ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Analytická geometrie je oblast matematiky užívající ke studiu geometrických útvarů převážně algebraické prostředky. Každý bod je vyjádřen souřadnicemi (uspořádanou n-ticí čísel). Geometrické útvary jsou popisovány rovnicemi, popř. nerovnicemi, jimž vyhovují souřadnice bodů těchto útvarů. Jedním ze zakladatelů analytické geometrie je francouzský filosof a matematik René Descartes, po němž je pojmenována kartézská soustava souřadnic. Základní metody analytické geometrie publikoval v roce 1637. obrázek: René Descartes - Wikipedie [online]. [cit. 2011-03-18]. René Descartes. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg>. další učivo 

BOD V ROVINĚ

Soustava souřadnic (Kartézská soustava souřadnic) Oxy v rovině je tvořena dvěma navzájem kolmými číselnými osami x a y se společným počátkem O a se stejnými jednotkami měření. Počátek O rozdělí osu x i y na kladnou poloosu a zápornou poloosu. Bodu O přiřadíme na ose x i y souřadnici 0 a zapíšeme O = [0; 0] nebo O [0; 0]. Souřadnice libovolného bodu X roviny určíme následujícím způsobem. Každému bodu X lze přiřadit jedinou uspořádanou dvojici souřadnic [x; y]. X = [x; y] nebo X [x; y]  úloha 1 další učivo 

Zakreslete zadané body v soustavě souřadnic Oxy: ÚLOHA 1 Zakreslete zadané body v soustavě souřadnic Oxy: A = [3;2] B = [-2; 1] C = [-1; -4] D = [1; -3] E = [0; 4] F = [-4; 0]  řešení úlohy 1 další učivo 

ÚLOHA 1 ‒ řešení       další učivo 

VZDÁLENOST DVOU BODŮ V ROVINĚ

Vzdálenost dvou bodů v rovině Souřadnice bodu A = [xA; yA]. Souřadnice bodu B = [xB; yB]. Vzdálenost dvou bodů A a B v rovině je rovna velikosti úsečky |AB|. 

Vzdálenost dvou bodů v rovině Kolmice vedená bodem A k ose y a kolmice vedená bodem B k ose x se protnou v bodě C. BAC je pravoúhlý: |AC| = |xB – xA| |BC| = |yB – yA| | | | | Vzorec pro výpočet vzdálenosti dvou bodů v rovině odvodíme pomocí Pythagorovy věty: 

Vzdálenost dvou bodů v rovině ABC je pravoúhlý: |AC| = |xB – xA| |BC| = |yB – yA| Odvozený vzorec platí i pro jiné polohy bodů, tedy nejen pro body ležící v I. kvadrantu. | | | | |yB – yA| |xB – xA|  úloha 2 další učivo 

ÚLOHA 2 A. Zakreslete zadané body v soustavě souřadnic Oxy: A = [2; 4] B = [-3; 2] C = [-1,5; -2] D = [0; -4] E = [4; -1] F = [7; 0] O = [0; 0] B. Vypočtěte vzdálenost dvou bodů: A a B, B a C, C a D, D a E, E a F, F a A, A a O, A a D, B a F, C a E  řešení úlohy 2A  řešení úlohy 2B další učivo 

ÚLOHA 2A ‒ řešení  řešení úlohy 2B další učivo 

ÚLOHA 2B – řešení: Vzdálenost bodů A a B  řešení úlohy 2B další učivo 

ÚLOHA 2B – řešení: Vzdálenost bodů B a C  řešení úlohy 2B další učivo 

ÚLOHA 2B – řešení: Vzdálenost bodů C a D  řešení úlohy 2B další učivo 

ÚLOHA 2B – řešení: Vzdálenost bodů D a E  řešení úlohy 2B další učivo 

ÚLOHA 2B – řešení: Vzdálenost bodů E a F  řešení úlohy 2B další učivo 

ÚLOHA 2B – řešení: Vzdálenost bodů F a A  řešení úlohy 2B další učivo 

ÚLOHA 2B – řešení: Vzdálenost bodů A a O  řešení úlohy 2B další učivo 

ÚLOHA 2B – řešení: Vzdálenost bodů A a D  řešení úlohy 2B další učivo 

ÚLOHA 2B – řešení: Vzdálenost bodů B a F  řešení úlohy 2B další učivo 

ÚLOHA 2B – řešení: Vzdálenost bodů C a E další učivo 

NEORIENTOVANÁ ÚSEČKA

Neorientovaná úsečka je v rovině jednoznačně určena libovolnou dvojicí navzájem různých bodů, které nazýváme krajními body. Krajní bod A = [xA; yA]. Krajní bod B = [xB; yB]. Symbolické zápisy AB a BA vyjadřují jednu a tutéž úsečku: AB = BA Vzdálenost dvou krajních bodů A a B v rovině je rovna velikosti úsečky |AB|.  úloha 3 další učivo 

