Kinematická metoda výpočtu reakcí staticky určitých soustav Uvolnění jednoho stupně volnosti odpovídající reakci, kterou chceme určit (vytvoření kinematického mechanismu o jednom stupni volnosti). Zavedení neznámé reakce. Zavedeme virtuální přemístění v závislosti na jediném virtuálním parametru (posun, natočení). Přitom nesmíme porušit kinematické vazby. Vyjádříme virtuální práci sil a momentů, včetně neznámé reakce. Z podmínky nulové virtuální práce určíme neznámou velikost reakce. F x1 F L B dj dw2 dw1 dw1=x1dj dw2=Ldj δ𝑊=−𝐹δ w 1 +𝐁δ w 2 = −F x 1 δϕ+𝐁Lδϕ= −F x 1 +𝐁L δϕ=0 δ𝑊=0∀δϕ −F x 1 +𝐁L=0 𝐁=F x 1 L Copyright (c) 2007-2008 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/

Ad 1) Uvolnění vazeb a zavedení reakcí - Vnější vazby v rovině R Rx Rz Mr Rx Rz

Ad 1) Uvolnění vazeb a zavedení reakcí - Vnitřní vazby v rovině R Rz Rx Rx Rz Rx Mr Rx Rz Rz

Ad 2) Popis kinematicky přípustného virtuálního přemístění - Středy otáčení desek Pro dané virtuální přemístění závisí virtuální posuny dux,O, duz,O a natočení djO na volbě bodu O x dux,O O' duz,O O -djO z zk dux,k duz,k k' xk k Pro každou desku lze však nalézt absolutní střed otáčení desky Ok, pro který lze veškeré virtuální přemístění popsat pouze rotací dj okolo Ok -dj Zde je delta varphi jako zaporne (kladne proti smeru rucicek) Pro bod Ok Ok dux,k=duz,k=0 δ u x,k =δ u x,0 + z k δϕ=0 δ u z,k =δ u z,0 − x k δϕ=0 z Ok =− δ u x,0 δϕ x Ok = δ u z,0 δϕ

Poloha středu otáčení Ok závisí na vnitřních a vnějších vazbách desky dj dux dj Ok dux Vnitřní i vnější kloub Ok leží na průsečíku kolmic k vodícím přímkám vazeb Ok leží v nekonečnu

Vzájemný střed otáčení dvou desek bod, kolem kterého se desky vzájemně otáčejí O12 I II O12 I II První třípólová věta : Středy otáčení desky I (O1) a desky II (O2) leží na jedné přímce s vzájemným středem O12 r2 O2 δ u 12 =−δ ϕ 1 r 1 δ u 12 =δ ϕ 2 r 2 I O12 r1 δ ϕ 2 = − r 1 r 2 δ ϕ 1 dj2 II O1 -dj1 du12

Druhá třípólová věta : Tři vzájemné středy otáčení tří desek leží na jedné přímce I II O12 O1 O23 O3 III O13

Příklady možných poloh středů otáčení desek a) O12 leží mezi O1 a O2 r2 O2 δ u 12 =−δ ϕ 1 r 1 δ u 12 =δ ϕ 2 r 2 I O12 r1 δ ϕ 2 = − r 1 r 2 δ ϕ 1 dj2 II O1 -dj1 du12 δ u 12 =δ ϕ 1 r 1 δ u 12 =δ ϕ 2 r 2 b) O12 leží vně O1 a O2 δ ϕ 2 = r 1 r 2 δ ϕ 1 II I du12 O1 dj2 O12 dj1 O2 r2 r1

c) O12 leží v nevlastním bodě I II δ ϕ 2 =δ ϕ 1 dj1 dj2 O1 O2 d) O1 = O12, deska II je nepohyblivá, bod O2 lze volit libovolně na desce II O1=O12 dj2=0 dj1 O2 I II

e) další příklady složených soustav a středů otáčení II I II I O1 O1 s = 2x3o – 5o = +1o s = 2x3o – 5o = +1o

