Slovní úlohy o směsích (řešené lineární rovnicí o jedné neznámé) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Jak při řešení rovnic postupovat? 1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát). 2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. 3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu. 4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy a na jejím základě sestav rovnici a vyřeš ji. 5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy. 6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.

Slovní úlohy o směsích Ukázka zadání takové úlohy: V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?

Neodpovídá ceně ze zadání – není řešením! Slovní úlohy o směsích V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží? Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou nastat. Dle zadání: 5 růží … 81 Kč 5 červených růží 0 žlutých růží Neodpovídá ceně ze zadání – není řešením! 5 . 15 = 75 Kč 0 . 18 = 0 Kč Celkem … 75 + 0 = 75 Kč

Neodpovídá ceně ze zadání – není řešením! Slovní úlohy o směsích V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží? Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou nastat. Dle zadání: 5 růží … 81 Kč 4 červené růže 1 žlutá růže Neodpovídá ceně ze zadání – není řešením! 4 . 15 = 60 Kč 1 . 18 = 18 Kč Celkem … 60 + 18 = 78 Kč

Slovní úlohy o směsích Dle zadání: 5 růží … 81 Kč V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží? Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou nastat. Našli jsme řešení, a tak by se mohlo zdát, že jsme hotovi. Nevyzkoušeli jsme ovšem ještě všechny možné kombinace růží, a tak nemáme jistotu, že nebude existovat ještě nějaké jiné řešení. Proto musíme pokračovat ve zkoumání zbývajících barevných kombinací růží. Dle zadání: 5 růží … 81 Kč 3 červené růže 2 žluté růže A máme řešení! 3 červené a 2 žluté růže. 3 . 15 = 45 Kč 2 . 18 = 36 Kč Celkem … 45 + 36 = 81 Kč

Neodpovídá ceně ze zadání – není řešením! Slovní úlohy o směsích V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží? Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou nastat. Dle zadání: 5 růží … 81 Kč 2 červené růže 3 žluté růže Neodpovídá ceně ze zadání – není řešením! 2 . 15 = 30 Kč 3 . 18 = 54 Kč Celkem … 30 + 54 = 84 Kč

Neodpovídá ceně ze zadání – není řešením! Slovní úlohy o směsích V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží? Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou nastat. Dle zadání: 5 růží … 81 Kč 1 červená růže 4 žluté růže Neodpovídá ceně ze zadání – není řešením! 1 . 15 = 15 Kč 4 . 18 = 72 Kč Celkem … 15 + 72 = 87 Kč

Neodpovídá ceně ze zadání – není řešením! Slovní úlohy o směsích V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží? Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou nastat. Dle zadání: 5 růží … 81 Kč Nakonec tedy již žádná další barevná kombinace řešení odpovídající zadání nepřinesla, a tak se vrátíme k té jediné možné kombinaci. 0 červených růží 5 žlutých růží Neodpovídá ceně ze zadání – není řešením! 0 . 15 = 0 Kč 5 . 18 = 90 Kč Celkem … 0 + 90 = 90 Kč

Slovní úlohy o směsích V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží? Řešení postavené na zkoumání všech možných kombinací je příliš zdlouhavé a možné jen při malých počtech zadaných veličin. Odvodíme si tedy postup při řešení příkladů tohoto typu pomocí lineární rovnice o jedné neznámé. Dle zadání: 5 růží … 81,- Kč 3 červené růže 2 žluté růže 3 . 15 = 45 Kč 2 . 18 = 36 Kč Celkem … 45 + 36 = 81 Kč

x 5 – x 15 . x 18 . (5 – x) Slovní úlohy o směsích červené růže V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží? Dle zadání: 5 růží … 81 Kč červené růže 3 červené růže žluté růže 2 žluté růže Jak potom vyjádříme počet žlutých růží, je-li všech celkem 5? x 5 – x Jako neznámou zvolíme počet červených růží. 15 . x 18 . (5 – x) 3 . 15 = 45 Kč 2 . 18 = 36 Kč Kolik Kč budou stát červené růže? A kolik Kč budou stát žluté? Celkem … 45 + 36 = 81 Kč

