VARIACE S OPAKOVÁNÍM Rozbor úlohyŘešení úlohy Zdroj obrázků : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: levý obrázek: pravý obrázek: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Zdroj obrázků : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: levý obrázek: pravý obrázek: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Z kolika prvků je možno utvořit právě variací s opakováním druhé třídy? Děti ve školce slepují papírové řetězy z deseti pruhů, které si nastříhaly z barevných papírů (modrý, červený, zelený, žlutý, oranžový). Kolik různých řetězů mohou děti vytvořit? Kolik znaků, skládajících se z jednoho až čtyř signálů, obsahuje Morseova abeceda? Bezpečnostní přihlašovací heslo je tvořeno uspořádanou sedmicí, jejíž první tři členy jsou písmena a další čtyři číslice. Kolik bezpečnostních hesel můžeme vytvořit? PIN platební karty je tvořen jedinou uspořádanou čtveřicí. Jaký nejvyšší počet pokusů zadání PIN máme, zapomeneme-li PIN? S určitostí pouze víme, že PIN nezačíná 0. Kolik je k-ciferných čísel, která neobsahují cifry 5, 6, 7, 8, 9? Kolik různých hodnot může mít jeden Byte skládající se z osmi bitů? Vypište všechny možné průběhy zápasů, ve kterých padlo právě pět gólů. Průběhem zápasů se rozumí sled, ve kterém padaly góly.

Vysvětlení průběhu zápasu. Gól, který dali domácí, označíme D. Gól, který dali hosté, označíme H. Například průběh zápasu DDHHD znamená, že družstva dala góly během zápasu v následujícím pořadí: 1. 1.gól – Domácí 2. 2.gól – Domácí 3. 3.gól – Hosté 4. 4.gól – Hosté 5. 5.gól – Domácí  1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Vypište všechny možné průběhy zápasů, ve kterých padlo právě pět gólů. Průběhem zápasů se rozumí sled, ve kterém padaly góly.

Jelikož záleží na pořadí nastřílených gólu, bude každý průběh zápasu představovat uspořádanou pětici, ve které se prvky (góly družstev) mohou opakovat. Řešením úlohy budou tedy všechny možné uspořádané pětice ze dvou prvků neboli variace s opakováním páté třídy ze dvou prvků. 1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Vypište všechny možné průběhy zápasů, ve kterých padlo právě pět gólů. Průběhem zápasů se rozumí sled, ve kterém padaly góly.  Z

Všechny možné průběhy, kdy první gól dali hosté.Všechny možné průběhy, kdy první gól dali domácí. [H, H, H, H, H] [H, H, H, H, D] [H, H, H, D, H] [H, H, H, D, D] [H, H, D, H, H] [H, H, D, H, D] [H, H, D, D, H] [H, H, D, D, D] [H, D, H, H, H] [H, D, H, H, D] [H, D, H, D, H] [H, D, H, D, D] [H, D, D, H, H] [H, D, D, H, D] [H, D, D, D, H] [H, D, D, D, D] [D, D, D, D, D] [D, D, D, D, H] [D, D, D, H, D] [D, D, D, H, H] [D, D, H, D, D] [D, D, H, D, H] [D, D, H, H, D] [D, D, H, H, H] [D, H, D, D, D] [D, H, D, D, H] [D, H, D, H, D] [D, H, D, H, H] [D, H, H, D, D] [D, H, H, D, H] [D, H, H, H, D] [D, H, H, H, H] 1 D … gól, který dali domácí H … gól, který dali hosté Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Z Vypište všechny možné průběhy zápasů, ve kterých padlo právě pět gólů. Průběhem zápasů se rozumí sled, ve kterém padaly góly.

