TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR PRAVDĚPODOBNOST Mgr. Martina Fainová

Náhodné pokusy Pokusy ve fyzice, chemii Pokusy v praxi , výzkumu, vědě při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek Př. Změna skupenství vody při 100C a tlaku 100 kPa Pokusy v praxi , výzkumu, vědě při dodržení stejných pravidel různé výsledky, tj. výsledek závisí na náhodě Př. Hod kostkou, Ruleta, Sportka, Karty  náhodné pokusy NÁHODA = soubor drobných, ne zcela zjistitelných vlivů, které způsobují změnu výsledku

Náhodný jev = jakékoliv tvrzení o výsledku náhod. pokusu, o kterém lze rozhodnout, zda je pravdivé Př. Náhodný pokus - hod kostkou Náhodný jev - padnutí stěny s číslem tři, padnutí sudého čísla Padnutí sudého čísla = padnutí čísla 2, 4, 6 Jev, který už nejde rozložit = ELEMENTÁRNÍ jev padnutí stěny s číslem 4 Množina  elementárních neslučitelných výsledků jevu - zn. Q

Náhodný jev Jev, který nikdy nenastane = NEMOŽNÝ jev Př. Padnutí stěny s číslem 7 Jev, který vždy nastane = JISTÝ jev Př. Padnutí sudého nebo lichého čísla značení jevu: velké písmeno A - jev A, A´ - jev OPAČNÝ, doplňkový - nastane  nenastává jev A Př. A: Na kostce padne číslo 5. A´: Na kostce padne cokoliv kromě čísla 5

Vztahy mezi jevy A  B Jev A je podjevem jevu B; jev A je částí jevu B Př. A: Hod čísla pět. B: Hod lichého čísla. A  B Průnik jevů A, B - nastane  nastanou jevy A, B současně Př. A: Padne číslo dělitelné 3. B: Padne liché číslo. A  B: Padne číslo 3. ?? u hodu kostkou A  B = 0  jevy se vylučují - neslučitelné jevy A  B Sjednocení jevů A, B - nastane  nastane alespoň jeden z jevů A, B Př. A  B: Padne právě jedno z čísel 1; 3; 5; 6.

Pravděpodobnost náhod. jevu Často si před náhod. pokusem klademe otázku, jaká je naděje (pravděpodobnost), že daný jev nastane. Př. Hod čísla 3, vylosování 1. ceny, bude pršet PRAVDĚPODOBNOST zkoumá matematické zákonitosti projevující se v náhod. pokusech. Pravděpodobnost = míra očekávání, že daný náh. jev nastane. ?? Hrací kostka - pravidelná a 6 stejně možných čísel Pravděpodobnost, že padne číslo 1?

Pravděpodobnost náhod. jevu některé pokusy mají n stejně možných výsledků - Př. Padnutí čísla na kostce, vylosování něj. čísla  každý výsledek má pravděpodobnost některé pokusy nemají všechny výsledky stej. možné - Př. Narození chlapce, výroba kvalitního výrobku  po provedení velkého počtu pokusů lze zjistit, v kolika případech jev nastal a provést odhad pravděpodobnosti

Klasická pravděpodobnost Má-li pokus n stejně možných elementárních výsledků, které se navzájem vylučují, je prav-děpodobnost číslo m - počet „příznivých“ výsledků (nastane jev A) n - počet všech možných výsledků

Příklady: 1) Jaká je při hodu hrací kostkou pravděpodobnost, že padne stěna se sudým počtem bodů? Řešení: 2) V loterii je 5000 losů, z nichž 100 vyhrává. Jaká je pravděpodobnost, že váš zakoupený los vyhraje? Řešení:

Příklady: 3) Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajete ve sportce první cenu, vyplníte-li jednu sázenku? Uvažujeme pouze 6 tažených čísel z osudí 49 čísel. Řešení: Počet všech možných výsledků: = 13 983 816 1. cena  uhodneme všech 6 tažených čísel Pravděpodobnost výhry: 0,000 000 072

4) Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu třemi kostkami bude součet bodů 12? Příklady: Řešení: Počet všech možných výsledků: 6  6  6 = 216 Některé součty mají různé výsledky, např. 6,5,1; 6,1,5; 5,1,6; 5,6,1; 1,6,5; 1,5,6. 12: 6;5;1 6;4;2 5;4;3 6;3;3 5;5;2 4;4;4 = 0,116

