Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace 20.1 Nepřímá úměrnost Zdroj: http://rvp.cz/ Odvárko, Kadleček: MATEMATIKA 2 PRO 7. ROČNÍK ZŠ, Prometheus, 2003 Trejbal a kol.: SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO 7. ROČNÍK ZŠ, Prometheus, 1995 F. Běloun a kol.: SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO ZŠ, SPN 1993 Molnar a kol.: MATEMATIKA 7 – PRACOVNÍ SEŠIT, Prodos, 1999 Šarounová a kol.: MATEMATIKA 7 II. díl, Prometheus, 1998 Jak ji poznat? O co jde? Jde o závislost jedné proměnné na druhé proměnné. Úloha: K snídani mi vystačí 450 g müsli na 9 dní. Když přijdou moji dva kamarádi a budou snídat stejně jako já, vystačí stejné balení jen na 3 dny. Proč? Postup řešení: 1. Zpracování pomocí tabulky 2. Najít rovnici závislosti 3. Sestrojit příslušný graf Autor: Mgr. Hana Jirkovská

Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace 20.2 Co už umíme a) Vztah mezi činiteli a součinem při násobení b) Pravoúhlá soustava souřadnic x a y v rovině 1 . 12 = 12 2 . 6 = 12 3 . 4 = 12 4 . 3 = 12 6 . 2 = 12 12 . 1 = 12 Stejný výsledek Roste Klesá c) Převrácený poměr d) Jednoduché výpočty a : b b : a a . b = c c : a = b

Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace 20.3 Nové pojmy Rovnice nepřímé úměrnosti s koeficientem k Jedna veličina je nepřímo úměrná druhé Graf nepřímé úměrnosti Nepřímá úměrnost Úloha: Tři švadleny přišijí 30 knoflíků za 20 minut. Za jak dlouho je přišije 6 švadlen při stejném výkonu? x … počet švadlen: 1 2 3 4 5 6 y … doba přišití všech knoflíků v minutách 60 30 20 15 12 10 Vysvětlení: Rovnice nepřímé úměrnosti Každá ze tří švadlen přišije za 20 minut (30 : 3) 10 knoflíků. 1 . 60 = 60 2 . 30 = 60 3 . 20 = 60 4 . 15 = 60 5 . 12 = 60 6 . 10 = 60 x . y = 60 k = 60 x . y = k y = k : x y = 60 : x Přišití jednoho knoflíku jí trvá (20 : 10) 2 minuty. Při šesti švadlenách (2krát více) na každou připadne 5 knoflíků (2krát méně). Každá bude šít (5 . 2) 10 minut. Čas na přišití všech knoflíků je 2krát menší. Závěr: Kolikrát více (méně) je švadlen, tolikrát méně (více) času je třeba na splnění úkolu. Doba šití je nepřímo úměrná počtu švadlen. 3

Elektronická učebnice - II Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace 20.4 Výklad nového učiva - Nepřímá úměrnost je taková závislost proměnné y na proměnné x, že pro ni platí: a) Kolikrát se zvětší hodnota x, tolikrát se zmenší hodnota y. b) Kolikrát se zmenší hodnota x, tolikrát se zvětší hodnota y. - Říkáme, že hodnota y je nepřímo úměrná hodnotě x. - Příklady nepřímé úměrnosti: - Příklady, kdy se nejedná o nepřímou úměrnost: a) Doba letu a rychlost letadla při stálé vzdálenosti a) Stáří člověka a jeho hmotnost b) Délka a šířka obdélníku při jeho stálém obsahu b) Doba, kterou rybář prosedí u řeky, a počet chycených ryb c) Počet odměněných a částka korun na jednotlivé odměny při stálé celkové odměně c) Délka hrany krychle a její povrch - Úloha: Sestav tabulku pro šířku a délku obdélníku při stálém obsahu 100 cm2, platí-li pro obsah obdélníku vzorec S = a . b. - Řešení: a = x b = y y = S : x y = 100 : x y = k : x k = 100 Šířka obdélníku a 1 2 4 5 8 10 20 25 50 100 Délka obdélníku b 12,5 Nepřímá úměrnost je vyjádřena rovnicí ve tvaru y = k : x, kde k je libovolné reálné číslo různé od nuly, říkáme mu koeficient nepřímé úměrnosti (x také nesmí být nula). Tabulku lze přenést do grafu v pravoúhlé soustavě souřadnic. Spojíme-li jednotlivé body grafu, leží na křivce, která se jmenuje hyperbola. 4

Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace 20.5 Procvičení a příklady 1. Která z následujících rovnic není rovnicí nepřímé úměrnosti? Odpověď: a) b) c) d) e) f) b), c), e) 2. Je tato tabulka tabulkou nepřímé úměrnosti? a) b) x 1 2 3 y 6 x 1 2 3 y 6 Odpověď: Tabulka a) představuje nepřímou úměrnost, protože pro každé x a každé y platí x . y = 6. Koeficient nepřímé úměrnosti je 6 a rovnice y = 6 : x. Tabulka b) není tabulkou nepřímé úměrnosti. 3. Sestroj graf nepřímé úměrnosti y = 1 : x Řešení: Sestavíme tabulku pro větší počet bodů. x -4 -3 -2 -1 -0,5 0,5 1 2 3 4 y -0,25 -0,33 0,33 0,25 Hyperbola má dvě větve, které neprochází ani osou x ani osou y, pouze se k nim blíží. Na grafu může být zobrazena pouze jedna větev. 5

Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace 20.6 Něco navíc pro šikovné 1. Který z uvedených grafů je grafem nepřímé úměrnosti s rovnicí y = k : x? a) b) c) Odpověď: Je to graf b), protože se jedná o hyperbolu. 2. Urči rovnici nepřímé úměrnosti, jejíž graf prochází bodem o souřadnicích [-1,3]. 3. Náleží body A [6,2], B [3,1], C [0,6] a D [-1,-3] grafu nepřímé úměrnosti o rovnici y = 3 : x? Rozhodněte bez rýsování. Řešení: Řešení: y = k : x k = x . y do rovnice dosadíme souřadnice bodu Do rovnice y = 3 : x postupně dosadíme souřadnice bodů A, B, C a D. k = (-1) . 3 k = -3 A: 2 = 3 : 6 Rovnice neplatí B: 1 = 3 : 3 Rovnice platí Odpověď: Rovnice této nepřímé úměrnosti je y = -3 : x C: 6 = 3 : 0 Rovnice neplatí, nulou dělit nelze! D: -3 = 3 : (-1) Rovnice platí Odpověď: Nepřímé úměrnosti y = 3 : x náleží body B a D. 6

20.7 CLIL – inverse proportionality Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace 20.7 CLIL – inverse proportionality Vocabulary Nepřímá úměrnost – Inverse proportionality Nepřímo úměrné – Inversely proportional Osa – Axis Vzdálenost – Distance Koeficient – Coefficient Průměrná rychlost – Average speed Přímka – Straight line Hyperbola – Hyperbola Exercise The distance from Prague to Brno is 202 km. First car has an average speed 40 km/h. The second one has an average speed 50 km/h. How many minutes longer does it take to the slower car? Solution Distance = speed . time Distance….202 km Time = distance : speed 5,05 hours - 4,04 hours = 1,01 hours 1,01 hours = 1 hour and 0,6 minute Coefficient k y = k : x y = 202 : 40 y = 202 : 50 y = 5,05 y = 4,04 Answer The slower car moved about 1 hour and 1 minute longer. 7

Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace 20.8 Test 1. Najdi chybné y v tabulce nepřímé úměrnosti y = 8 : x. x -8 -5 -4 -2 -1 1 2 4 5 8 y -3 1,6 a) -4 b) -3 c) 2 d)1 2. Turista prošel trať průměrnou rychlostí 3,5 km/h za 6 hodin. Za kolik hodin by ji prošel při průměrné rychlosti 3 km/h? a) 6 hodin b) 6,5 hodiny c) 7 hodin d) 7,5 hodiny 3. Které nepřímé úměrnosti patří bod X [-2,2]? a) y = -4 : x b) y = 4 : x c) y = -2 : x d) y = 2 : x 4. Který bod patří nepřímé úměrnosti o rovnici y = 2 : x? a) A [4,5] b) B [0,5;-4] c) C [1,1] d) D [0,5;4] Řešení: 1. b), 2. c), 3. a), 4. d) 8

20.9 Anotace Autor Mgr. Hana Jirkovská Období 07 – 12/2011 Ročník Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 20.9 Anotace Autor Mgr. Hana Jirkovská Období 07 – 12/2011 Ročník 7. ročník Klíčová slova Nepřímá úměrnost, graf, koeficient Anotace Prezentace popisující pojem nepřímá úměrnost jako závislost jedné veličiny na druhé, sestavení grafu a rovnice nepřímé úměrnosti a využití při řešení úloh