KVADRATICKÉ NEROVNICE Kvadratické nerovnice a jejich algebraické a grafické řešení Kvadratické nerovnice s neznámou ve jmenovateli Kvadratické nerovnice s parametrem Kvadratické nerovnice s absolutními hodnotami

algebraické a grafické 1. Kvadratické algebraické a grafické nerovnice a jejich řešení

Kvadratická nerovnice s neznámou x є R je každá nerovnice tvaru ax2+ bx + c > 0 nebo ax2+ bx + c ≥ 0 nebo ax2+ bx + c < 0 nebo ax2+ bx + c ≤ 0, kde a, b, c jsou reálné koeficienty, a ≠ 0.

Příklad 1 Řešte v R kvadratickou nerovnici: x2 - 6x - 7 > 0

1. najdeme kořeny kvadratické rovnice x2 - 6x - 7 = 0 a) řešení pomocí Viètových vzorců

b) řešení pomocí výpočtu diskriminantu

2. zadanou nerovnici upravíme na součinný tvar (x +1)(x – 7) > 0 a) algebraické řešení - porovnáváme součin dvou činitelů s nulou: (x + 1)(x – 7) > 0 právě tehdy, když [ x + 1 > 0 x – 7 > 0 ] [ x + 1< 0 x – 7 < 0 ]

Řešíme tyto soustavy nerovnic: x + 1 > 0 x – 7 > 0 x > -1 x > 7

x + 1< 0 x – 7 < 0 x < -1 x < 7

b) grafické řešení Nakreslíme graf kvadratické funkce y = x2–6x–7. Víme, že osu x kartézské soustavy souřadnic protíná v bodech [7;0] a [-1;0] a podle koeficientu a=1>0 víme, že ve vrcholu má funkce svoji minimální funkční hodnotu. Přesné souřadnice vrcholu ani zjišťovat nemusíme.Z obrázku je patrné, že funkční hodnoty této kvadratické funkce jsou větší než nula pro , protože graf funkce leží v těchto intervalech nad osou x.

Řešte nerovnice v R: x2 – 5x + 6 < 0 b) 3x2 + 5x > 0 c) x2 + 14x + 49 ≥ 0 d) 5x - x2 – 6,25 ≥ 0 e) 4x – 4x2 – 5 > 0 f) 7x2 + 19x – 6 ≤ 0 g) 2 – 5x - 3x2 ≤ 0 h) 2x2 – 7x < 0

Řešte nerovnice v R: a) (2x – 2)2 – 3x(x – 3) ≤ 19 – x b) (x – 2)2 – (x – 3)2 < (x – 4)2 c) (9x – 5)(x + 1) ≥ 4x d) (- 6 – 2x)(-6 + 2x) > 8(x + 5) – 4 e) < f) (x –1)(x2 +2x +1)–(x +4)(x2 – 4x +16) ≤ x(x-1)

2. Kvadratické nerovnice s neznámou ve jmenovateli

Upravíme na podílový tvar 2. Řešíme kvadratickou nerovnici způsobem popsaným v kapitole 1

Příklad 2 Řešte v R nerovnici:

Úprava na podílový tvar znamená upravit nerovnici tak, abychom na jedné straně získali výraz ve tvaru podílu (lomený výraz), na druhé straně nerovnice 0.

Výraz x2 + 1 nabývá pro každé x є R pouze nezáporných hodnot, proto jím můžeme nerovnici vynásobit beze změny znaménka.

1.způsob

2.způsob

3. Kvadratické nerovnice s parametrem

4. Kvadratické nerovnice s absolutními hodnotami