Každý papírový řetěz představuje uspořádanou desetici, jelikož záleží na pořadí slepování barevných pruhů. Protože je počet barevných papírů (5) menší než požadovaný počet slepovaných pruhů v řetězu (10), musí se v uspořádané desetici barevné pruhy opakovat. Tyto uspořádané desetice jsou tedy variace s opakováním desáté třídy z pěti prvků. Počet všech řetězů, které děti mohou slepit, je roven počtu V´ 10 (5) všech variací s opakováním desáté třídy z pěti prvků. 2 Děti ve školce slepují papírové řetězy z deseti pruhů, které si nastříhaly z barevných papírů (modrý, červený, zelený, žlutý, oranžový). Kolik různých řetězů mohou děti vytvořit? Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Z

Dosadíme do vzorce.Vypočteme. k = 10 n = 5 Z pruhů pěti barev mohou děti ve školce vytvořit celkem různých papírových řetězů. 2 Děti ve školce slepují papírové řetězy z deseti pruhů, které si nastříhaly z barevných papírů (modrý, červený, zelený, žlutý, oranžový). Kolik různých řetězů mohou děti vytvořit? Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Z

Co je Morseova abeceda? Kolik znaků, skládajících se z jednoho až čtyř signálů, obsahuje Morseova abeceda? Například SOS je nejznámějším mezinárodním tísňovým signálem:...  — — — ... Morseova abeceda je skupina symbolů, která je používána v telegrafii. Kóduje znaky latinské abecedy, číslice a speciální znaky do kombinací krátkých (tečka) a dlouhých (čárka) signálů. 3  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Existují pouze 2 jednosignálové znaky (tečka nebo čárka). Každý z dalších znaků představuje uspořádanou k-tici, kde k = 2, 3, 4, ve které záleží na pořadí signálů a ve které se mohou signály opakovat. Tyto uspořádané k-tice jsou variace s opakováním k-té třídy ze dvou prvků. Počet všech možných znaků je tedy roven součtu počtů V´ k (2) všech variací s opakováním k-té třídy ze dvou prvků, ke kterému připočteme 2 jednosignálové znaky: 2 + V´ 2 (2) + V´ 3 (2) + V´ 4 (2) 3 Kolik znaků, skládajících se z jednoho až čtyř signálů, obsahuje Morseova abeceda? Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW:  Z

V´ 2 (2), V´ 3 (2) a V´ 4 (2) upravíme podle vzorce.Vypočteme. Vytvoříme celkem 30 různých znaků Morseovy abecedy. 3 Kolik znaků, skládajících se z jednoho až čtyř signálů, obsahuje Morseova abeceda? Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Z

Písmena v bezpečnostním hesle tvoří uspořádanou trojici, ve které záleží na pořadí písmen. Z praxe víme, že heslo může obsahovat velká i malá písmena bez diakritiky, která se mohou opakovat. (pozn.: písmeno CH se skládá ze dvou znaků, a proto jej v tomto případě za písmeno nepovažujeme) To znamená, že tyto uspořádané trojice představují variace s opakováním třetí třídy z 52 prvků a jejich počet je tedy roven počtu V´ 3 (52) všech variací s opakováním třetí třídy z 52 prvků. Číslice vytvoří uspořádanou čtveřici sestavenou z 10 cifer, které se mohou opakovat, a jejich počet je roven počtu V´ 4 (10) všech variací s opakováním čtvrté třídy z 10 prvků. 4 Bezpečnostní přihlašovací heslo je tvořeno uspořádanou sedmicí, jejíž první tři členy jsou písmena a další čtyři číslice. Kolik bezpečnostních hesel můžeme vytvořit?  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Pro výběr prvních tři míst bezpečnostního hesla máme V´ 3 (52) možností a pro výběr následujících čtyř míst máme (nezávisle na výběru předcházející trojice) V´ 4 (10) možností. Počet všech bezpečnostních hesel požadované vlastnosti je roven V´ 3 (52). V´ 4 (10). 4 Bezpečnostní přihlašovací heslo je tvořeno uspořádanou sedmicí, jejíž první tři členy jsou písmena a další čtyři číslice. Kolik bezpečnostních hesel můžeme vytvořit? Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW:  Z

Vypočteme.V´ 3 (52) a V´ 4 (10) upravíme podle vzorce. Celkem můžeme vytvořit bezpečnostních hesel. 4 Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Z Bezpečnostní přihlašovací heslo je tvořeno uspořádanou sedmicí, jejíž první tři členy jsou písmena a další čtyři číslice. Kolik bezpečnostních hesel můžeme vytvořit?

