ALGEBRAICKÉ STRUKTURY 1.úvod
Matematika: jazyk přírodních věd nauka o číslech → abstrakce → věda o strukturách algebra – vznikla z nauky o řešení rovnic
Základní pojmy: množina, kartézský součin, relace, vlastnosti relací, ekvivalence zobrazení, funkce
Základní pojmy: binární operace na množině asociativita, komutativita, uzavřenost množiny vzhledem k binární operaci důkazy, postupy
Motivační příklad: symetrie čtverce
Základní pojmy: grupoid pologrupa monoid grupa Abelova grupa
Vznik teorie grup: geometrie poč. 19.stol. teorie čísel konec 18. stol. teorie algebraických rovnic, studium permutací, konec 18.st.
Příklady: číselné obory matice vektorové prostory
Příklady: direktní součin dvou grup
Vlastnosti: neutrální prvek určen jednoznačně pro každý prvek inverzní prvek určen jednoznačně (a-1)-1 = a (a ○ b)-1 = b-1 ○ a-1 zobecněný asociativní zákon pro n prvků
Věta: Zákon krácení, řešitelnost rovnic Nechť (G, ▪) je grupa, a,b prvky grupy. 1. Potom platí: a) Jestliže a ▪ b1 = a ▪ b2, potom b1 = b2; b) Jestliže b1 ▪ a = b2 ▪ a, potom b1 = b2. 2. Potom rovnice a ▪ x = b, y ▪ a = b mají jednoznačně určené řešení x, y v grupě G.
Nechť (G, ▪) je grupoid. Definujme pravý neutrální prvek ep tak, že a ▪ ep = a; levý neutrální prvek el tak, že el ▪ a = a; pravý inverzní prvek ap-1 k prvku a tak, že a ▪ ap-1= ep; levý inverzní prvek al-1 k prvku a tak, že al-1 ▪ a = el. Věta: Jestliže v pologrupě G existuje pravý neutrální prvek a ke každému prvku pologrupy existuje pravý inverzní prvek, potom G je grupou. Důsledek: Nechť (G, ▪) je pologrupa, a,b prvky pologrupy. Mají-li rovnice a ▪ x = b, x ▪ a = b jednoznačné řešení v G, potom G je grupa. Poznámka: značení
řád grupy (G, ▪) nazveme mohutnost množiny G, značíme #G řád prvku a v grupě (G, ▪) značíme |a|=n, tak že n je nejmenší s vlastností an=a Věta: Pologrupa konečného řádu s krácením je grupou.