Ad 3) Výpočet virtuální práce x δ 𝑢 𝑖 = δ 𝑢 𝑖𝑥 ;δ 𝑢 𝑖𝑦 δ 𝑢 𝑖𝑥 = r 𝑘𝑖𝑧 δϕ δ 𝑢 𝑖𝑧 =− r 𝑘𝑖𝑥 δϕ Fi Fi z Ai dui Ai'' Virtuální práce δ𝑊= 𝐹 𝑖 δ 𝑢 𝑖 = 𝐹 𝑖𝑥 𝑟 𝑘𝑖𝑧 δϕ− 𝐹 𝑖𝑧 𝑟 𝑘𝑖𝑥 δϕ δ𝑊= 𝑀 𝑘𝑖 δϕ δ 𝑢 𝑧 =δ 𝑢 𝑥 =0 dj rkiz Mki Ok Síla Fi způsobuje moment Mki k bodu Ok rkix δ 𝑢 𝑥,𝑘 =δ 𝑢 𝑥,0 + 𝑧 𝑘 δϕ=0 δ 𝑢 𝑧,𝑘 =δ 𝑢 𝑧,0 − 𝑥 𝑘 δϕ=0

F2 F2 F1 Virtuální práci soustavy sil Fi lze vypočítat superpozicí jako virtuální práci momentů Mki od sil Fi ke středu otáčení desky Ok F1 A1 du1 A1'' δ𝑊= 𝑖 M 𝑘𝑖 δϕ=δϕ 𝑖 M 𝑘𝑖 dj Mki Ok δ 𝑢 𝑥,𝑘 =δ 𝑢 𝑥,0 + 𝑧 𝑘 δϕ=0 δ 𝑢 𝑧,𝑘 =δ 𝑢 𝑧,0 − 𝑥 𝑘 δϕ=0

Vyřešte reakce v kloubu a kinematickou metodou 5 kN 5 kN O12 10 kN 10 kN I II Uvolnění svislé vazby dj2 dj1=dj2 4 m O1=O2 a b 3 m 2 m 1 Az dj1 O1 Uvolnění vodorovné vazby δ𝑊= 6 A z −4⋅10 δ ϕ 1 +1⋅5δ ϕ 2 = 6 A z −4⋅10+1⋅5 δ ϕ 2 =0 A z =5.833kN dj1 r1=5 m 5 kN O12 4 m 10 kN du12 r2=5 m dj2 δ𝑊= −8 A x −4⋅10 δ ϕ 1 +1⋅5δ ϕ 2 = −8 A x −4⋅10+1⋅5 δ ϕ 2 =0 A x =−4.375kN dj1=dj2 O2 Ax

Určete velikosti reakcí Bx a Bz kinematickou metodou 10 kN 4 kN dux Bx x a dj 1 1 2 m 2 m Bz z Dvě nezávislá virtuální přemístěníδ u x aδϕ δ𝑊= 4+ 𝐁 𝐱 δ 𝑢 𝑥 + −1⋅4−2⋅10−4 𝐁 𝐳 δϕ=0 Podmínka nulové virtuální práce se rozpadne na dvě nezávislé rovnice 4+ 𝐁 𝐱 =0, B x =−4kN −1⋅4−2⋅10−4 𝐁 𝐳 =0, B z =−6kN a

Určete všechny reakce kinematickou metodou 10 kN O1 dj1 dj2 Výpočet reakce C δ𝑊= −3⋅10−2𝐂cos 45 o δ ϕ 1 =0 C=−21,213kN Výpočet reakce A δ𝑊= 2𝐀−3⋅10+2⋅5 δ ϕ 2 =0 A=10kN Výpočet reakce B δ𝑊= −2𝐁−1⋅10 δ ϕ 3 =0 B=−5kN A dj1 dj3 5 kN 2 duz dux B O2 dj2 3 m 45o 3 m 2 C dj3 Kontrola δ𝑊= A+5+Ccos 45 o δ u x =0,OK δ𝑊= −B+10+Csin 45 o δ u z =0,OK O3

Určete moment ve vetknutí Gerberova nosníku pomocí PVp 6 kN/m' 10 kN a b c 5 kN d e 8 kNm 4 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4 m 2 m O1 O12 O2 O23 O3 3δϕ Ma δϕ 12 kN 24 kN 2δϕ 3δϕ 3δϕ δϕ δ w 12 = 4δϕ 4δϕ δ w 23 = 12δϕ 12 kN 10δϕ 6δϕ 6δϕ Volba nezávislého natočení δ𝑊= 𝐌 𝐚 +4⋅10+10⋅12+6⋅24−3⋅12+3⋅8 δϕ=0, M 𝑎 =−292kNm Pozn. Virtuální práci od osamělých sil lze počítat buď jako součin síly a virtuálního posunu či jako součin momentu od síly a virtuálního natočení

Určete reakci v podpoře c pomocí PVp 6 kN/m' 10 kN a b c 5 kN d e 8 kNm 4 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4 m 2 m O2 O23 O3 2δϕ Rc 12 kN 24 kN δϕ 2δϕ 2δϕ 2δϕ δ w 23 = 8δϕ 4δϕ 12 kN 7δϕ Ukazat svislou reakci ve vetknuti 4δϕ Volba nezávislého natočení δ𝑊= −2 𝐑 𝐜 +4⋅10+7⋅12+4⋅24−2⋅12+2⋅8 δϕ=0, R c =106kN Pozn. Místo virtuálního natočení v kloubu b lze zvolit virtuální posun pod reakcí Rc. Konzola je nesoucí část, zatížení na konzole tedy nemá vliv na reakci Rc.