Jaká logická rovnost bude základem naší rovnice? Slovní úlohy o směsích V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží? Dle zadání: 5 růží … 81 Kč červené růže žluté růže x 5 – x 15 . x 18 . (5 – x) Cena červených + cena žlutých = cena všech růží Jaká logická rovnost bude základem naší rovnice? 15 . x + 18 . (5 – x) = 81

Slovní úlohy o směsích V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží? Dle zadání: 5 růží … 81 Kč červené růže žluté růže x = 3 5 – x = 5 – 3 = 2 15 . x + 18 . (5 – x) = 81 15 . x + 90 – 18 . x = 81 −3 . x = 81 – 90 Kytice je uvázána ze tří červených a dvou žlutých růží. −3 . x = −9 x = −9 : (−3) x = 3

Příklad: Vstupné na divadelní představení je 50 Kč pro dospělé a 30 Kč pro děti. Kolik dospělých a kolik dětí navštívilo představení, jestliže bylo prodáno 450 vstupenek a na vstupném bylo vybráno celkem 17 100 Kč?

Příklad: Vstupné na divadelní představení je 50 Kč pro dospělé a 30 Kč pro děti. Kolik dospělých a kolik dětí navštívilo představení, jestliže bylo prodáno 450 vstupenek a na vstupném bylo vybráno celkem 17 100 Kč? Dospělí i děti: Dospělí: Počet vstupenek … Cena za vstupenky … Děti: Počet vstupenek … Cena za vstupenky … Zkouška: 180 . 50 + 270 . 30 = = 9 000 + 8 100 = = 17 100 Kč x 450 – x 50 . x 30 . (450 – x) 450 vstupenek … 17 100 Kč 50 . x + 30 . (450 – x) = 17 100 50 . x + 13 500 – 30 . x = 17 100 50 . x – 30 . x = 17 100 – 13 500 20 . x = 3 600 450 – 180 = 270 x = 3 600 : 20 x = 180 Představení navštívilo 180 dospělých a 270 dětí.

Příklad: 630 litrů postřiku bylo slito do 22 konví Příklad: 630 litrů postřiku bylo slito do 22 konví. Některé byly po 25 litrech, jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo kterých konví?

Příklad: 630 litrů postřiku bylo slito do 22 konví Příklad: 630 litrů postřiku bylo slito do 22 konví. Některé byly po 25 litrech, jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo kterých konví? Všechny konve: Menší konve: Počet konví … Množství litrů v konvích … Větší konve: Počet konví … Množství litrů v konvích … x 22 – x Zkouška: 14 . 25 + 8 . 35 = = 350 + 280= = 630 l 25 . x 35 . (22 – x) 22 konví … 630 l 25 . x + 35 . (22 – x) = 630 25 . x + 770 – 35 . x = 630 −10 . x = 630 – 770 −10 . x = −140 x = −140 : (−10) 22 – 14 = 8 x = 14 Menších konví bylo 14 a větších 8.

Příklad: Ze dvou druhů kávy v cenách 240 Kč a 320 Kč za kilogram se má připravit 100 kg směsi v ceně 300 Kč za kilogram. Kolik kilogramů každého druhu kávy bude třeba smíchat?

Příklad: Ze dvou druhů kávy v cenách 240 Kč a 320 Kč za kilogram se má připravit 100 kg směsi v ceně 300 Kč za kilogram. Kolik kilogramů každého druhu kávy bude třeba smíchat? Směs: 1. druh kávy: Počet kilogramů … Cena kávy … 2. druh kávy: Počet kilogramů … Cena kávy … Zkouška: 240 . 25 + 320 . 75 = = 6 000 + 24 000 = = 30 000 Kč 30 000 : 100 = = 300 Kč x 100 – x 240 . x 320 . (100 – x) 100 kg … 100 . 300 = 30 000 Kč 240 . x + 320 . (100 – x) = 30 000 240 . x + 32 000 – 320 . x = 30 000 −80 . x = 30 000 – 32 000 −80 . x = −2 000 100 – 25 = 75 kg x = −2 000 : (−80) x = 25 kg Bude třeba smíchat 25 kg levnější a 75 kg dražší kávy.

Použité obrázky: cit. 2010–13–07]. Dostupné pod licencí Creative Commons na WWW: < http://www.clker.com/clipart-blackboard.html> <http://www.clker.com/clipart-notepad-1.html> <http://www.clker.com/clipart-25039.html> <http://www.clker.com/clipart-12499.html>