Statistická pravděpodobnost Nelze-li použít klasickou def. pravděpodobnosti, vycházíme z výsledků již provedených pokusů. - založena na relativní četnosti jevů při dostatečně velkém počtu na sobě nezávislých pokusů n(A) - počet pokusů, ve kterých jev A nastal n - celkový počet pokusů

Při 4 040 hodech mincí padl rub 2 048×, při 12 000 hodech 6 019×, při 24 000 hodech 12 012×. Proveďte odhad pravděpodobnosti padnutí rubu mince. Příklad: Řešení: n = 4 040: n = 12 000: n = 24 000: S rostoucím n se P přibližuje 0,5 

Věty o pravděpodobnosti V1: Každému náhodnému jevu A je přiřazena pravděpodobnost P(A); 0 ≤ P(A) ≤ 1. V2: Pravděpodobnost jistého jevu je 1. ?? Pravděpodobnost nemožného jevu? P(A) = 0 V3: Pravděpodobnost sjednocení neslučitelných jevů je součet pravděpodobností těchto jevů. ?? Vztah mezi P(A) a P(A)? P(A) = 1 - P(A)

Jaká je pravděpodobnost, že při tahu sportky bude taženo alespoň jedno jednociferné číslo? Příklad: Řešení: Alespoň 1 jednociferné  1, 2, 3, 4, 5, 6 jednociferných Opačný jev: všechna čísla jsou dvojciferná 0,274

Cvičení: Příklad 1: Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu dvěma kostkami bude součet 6? Je tato pravdě- podobnost větší než u součtu 7? Příklad 2: Ve třídě je 40 žáků, z toho 25 dívek a 15 chlapců. Náhodně vylosujeme 2 žáky. Jaká je prav- děpodobnost, že to bude 1 chlapec a 1 dívka? Příklad 3: Jaká je pravděpodobnost výhry páté ceny ve sportce (3 čísla ze 6 tažených), je-li 13 983 816 možných výsledků losování?

Cvičení: Příklad 4: V bedně je 30 výrobků, z nichž 3 jsou vadné. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 5 náhodně vybranými výrobky bude nejvýš 1 vadný. Příklad 5: 40 studentů má být náhodně rozděleno na 4 stejně početné skupiny. Mezi studenty jsou i Adam a Eva. Jaká je pravděpodobnost, že budou oba zařazení do téže skupiny?

Pravděpodobnost sjednocení Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem nesluči-telných jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností Pozn.: Dva jevy jsou neslučitelné  AB=0 Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem slučitelných jevů je rovna:

Příklad: Řešení: Počet všech možných výsledků: 6  6 = 36 Hodíme dvěma kostkami – bílou a modrou. Jev A – na bílé padne číslo  3, jev B – na modré padne číslo  3. S jakou pravděpodobností nastává jev A; jev B; jev A i B současně; jev A nebo jev B? Příklad: Řešení: Počet všech možných výsledků: 6  6 = 36 a) nastává jev A  na bílé padne číslo  3 Počet příznivých výsledků: 4  6 = 24 b) nastává jev B  na modré padne číslo  3 Počet příznivých výsledků: 3  6 = 18

Příklad: Řešení: Počet všech možných výsledků: 36 Hodíme dvěma kostkami – bílou a modrou. Jev A – na bílé padne číslo  3, jev B – na modré padne číslo  3. S jsou pravděpodobností nastává jev A; jev B; jev A i B současně; jev A nebo jev B? Příklad: Řešení: Počet všech možných výsledků: 36 c) na bílé padne číslo  3 a na modré číslo  3 Počet příznivých výsledků: 4  3 = 12 d) na bílé padne číslo  3 nebo na modré číslo  3 - jevy nejsou nezávislé

Cvičení: Příklad 1: V tombole se prodalo 500 slosovatelných lístků, ze kterých pět vyhrává 1. cenu, deset 2. cenu a čtyřicet 3. cenu. Jaká je pravděpodobnost výhry na právě jeden zakoupený lístek? Příklad 2: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne alespoň na jedné kostce šestka? Příklad 3: Ve třídě je 70 % chlapců a 30 % dívek. S vyznamenáním studuje 20 % chlapců a 10 % dívek. Jaká je pravd., že náhodně vybraný žák studuje s vyzn.?