Logické principy QCA Karel Kouba

Opakování: nutné a postačující podmínky Podmínky demokracie – příklady hypotéz stanovujících nutné a postačující podmínky Literatura: Almond, Gabriel. 1991. Capitalism and Democracy. PS: Political Science and Politics, September 1991, s. 467–474; Moore, Barrington. 1966. Social Origins of Dictatorship and Democracy. Lord and Peasant in the Making of the Modern World. Boston, Beacon Press; Lipset, Seymour Martin. 1981. Political Man. The Social Bases of Politics (Expanded Edition). Blatimore, The Johns Hopkins University Press. […] tržně orientované ekonomiky jsou pro demokratické instituce nutné (v logickém smyslu), ačkoli určitě nejsou postačující. (Dahl 1990, cit. z Almond 1991, 470)   Demokracie spolu neválčí (teorie demokratického míru). Žádná buržoazie, žádná demokracie. (Moore 1966, 418) I když nemůžeme říct, že „vysoká“ úroveň vzdělání je postačující podmínkou pro demokracii, dostupné důkazy naznačují, že se blíží nutné podmínce. (Lipset 1981, s. 40)

Nutná podmínka X je nezbytnou (nutnou) podmínkou důsledku Y, pokud vždy, když pozoruji důsledek, zároveň pozoruji příčinu. Ale můžu pozorovat příčinu bez toho, abych pozoroval důsledek. (Případy s X, ale bez Y nevyvracejí nezbytnou podmínku). X > Y (případy s Y tvoří podmnožinu případů s X) X Y

Nutná podmínka X > Y Žádné případy zde Případy zde 1 Úspěch (Y) Hypotéza: Zkušenost žadatele je nutnou podmínkou pro úspěch projektu. X > Y Žádné případy zde Případy zde 1 Úspěch (Y) Není relevantní Není relevantní 0 1 Zkušenost (X)

Postačující podmínka Y X X je dostatečnou podmínkou důsledku Y, pokud vždy, když pozoruji příčinu X, zároveň pozoruji důsledek Y. Ale můžu pozorovat důsledek bez toho, abych pozoroval příčinu. (Tedy, i jiné příčiny mohou způsobovat stejný důsledek.) Y > X (případy s X tvoří podmnožinu případů s Y) Y X

Postačující podmínka Y > X Není relevantní Případy zde 1 Úspěch (Y) Hypotéza: Zkušenost žadatele je postačující podmínkou pro úspěch projektu. Y > X Není relevantní Případy zde 1 Úspěch (Y) Není relevantní Žádné případy zde 0 1 Zkušenost (X)

George Boole (1815-1864) anglický matematik a logik

Základní booleovské operace Disjunkce (addition) Konjunkce (multiplication) Minimalizace boolevských výrazů Implikace De Morganův zákon

Disjunkce („nebo“, „+“, „sčítání“) Chci si koupit (K) dům, který má balkón (B) nebo je cihlový (C). Koupím si následující domy? Má balkon a je cihlový? 1 + 1 = 1 Má balkon, ale není cihlový? 1 + 0 = 1 Nemá balkon, ale je cihlový? 0 + 1 = 1 Nemá balkon, ani není cihlový? 0 + 0 = 0

Konjunkce („a“, „násobení“, „*“) Chci si koupit (K) dům, který má balkón (B) a který je cihlový (C). Koupím si následující domy? Má balkon a je cihlový? 1 * 1 = 1 Má balkon, ale není cihlový? 1 * 0 = 0 Nemá balkon, ale je cihlový? 0 * 1 = 0 Nemá balkon, ani není cihlový? 0 * 0 = 0

Minimalizace Pokud se dva booleovské výrazy liší pouze v hodnotě jediné podmínky, ale vedou ke stejnému důsledku, potom je tato podmínka považována za irelevenatní. Následně může být eliminována, a je tak vytvořen jednodušší výraz. Př.: Abc a ABc se liší pouze v hodnotě podmínky B. Můžeme ji proti považovat za irelevantní. Výsledný výraz je pak Ac.

De Morganův zákon Pokud známe (pozitivní) hodnotu důsledku, tak můžeme logicky odvodit (negativní) hodnotu důsledku. Podmínky změní hodnotu (z negativní na pozitivní a opačně) a sčítání se změní na násobení. Př.: S = A + B * c s = a * (b + C) s = a*b + a*C

Vennovy diagramy Východiskem je fakt, že naše proměnné (podmínky) jsou dichotomické (tedy mohou mít pouze dvě hodnoty, 0 a 1) Můžeme znázornit v diagramech. Vennovy diagramy znázorňují vztahy mezi jednotlivými množinami. Pokrývají každou podmínku nebo konfiguraci podmínek. Počet konfigurací je 2k , kde k je počet podmínek.

Vennův diagram se dvěma podmínkami Jak vypadá plocha A + B? A B Jak vypadá plocha A * B? A B

Vennův diagram – 3 podmínky

Nakreslete Vennův diagram se 4 podmínkami Vítěz získá malé plus. Pamatujte: vzhledem k dichotomickému vyjádření proměnných je počet možných konfigurací 2k, kde k je počet podmínek. Kolikpak je 24 ?

Vennův diagram se 4 podmínkami 2 B 3 C 4 D 5 AB 6 AC 7 AD 8 BC 9 BD 10 CD 11 ABC 12 ABD 13 BCD 14 ACD 15 ABCD 16 abcd A AB B AC ABC BC C ACD BCD ABCD CD D BD ABD AD

N=6

N=7

Minimalizace Dokažte pomocí Vennova diagramu, že B * C a B * c znamená B. Pohrajte si na stránce: http://logictutorial.com/

De Morganův zákon a Vennův diagram Chci si koupit dům (D), který má zahradu (A) nebo je cihlový (B) a nemá balkon (c). Který dům si nechci koupit (d)? (a nakreslete Vennův diagram).

Booleovské rovnice a nutné a postačující podmínky Status podmínky A P  A * B * C + A * p * Q Nutná ale nikoli postačující podmínka (A je obsaženo ve všech výrazech rovnice, ve zkrácené formě lze zapsat P = A * (B * C + p * Q ).) P  A + B * C Postačující ale nikoli nutná podmínka P  A * E + B * C Ani postačující, ani nutná podmínka P  A Postačující a zároveň nutná podmínka

Data PŘÍPAD Zkušenost Velký projekt Nezisková organizace ÚSPĚCH A 1 B B C D E F G H I

Pravdivostní tabulka Z V N ÚSPĚCH PŘÍPAD 1 B D,E A C H I F,G

Minimalizace Z * v * n + z * V * n + Z * v * N + Z * V * n  U 1. a 3. kombinace (Z * v * n a Z * v * N) je zjednodušena na Z * v 1. a 4. kombinace (Z * v * n a Z * V * n) je zjednodušena na Z * n 2. a 4. kombinace (z * V * n a Z * V * n) je zjednodušena na V * n

Implikace Výsledkem analýzy je proto minimální formule:   Z * v * n z * V * n Z * v * N Z * V * n Z * v X x Z * n V * n Výsledkem analýzy je proto minimální formule:   Z * v ­ + V * n  U, (A,H) (C,I)