V běžném životě nemůže tato situace vůbec nastat, jelikož PIN můžeme zadat pouze třikrát. Po třetím chybném zadání PIN vám bankomat platební kartu nevrátí. Uspořádané čtveřice jsou tvořeny z 10 cifer, které se mohou opakovat. Počet všech možných PIN je roven počtu V´ 4 (10) všech variací s opakováním čtvrté třídy z deseti prvků. Z tohoto počtu vyloučíme ty PIN, které by začínaly nulou, neboli počet V´ 3 (10) všech variací s opakováním třetí třídy z 10 prvků (na druhé, třetí i čtvrté pozici již může být nula). Celkový počet možných pokusů: V´ 4 (10) – V´ 3 (10) 5 PIN platební karty je tvořen jedinou uspořádanou čtveřicí. Jaký nejvyšší počet pokusů zadání PIN máme, zapomeneme-li PIN? S určitostí pouze víme, že PIN nezačíná 0. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Z

V´ 4 (10) a V´ 3 (10) upravíme podle vzorce.Vypočteme. Zapomeneme-li PIN, máme nejvýše pokusů zadání PIN. 5 Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. PIN platební karty je tvořen jedinou uspořádanou čtveřicí. Jaký nejvyšší počet pokusů zadání PIN máme, zapomeneme-li PIN? S určitostí pouze víme, že PIN nezačíná 0. Z

Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: V úvahu přicházejí pouze cifry 0, 1, 2, 3, 4. Každé k-ciferné číslo lze považovat za uspořádanou k-tici sestavenou ze zadaných cifer tak, že se v ní cifry mohou opakovat a jejímž prvním členem není cifra 0. Počet všech k-ciferných čísel je roven počtu V´ k (5) všech variací s opakováním k-té třídy z pěti prvků. Z tohoto počtu vyloučíme k-ciferná čísla začínající nulou: v těchto uspořádaných k-ticích je již první člen obsazen nulou, zbývající členy tvoříme zase z cifer 0, 1, 2, 3, 4. To znamená, že odečítáme počet V´ k-1 (5) všech variací s opakováním (k – 1 ) třídy z pěti prvků. Celkový počet hledaných přirozených čísel: V´ k (5) – V´ k-1 (5) 6 Kolik je k-ciferných čísel, která neobsahují cifry 5, 6, 7, 8, 9? Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Z

Upravíme výraz.V k (5) a V k-1 (5) upravíme podle vzorce. Celkový počet hledaných k-ciferných čísel je 4. 5 k-1. 6 Kolik je k-ciferných čísel, která neobsahují cifry 5, 6, 7, 8, 9? Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Z

7 Kolik různých hodnot může mít jeden Byte skládající se z osmi bitů? Jeden bite může nabývat dvou hodnot: 0 nebo 1. Jeden Byte se skládá z osmi bitů, proto se na něj můžeme dívat jako na uspořádanou osmici, ve které se prvky mohou opakovat. Tyto uspořádané osmice tedy představují variace s opakováním osmé třídy ze dvou prvků. Počet všech možných hodnot Bytu je roven počtu V´ 8 (2) všech variací s opakováním osmé třídy ze dvou prvků. Z Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW:

7 Dosadíme do vzorce.Vypočteme. k = 8 n = 2 Jeden Byte může nabývat celkem 256 různých hodnot. Připomeňme si, že to mohou být hodnoty Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Kolik různých hodnot může mít jeden Byte skládající se z osmi bitů? Z

Počet V´ 2 (n) všech variací s opakováním druhé třídy z n prvků má být roven Řešením rovnice V´ 2 (n) = určíme hledaný počet prvků. 8 Z kolika prvků je možno utvořit právě variací s opakováním druhé třídy? Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Z

V´ 2 (n) upravíme pomoci vzorce.Odmocníme. Rozhodneme, zda oba výsledky vyhovují zadání úlohy. 8 Variace s opakováním druhé třídy tvoříme z 49 prvků. Zdroj pravého obrázku : Všechny uveřejněné odkazy [ ] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Z kolika prvků je možno utvořit právě variací s opakováním druhé třídy? Vzhledem k tomu, že počet prvků množiny M je přirozené číslo (n  N), výsledek – 49 nevyhovuje zadání úlohy. Z