Určete svislé síly v kloubu b a moment nad podporou c pomocí PVp 6 kN/m' 10 kN a b c 5 kN d e 8 kNm 4 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4 m 2 m 10 kN 12 kN 24 kN 0,75δ𝑤 δ𝑤 O1 O12 O2 0,75δ𝑤 2,5δ𝑤 1,5δ𝑤 8 kNm Bz Bz δ𝑤 12 kN 3δ𝑤 δ𝑊= −1⋅ 𝐁 𝐳 +1⋅10+2,5⋅12+1,5⋅24−0,75⋅12+0,75⋅8 δ𝑤=0, B 𝑧 =73kN 12 kN 24 kN 10 kN 6δϕ Mb 12 kN O1 5δϕ a 3δϕ O2 2δϕ δϕ O12 1,5δϕ 1,5δϕ 8 kNm δ𝑊= 1⋅ 𝐌 𝐛 −2⋅10−5⋅12−3⋅24+1,5⋅12−1,5⋅8 δϕ=0, M 𝑏 =−146kN

Určete reakce Rax a Raz pomocí PVp dj r 1 =2 5 m 4 kNm O12 8 kN II. 2 m r 2 =2 5 m dj 2 5 δϕ I. O2 2 m Ra x Ra x 2 m 4 m 4 m δ𝑊= M O1 δϕ+ M O2 δϕ= 4−6 𝐑 𝐚𝐱 −2⋅8 δϕ=0 R ax =−2kN Ra z O12 4 5 δϕ r 2 =2 5 m Volba nezávislého natočení Odpovídá momentové podmínce k bodu O1 (sílu 8 kN lze přesunout na levou desku a z pravé desky je kyvný prut) 2dj Pozn. v klasickém výpočtu reakcí je nutné řešit soustavu dvou rovnic O2 dj r 1 =4 5 m O1 δ𝑊= M O1 δϕ+ M O2 2δϕ= 12 𝐑 𝐚𝐳 −4−2⋅2⋅8 δϕ=0 R az =3kN Ra z

Určete sílu v táhle pomocí PVp 10 kNm O2 ∞ I 8 kN Virtuální přemístění na desce II vyjádříme kvůli nevlastnímu absolutnímu středu otáčení O2 pomocí posunu du 2 m II O12 du táhlo S S 2 m dj Volba nezávislého natočení O1 2 m 4 m du=4dj δ𝑊= M O1 δϕ+ F x δu= 2𝐒+10 δϕ+ 8−𝐒 δu  4δϕ =0 δ𝑊= 2−4 𝐒+10+4⋅8 δϕ=0 −2𝐒+42=0,S=21kN

Otázky Lze na každé uvolněné tuhé desce vždy nalézt absolutní střed otáčení při libovolně zadaných virtuálních posunech a natočení ? Kde je vzájemný střed otáčení dvou desek ? Jak se pohlíží na kyvný prut, který spojuje dvě tuhé desky ? Kdy je vzájemný střed otáčení třech desek v nekonečnu ? Kolik vazeb můžeme nanejvýše uvolnit ve vetknutí prutu ? Lze poznat z kinematického mechanismu, které síly přispívají k určité reakci na Gerberově nosníku ? Kolik lineárně nezávislých podmínek z PVp lze sestavit na staticky určité soustavě tvořené ze třech tuhých desek ? Konají reakce ve vazbách virtuální práci ? Ano v kloubu, který je spojuje jako na tuhou desku či vnitřní vazbu pokud jsou spojnice podpor rovnoběžné s kyvným prutem (prostřední deskou) tři ano, viz příklad 3 x 3 = 9 ne, proto se nemusí počítat

Přednášky z předmětu SM1, Stavební fakulta ČVUT v Praze Autor Vít Šmilauer Náměty, připomínky, úpravy, vylepšení zasílejte prosím na vit.smilauer@fsv.cvut.cz Created 12/2007 in OpenOffice 2.3, ubuntu linux 6.06 Last update 4/28/2017