Permutace s opakováním 27. října 2013 VY_42_INOVACE_190209 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Vladimír Mikulík. Slezské gymnázium, Opava, příspěvková organizace. Vzdělávací materiál byl vytvořen v rámci OP VK 1.5 – EU peníze středním školám.

Permutace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje aspoň jednou. 2

Počet permutací s opakováním z n prvků, v nichž se jednotlivé prvky opakují -krát, je 3

Příklad všech uspořádaných pětic, v nichž se prvek opakuje dvakrát a prvek třikrát: 4

Počet všech permutací, v nichž se prvek opakuje dvakrát a prvek třikrát je http://en.wikipedia.org/wiki/Human_Poverty_Index 5

Určete počet anagramů ze slova REKLAMA. Příklad 1 ANAGRAM neboli přesmyčka je slovo, které vznikne z původního slova tak, že se použijí všechna písmena ve slově obsažená a změní se jejich pořadí. Určete počet anagramů ze slova REKLAMA. např. MAKRELA, KARAMEL, aj R 1x E 1x K 1x L 1x A 2x M 1x 6

Příklad 2 Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel dělitelných devíti, v jejichž dekadickém zápisu nejsou jiné číslice než 0, 1, 2, 5, 7. Kritérium dělitelnosti devíti: ciferný součet 9 : 5, 2, 1, 1 P´(5,2,1,1) 5, 2, 2, 0 P´(2,1) + P´(1,1,1) 7, 1, 1, 0 P´(1,2,1)-P´(1,2) 7, 2, 0, 0 2P´(1,2) ciferný součet 18: 7, 5, 5, 1 P´(1,2,1) 7, 7, 2, 2 P´(2,2) Počet všech čtyřciferných přirozených čísel dělitelných devíti zapsaných pouze ciframi 0, 1, 2, 5, 7 je roven součtu: 12 + 9 + 9 + 6 + 12 + 6 = 54. 7

Příklad 3 Kolika způsoby lze rozdělit 9 pracovníků do 3 kanceláří, mají-li být v první místnosti 4 pracovníci, ve druhé místnosti 2 pracovníci a ve třetí 3 pracovníci? P´(4,2,3) Příklad 4 Při sestavování týdenního jídelníčku v jídelně dětské ozdravovny má být každý den zařazeno právě jedno ovoce ze tří druhů: banány po 2 dny, jablka po 3 dny a pomeranče po 2 dny. Kolika různými způsoby lze sestavit jídelníček? http://en.wikipedia.org/wiki/Multidimensional_Poverty_Index P´(2,3,2) 8

Citace CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 170 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-365-3. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 978-807-1960-997. POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 626 s. ISBN 80-719-6166-3. 9