I ta bude o půl hodiny kratší. Tzn. (t – 0,5)

Příklad: Vzdálenost dvou míst je 240 km. Z místa A vyjelo v 8.00 hodin nákladní auto průměrnou rychlostí 60 km/h. V 8.30 hodin mu z místa B vyjelo naproti osobní auto pohybující se průměrnou rychlostí 80 km/h. Za jak dlouho a jak daleko od místa A se obě vozidla potkají? 240 km A B v1 = 60 km/h v2 = 80 km/h t t − 0,5 s1 = 60 . t s2 = 80 . (t − 0,5) s = s1 + s2 240 = 60 . t + 80 . (t − 0,5) Vyjádřené údaje pak dosadíme do logické rovnosti plynoucí z textu úlohy, čímž sestavíme rovnici pro výpočet neznámé.

Příklad: Vzdálenost dvou míst je 240 km. Z místa A vyjelo v 8.00 hodin nákladní auto průměrnou rychlostí 60 km/h. V 8.30 hodin mu z místa B vyjelo naproti osobní auto pohybující se průměrnou rychlostí 80 km/h. Za jak dlouho a jak daleko od místa A se obě vozidla potkají? 240 km A B v1 = 60 km/h v2 = 80 km/h t t − 0,5 s1 = 60 . t s2 = 80 . (t − 0,5) 240 = 60 . t + 80 . (t − 0,5) 240 = 60 . t + 80 . t − 40 Setkají se tedy za 2 hodiny. Ještě nám ale zbývá dopočítat, jak daleko od místa A, tzn. s1. s1 = 60 . t 240 = 140 . t − 40 240 + 40 = 140 . t s1 = 60 . 2 280 = 140 . t s1 = 120 km Rovnici vyřešíme 2 h = t

Příklad: Vzdálenost dvou míst je 240 km. Z místa A vyjelo v 8.00 hodin nákladní auto průměrnou rychlostí 60 km/h. V 8.30 hodin mu z místa B vyjelo naproti osobní auto pohybující se průměrnou rychlostí 80 km/h. Za jak dlouho a jak daleko od místa A se obě vozidla potkají? t = 2 h s1 = 120 km Na závěr se provede zkouška toho, zda získané hodnoty vyhovují podmínkám úlohy: Kolik kilometrů ujelo osobní auto, jestliže jelo o půl hodiny kratší dobu? Obě auta se potkají za 2 hodiny od výjezdu prvního auta, tzn. v 10.00 a 120 km od místa A. Obě auta dohromady ujela 240 kilometrů, což odpovídá vzdálenosti míst A a B. Můžeme tedy napsat odpověď:

Příklad: Vzdálenost místa A do místa B je 108 km. Z obou míst vyjela současně dvě auta. Rychlost auta jedoucího z místa A byla o 2 km/h větší než rychlost druhého auta. Jaká byla rychlost každého z aut, jestliže se potkala za 54 minut?

Příklad: Vzdálenost místa A do místa B je 108 km. Z obou míst vyjela současně dvě auta. Rychlost auta jedoucího z místa A byla o 2 km/h větší než rychlost druhého auta. Jaká byla rychlost každého z aut, jestliže se potkala za 54 minut? 108 km A B t = 54 min = 54/60 = 9/10 h t = 54 min = 54/60 = 9/10 h v + 2 v s1 = (v + 2) . 0,9 s2 = v . 0,9 108 = (v + 2) . 0,9 + v . 0,9 108 = 0,9v + 1,8 + 0,9v 108 – 1,8 = 1,8v 106,2 : 1,8 = v 59 km/h = v Auto jedoucí z místa B mělo rychlost 59 km/h, auto jedoucí z místa A o 2 km/h větší, tzn. 61 km/h.

Příklad: Z Olomouce směrem na Hradec Králové vyjel v 7 hodin nákladní automobil průměrnou rychlostí 40 km/h. Z Hradce Králové, vzdáleného 210 km od Olomouce, vyjel v 7 hodin 45 minut osobní automobil průměrnou rychlostí 80 km/h. Za kolik hodin od výjezdu nákladního automobilu a jak daleko od Olomouce se potkají?

O HK s1 = v1 . t s2 = v2 . t s1 = 40 . t s2 = 80 . (t − 0,75) Příklad: Z Olomouce směrem na Hradec Králové vyjel v 7 hodin nákladní automobil průměrnou rychlostí 40 km/h. Z Hradce Králové, vzdáleného 210 km od Olomouce, vyjel v 7 hodin 45 minut osobní automobil průměrnou rychlostí 80 km/h. Za kolik hodin od výjezdu nákladního automobilu a jak daleko od Olomouce se potkají? 210 km O HK v1 = 40 km/h v2 = 80 km/h t t − 0,75 s1 = v1 . t s2 = v2 . t s1 = 40 . t s2 = 80 . (t − 0,75) 210 = 40t + 80 . (t − 0,75) 210 = 40t + 80t − 60 s = 40 . 2,25 210 + 60 = 120t s = 90 km t = 270 : 120 = 2,25 h Potkají se za 2 hodiny a 15 minut 90 km od Olomouce.