Paul Adrien Maurice Dirac 3. Impulsní charakteristika 1902-1984 3. Impulsní charakteristika Impulsní charakteristika systému graficky znázorňuje impulsní funkci g(t) , která je odezvou systému na Diracův impuls (t) při nulových počátečních podmínkách. Laplaceův obraz (t) :

PŘÍKLAD. Impulsní charakteristika systému 2. řádu s přenosem PŘÍKLAD Impulsní charakteristika systému 2. řádu s přenosem se 2 reálnými póly: „rychlý“ pól „pomalý“ pól >> num=[2 1]; >> den=[1 2 5]; >> sys=tf(num, den); >> t=0:0.1:6; >> y=impulse(sys,t); >> plot(t,y)

PŘÍKLAD. Impulsní charakteristika systému 2. řádu s přenosem s PŘÍKLAD Impulsní charakteristika systému 2. řádu s přenosem s párem komplexně sdružených pólů:

PŘÍKLAD. Impulsní charakteristika systému 2. řádu s přenosem s PŘÍKLAD Impulsní charakteristika systému 2. řádu s přenosem s párem komplexně sdružených pólů:

PŘÍKLAD. Přechodová charakteristika střídavého servomotoru PŘÍKLAD Přechodová charakteristika střídavého servomotoru vstupní veličina … napětí u(t) na řídicí fázi výstupní veličina … poloha (t) hřídele servomotoru přenos systému Kv … rychlostní konstanta T … časová konstanta přechodová charakteristika systém je astatický!

▪ PŘÍKLAD: Přechodová charakteristika pro dopředný pohyb automobilu u(t)=500N m=1000 kg b=50Ns/m u(t)=500N.1(t)

▪ PŘÍKLAD: Přechodová charakteristika pro dopředný pohyb automobilu u(t)=500N m=1000 kg b=50Ns/m u(t)=500N.1(t)

… ale pozor!! Nalezneme typ dynamického systému a jeho parametry, identický pouze z hlediska vnějšího chování nikoli z hlediska vnitřní struktury. Vnitřní strukturu nejsme schopni jednoznačně určit pouze na základě vnějšího chování.

5. Frekvenční přenos Frekvenční přenos G(j) je definován jako podíl Fourierova obrazu výstupní veličiny ku Fourierově obrazu vstupní veličiny systému za nulových počátečních podmínek. Formálně získáme frekvenční přenos G(j) prostou náhradou s= j v přenosu v Laplaceově transformaci Máme-li k dispozici impulsní funkci g(t) systému, můžeme frekvenční přenos G(j) systému získat Fourierovou transformací: … porovnejme s přenosem v Laplaceově transformaci

6. Frekvenční charakteristika Frekvenční charakteristika je graficky vyjádřená závislost frekvenčního přenosu, tedy amplitudy a fáze ustálené vynucené výstupní veličiny systému v závislosti na frekvenci harmonického vstupu. pro konkrétní frekvenci jeden konkrétní bod v komplexní rovině nebo konkrétní zesílení a konkrétní fáze po odeznění přechodového děje má výstupní signál fázový posun  vůči vstupnímu signálu po odeznění přechodového děje má výstupní signál zesílenou amplitudu G(j) - krát vůči amplitudě vstupního signálu po odeznění přechodového děje má výstupní signál stejnou frekvenci jako vstupní signál

Řekli jsme, že … Frekvenční charakteristika je graficky vyjádřená závislost frekvenčního přenosu, tedy amplitudy a fáze ustálené vynucené výstupní veličiny systému v závislosti na frekvenci harmonického vstupu. pro konkrétní frekvenci jeden konkrétní bod v komplexní rovině nebo konkrétní zesílení a konkrétní fáze frekvenční charakteristiku lze graficky vyjádřit: v  komplexní rovině (Nyquistova charakteristika) v logaritmických souřadnicích (Bodeho charakteristika)

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině Harry Nyquist 1889 - 1976 Nyquistova frekvenční charakteristika je grafickým zobrazením frekvenčního přenosu G(j) v komplexní rovině ▪ v komplexních souřadnicích ▪ v polárních souřadnicích amplituda (modul) fáze (argument)

