Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot

Opakování − definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Funkci značíme obvykle písmenkem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmenka, např. g, h… Obvykle ji zapisujeme ve tvaru: y = f(x), např. y = x2 nebo ve tvaru: f: y = x2 kde proměnná x je argument funkce.

kde proměnná x je argument funkce neboli nezávisle proměnná. Funkce − definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. f: y = x2 kde proměnná x je argument funkce neboli nezávisle proměnná. Nezávislost je dána tím, že její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního oboru.

Opakování − definiční obor funkce U každé funkce také musíme určit definiční obor. Za chvíli si typy definičních oborů a možnosti jejich zápisů rozebereme podrobněji. Je to množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou funkci nabývat. Značí se: D(f)‏ Definiční obor může být dle typu funkce zadán jako množina všech reálných čísel: D(f) = R nebo jinak zapsáno xR, nebo jako část této množiny, tedy její podmnožina: např. D(f) = R+ nebo x > 0 nebo x(0;)‏.

Opakování − obor hodnot funkce Ke všem přípustným hodnotám argumentu x přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot). I obor hodnot, podobně jako definiční obor, může být množinou všech reálných čísel či jen její podmnožinou a platí pro něj stejné možnosti zápisu jako pro obor definiční. Tak se na ně nyní společně podíváme. Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x. Jinak řečeno − výstupní hodnota funkce. Obvykle ji značíme y nebo f(x). Hodnota závisle proměnné je pro danou funkci jednoznačně určena hodnotou argumentu x - proto „závisle“ proměnná. Obor hodnot je množina všech reálných čísel, které dostaneme jako výstupní hodnoty funkce f, jestliže za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f). Značí se: H(f)‏

Opakování Nejdříve si ale ještě připomeňme, jaké známe číselné obory a co znamenají. Množiny čísel, na kterých definujeme početní operace Množina se dá chápat jako soubor prvků (v našem případě čísel). Každá množina tedy obsahuje určitý počet prvků, který může být konečný i nekonečný. Nemusí také obsahovat žádný prvek, poté mluvíme o prázdné množině. -2,357 -3 13 3 -1 1000000,008 1 N N Z Z Q Q R R 2 -1/3 5 4 -2 0,01 -57 2/9 ¶ … Přirozená čísla: 1; 2; 3; 4; 5; … … Celá čísla: … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; … … Racionální čísla: -8; 0; 34; 1000000; 2/9; 0,01; 2,3; … … Reálná čísla: -8; 0; 34; 1000000; 2/9; 0,01; 2,3; ¶; 13

Funkce − zápis definičního oboru Definiční obor udává množinu prvků (čísel), pro které máme funkci řešit (učit funkční hodnoty, obor hodnot, sestrojit graf). Tak například tato funkce. Je definována pro všechna reálná čísla, nebo není? Určení definiční oboru bývá obvykle již součástí zadání příkladu. Pokud tomu tak není, předpokládá se, že máme funkci zkoumat v množině všech reálných čísel. V takovém případě si však musíme dát pozor na to, abychom z této množiny vyčlenili prvky (čísla), pro které funkce definována není! Např. funkce není definována pro x = 0, protože, vycházíme-li z našich dlouholetých znalostí, nulou nelze dělit.

Funkce − zápis definičního oboru Definičním oborem je množina všech reálných čísel: D(f) = R nebo xR nebo x(−;)‏ Zápis pomocí intervalu Definičním oborem je množina všech kladných reálných čísel: D(f) = R+ nebo x > 0 nebo x(0;)‏ Interval zleva otevřený, což znamená, že funkce není pro nulu definována a prvním platnou číslicí definičního oboru je číslo „0,0000000… a až někde v nekonečnu 1“.

Funkce − zápis definičního oboru Definičním oborem je množina všech nezáporných reálných čísel: Čísla kladná plus nula D(f) = R0+ nebo x ≥ 0 nebo x0;)‏ Interval zleva uzavřený, což znamená, že funkce je definována i pro nulu.

Funkce − zápis definičního oboru Definičním oborem je množina všech záporných reálných čísel: D(f) = R- nebo x < 0 nebo x(−;0)‏ Interval zprava otevřený, což znamená, že funkce není pro nulu definována a poslední platnou číslicí definičního oboru je číslo „-0,0000000… a až někde v nekonečnu 1“.

Funkce − zápis definičního oboru Definičním oborem je množina všech nekladných reálných čísel: Čísla záporná plus nula D(f) = R0- nebo x ≤ 0 nebo x(−;0 Interval zprava uzavřený, což znamená, že funkce je definována i pro nulu.