A. Zakreslete zadané body v soustavě souřadnic Oxy: ÚLOHA 3 A. Zakreslete zadané body v soustavě souřadnic Oxy: A = [1; 4] B = [-2; 3] C = [-2; -1] D = [4; -1] E = [4; 3] B. Sestrojte úsečky a vypočtěte jejich velikost: |AB|, |BC|, |CD|, |DE|, |AE|, |BE|, |CE|, |BD|  řešení úlohy 3A  řešení úlohy 3B další učivo 

ÚLOHA 3A ‒ řešení  řešení úlohy 3B další učivo 

ÚLOHA 3B ‒ řešení  úloha 3B další učivo 

ÚLOHA 3B – řešení další učivo 

ORIENTOVANÁ ÚSEČKA

Orientovaná úsečka je úsečka, jejíž jeden krajní bod je počátečním bodem (A) a druhý koncovým bodem (B). Orientovanou úsečku AB graficky znázorníme u koncového bodu šipkou. Orientovaná úsečka je značena šipkou – viz obrázek. V tištěném textu může být značena i odlišným písmem bez šipky. Splývá-li koncový bod orientované úsečky s jejím počátečním bodem, nazýváme takovou orientovanou úsečku nulovou.  úloha 4 další učivo 

ÚLOHA 4 Obrazec z ÚLOHY 3 zakreslete jedním tahem. Začněte v bodě C a jednotlivé tahy zapisujte. Postup:  řešení úlohy 4  úloha 5 další učivo 

ÚLOHA 4 ‒ řešení Každá zakreslená úsečka je orientovanou úsečkou, pro kterou platí: AB ≠ BA, BC ≠ CB, CD ≠ DC, DE ≠ ED, AE ≠ EA, BE ≠ EB, CE ≠ EC, BD ≠ DB  úloha 5 další učivo 

Zapište jednotlivé orientované úsečky: ÚLOHA 5 Zapište jednotlivé orientované úsečky:  řešení úlohy 5 další učivo 

ÚLOHA 5 ‒ řešení další učivo 

VELIKOST ORIENTOVANÉ ÚSEČKY

Velikost (délka) orientované úsečky je rovna vzdálenosti mezi počátečním bodem A a koncovým bodem B, tzn. je rovna velikosti (délce) příslušné neorientované úsečky |AB|. Velikost nulové orientované úsečky je rovna nule. | | | | Velikosti orientované úsečky tedy vypočteme podle již známého vzorce pro výpočet velikosti úsečky:  úloha 6 další učivo 

ÚLOHA 6 Určete velikost jednotlivých orientovaných úseček z ÚLOHY 5, mají-li jejich krajní body tyto souřadnice: A = [4; 3] B = [1; 1] C = [5,5; 3,5] D = [-1,5; 0,5] E = [-1,5; -1] F = [-3,5; -2] G = [8; -1,5] H = [0; 0]  řešení úlohy 6 další učivo 

ÚLOHA 6 ‒ řešení  řešení úlohy 6 další učivo 

ÚLOHA 6 ‒ řešení  řešení úlohy 6 další učivo 

ÚLOHA 6 ‒ řešení  řešení úlohy 6 další učivo 

ÚLOHA 6 ‒ řešení další učivo 

STŘED ÚSEČKY

Střed úsečky Souřadnice bodu A = [xA; yA] Souřadnice bodu B = [xB; yB] Souřadnice středu S = [s1; s2]:  úloha 7

ÚLOHA 7 A. Vypočítejte střed SAB úsečky AB, je-li: B. Vypočítejte krajní bod D úsečky CD, je-li: C = [-2; -5] SCD = [8; -3]  řešení úlohy 7A řešení úlohy 7B 

ÚLOHA 7A ‒ řešení  řešení úlohy 7B

ÚLOHA 7B ‒ řešení 

Obrázky použité v prezentaci byly vytvořeny v programu GEONExt verze 1