… z frekvenčních charakteristik umíme zjistit typ dynamického členu systém 1.řádu systém 2.řádu astatický systém 1.řádu astatický systém 2.řádu

… z frekvenčních charakteristik umíme zjistit typ dynamického členu systém 2.řádu s astatismem 1. řádu systém 3.řádu s astatismem 2. řádu …a nejen typ dynamického členu, ale umíme identifikovat i parametry systému

Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích Hendrik Wade Bode 1905 - 1982 Bodeho frekvenční charakteristika je grafickým zobrazením frekvenčního přenosu G(j) v logaritmických souřadnicích. Vyjdeme frekvenčního přenosu na log. fáze (argument) amplituda (modul) v závislosti na log 

… a výhoda ?? zjednodušení výpočtů charakteristik složených systémů: maximální chyba aproximace

… pro výsledné frekvenční charakteristiky platí: ▪ PŘÍKLAD - - … pro výsledné frekvenční charakteristiky platí: amplitudová charakteristika fázová charakteristika

a) člen K0 b) člen (1+jT1) c) člen (1+jT2) d) člen (1+jT3)

… výsledná amplitudová a fázová charakteristika

… jak postupovat u čistě integračního členu? čistě integrační člen: amplitudová charakteristika určíme libovolné 2 body charakteristiky fázová charakteristika

(s+a)Y(s) = sY(s) + aY(s) Přidáme-li k systému s přenosem G(s) a výstupní odezvou Y(s) nulu v bodě a, změní se přenos systému na (s+a)G(s) a výstupní odezva na (s+a)Y(s): G(s) (s+a)G(s) Y(s) (s+a)Y(s) = sY(s) + aY(s) násobek původní odezvy derivace původní odezvy A) a velké kladné  nula je „hodně“ stabilní vliv členu sY(s) s derivací je zanedbatelný výstupní odezva bude a-násobkem původní odezvy Y´(s) = aY(s)

B) C) a malé kladné  nula je „málo“ stabilní vliv členu sY(s) s derivací je významný a nelze ho zanedbat protože přechodová charakteristika má typicky na svém počátku derivaci kladnou, člen sY(s) s derivací se přičte a způsobí větší první překývnutí C) a záporné  nula je nestabilní členy sY(s) a aY(s) mají obrácené znaménko  členy se odečítají

7. Póly a nuly systému nuly zesílení charakteristický polynom póly koeficienty charakteristického polynomu jsou reálné nulové póly obecné reálné póly komplexně sdružené póly integrační charakter přechodových dějů aperiodický charakter přechodových dějů kmitavý průběh přechodových dějů poloha pólů v komplexní rovině je určujícím faktorem stability systému

… příklady časového průběhu módů (impulsní charakteristiky) v závislosti na rozložení pólů

… příklady časového průběhu módů (impulsní charakteristiky) v závislosti na rozložení pólů

Multiple Input Multiple Output VNĚJŠÍ POPIS spojitých lineárních MIMO systémů neznáme vnitřní stavy systému Vnější popis spojitých lineárních dynamických MIMO systémů: Multiple Input Multiple Output nejčastěji: ▪ přenosová matice (v Lapl. transformaci) ▪ matice impulsních funkcí/charakteristik ▪ matice přechodových charakteristik

přenosová funkce z j-tého vstupu na i-tý výstup 1. Přenosová matice Vnější popisy spojitých lineárních dynamických MIMO systémů jako relace mezi vstupem a výstupem jsou definovány zcela analogicky jako u jednorozměrových systémů, avšak s ohledem na počet vstupů a výstupů. ▪ Přenosová matice G(s) o rozměru [m x r] s prvky Gij(s): . přenosová funkce z j-tého vstupu na i-tý výstup (tj. relace mezi j-tým vstupem a i-tým výstupem za nulových poč. podmínek) příklad

na Diracův impuls na j-tém vstupu systému 2. Matice impulsních funkcí/charakteristik ▪ Matice impulsních funkcí g(t) o rozměru [m x r] s prvky gij(t): matici impulsních charakteristik g(t) získáme zpětnou Laplaceovou transformací přenosové matice G(s) „prvek po prvku“ prvky matice definují časové odezvy i-tého výstupu na Diracův impuls na j-tém vstupu systému matice impulsních funkcí přenosová matice Heavisideův rozklad přenosové matice