Funkce − zápis definičního oboru Prozatím jsme zkoumali jen obory tvořené podmnožinou reálných čísel omezenou jen z jedné strany. Nyní se tedy zaměříme na zápis podmnožin omezených z obou stran. Čísla, která odpovídají oběma podmínkám současně a jsou prvky zadaného definičního oboru, tvoří průnik obou podmnožin a tvoří interval… −4 < x < 2 x > −4  x < 2 Zápis můžeme rozdělit na dva samostatné zápisy platící zároveň. x(−;2)‏ x(−4;)‏ Čteme: x je větší než –4 a zároveň x je menší než 2. Otevřený interval: čísla -4 a 2 jsou jeho krajními body, ale do definičního oboru nepatří. x(−4;2)‏

Funkce − zápis definičního oboru −4 ≤ x ≤ 2 I tentokrát můžeme zápis rozdělit na dva samostatné zápisy platící zároveň. x ≥ −4  x ≤ 2 Čísla, která odpovídají oběma podmínkám současně a jsou prvky zadaného definičního oboru, tvoří průnik obou podmnožin a tvoří interval… Poznali jste, čím se toto zadání liší od předchozího? Čteme: x je větší nebo rovno –4 a zároveň x je menší nebo rovno 2. x(−;2 x-4;)‏ Uzavřený interval: čísla -4 a 2 jsou opět jeho krajními body, ale v tomto případě patří i do definičního oboru. x−4;2

Funkce − zápis definičního oboru −4 ≤ x < 2 Opět můžeme zápis rozdělit na dva samostatné zápisy platící zároveň. x ≥ −4  x < 2 Čísla, která odpovídají oběma podmínkám současně a jsou prvky zadaného definičního oboru, tvoří průnik obou podmnožin a tvoří interval… A do třetice… Poznali jste i tentokrát, čím se toto zadání liší od předchozích? Čteme: x je větší nebo rovno –4 a zároveň x je menší než 2. x(−;2)‏ x−4;)‏ Polouzavřený interval: čísla -4 a 2 jsou opět jeho krajními body, ale do definičního oboru patří jen číslo -4. x−4;2)‏

Funkce − zápis definičního oboru Objevit se může i situace, kdy máme funkci „vyšetřovat“ pro definiční obor určený jen výčtem několika konkrétních prvků, čísel. Např. pro čísla −2; −1; 0; 1; 2 a 3. V takovém případě se používá množinový zápis pomocí složených závorek: x{−2;−1;0;1;2;3}

Funkce − zápis definičního oboru No a objevit se samozřejmě může i situace, kdy definičnímu oboru nevyhovuje žádný prvek, žádné číslo: Např. 3 < a  −7 a > 3  a  −7 x(−;−7 x(3;)‏ Prázdná množina. Definiční obor neobsahuje žádné číslo, žádný prvek. Množiny nemají společný průnik, neexistuje společná množina. x

Funkce − příklady Zapiš definiční obor pomocí intervalu: −5 ≤ x ≤ 4

x−5;4 Funkce − příklady x ≥ −5  x ≤ 4 x(−;4 x−5;)‏ Zapiš definiční obor pomocí intervalu: −5 ≤ x ≤ 4 Opět můžeme zápis rozdělit na dva samostatné zápisy platící zároveň. Čísla, která odpovídají oběma podmínkám současně a jsou prvky zadaného definičního oboru, tvoří průnik obou podmnožin a tvoří interval… x ≥ −5  x ≤ 4 Čteme: x je větší nebo rovno –5 a zároveň x je menší nebo rovno 4. x(−;4 x−5;)‏ Uzavřený interval: čísla -5 a 4 jsou jeho krajními body a patří do definičního oboru. x−5;4

Opět můžeme zápis rozdělit na dva samostatné zápisy platící zároveň. Funkce − příklady Zapiš definiční obor pomocí intervalu: −5 ≤ x ≥ 4 Opět můžeme zápis rozdělit na dva samostatné zápisy platící zároveň. x ≥ −5  x ≥ 4 Čísla, která odpovídají oběma podmínkám současně a jsou prvky zadaného definičního oboru, tvoří opět průnik obou podmnožin a tvoří interval… x4;)‏ x−5;)‏ x4;)‏

Funkce − příklady x ≤ −2 0 < x x > 12 x  0 Zapiš definiční obory pomocí intervalu: x ≤ −2 0 < x x > 12 x  0

Funkce − příklady x(−;−2 x(0;)‏ x(12;)‏ x0;)‏ x ≤ −2 Zapiš definiční obory pomocí intervalu: x ≤ −2 0 < x x(−;−2 x(0;)‏ x > 12 x  0 x(12;)‏ x0;)‏

Funkce − příklady 2 ≤ x ≤ 15 −1 ≤ x < 8 −7 < x < 0 −1 ≥ x ≥ 1 Zapiš definiční obory pomocí intervalu: −1 ≤ x < 8 −7 < x < 0 2 ≤ x ≤ 15 −1 ≥ x ≥ 1

Funkce − příklady x−1;8)‏ x(−7;0)‏ x2;15 x 2 ≤ x ≤ 15 Zapiš definiční obory pomocí intervalu: −1 ≤ x < 8 −7 < x < 0 x−1;8)‏ x(−7;0)‏ 2 ≤ x ≤ 15 −1 ≥ x ≥ 1 x2;15 x