Ètyøi ètvrtky, které zmìnily fyziku Vier Donnerstage, die die Physik gewandelt haben

K 100. výroèí vzniku Obecné teorie relativity

Jak vznikla, jak to všechno vyvrcholilo ve ètyøech ètvrtcích v listopadu 1915 a co bylo krátce potom

První krok : Institut fûr geistliche Eigentum - Bern 1907

Princip ekvivalence Jahrbuch der Radioactivität und Electronik 4 (1907), der gliicklichste Gedanke meines Lebens nejšîastnìjší myšlenka mého ¿ivota Objevuje se v :

Tento předpoklad rozšiřuje princip relativity na případ rovnoměrně zrychleného translačního pohybu vztažných systémů. Heuristická hodnota tohoto předpokladu spočívá v tom, že umožňuje náhradu homogenního gravitačního pole rovnoměrně zrychleným vztažným systémem, přičemž tento případ je v určitém stupni teoreticky přístupný.

Princip ekvivalence Tohle bude lepší

Takto líèí historii : Prùlom nastal náhodou jednoho dne. Sedìl jsem v køesle v patentním úøadì v Bernu. Najednou mne napadlo : jastli¿e èlovìk padá volným pádem, pak necítí svoji váhu. Byl jsem zaskoèen. Tato prostá myšlenka na mne udìlala velký dojem. Ta mne vedla k teorii gravitace. Pokraèoval jsem v úvaze : Padající èlovìk se pohybuje zrychlenì. Tedy to, co cítí a soudí, se dìje v zrychleném vzta¿ném systému. Rozhodl jsem se rozšířit teorii relativity na pøípad se zrychlenými systémy. Cítil jsem, ¿e tak bych mohl souèasnì vyøešit problém gravitace. Einstein Kjóto 1922

René Magritte

Odvodí i gravitaènèí zpo¿ïování hodin t = t 0 (1 + F/c 2 ) Potvrzeno 1959 R. Poundem a G.A. Rebkou na úrovni 10% h = 22.5 m F = rozdíl potenciálù

Pra¿ské kroky : Ústav teoretické fyziky – Vinièná 3 Duben 1911 – Èervenec 1912

Energie pøispívá i k setrvaèné i ke gravitaèní hmotnosti Frekvence n = n 0 (1 + F/c 2 ) Rychlost svìtla c = c 0 (1 + F/c 2 ) Z pra¿ských artikulù :

Ohyb svìtla Èíselnì pro Slunce 0.83“

Princip ekvivalence vede k ohybu svìtla

Výsledek je stejný jako v korpuskulární teorii svìtla v newtonovské mechanice J. von Soeldner 1804 Obecná teorie relativity dá dvakrát vìtší efekt ( vliv zakøiveného prostoroèasu ) ( Einstein to uvede v tøetím ze ètvrtkù )

Výsledek potvrzen anglickou expedicí na Sobral (Brazílie) a ostrov Principe (Guinejský záliv) 1919 Výsledky byly zpochybòovány, ale reanalýza je potvrdila

Einsteinova reakce 27. IX. 19 Milá matko ! Dnes jedna radostná zpráva. H.A. Lorentz mi telegrafoval, že anglické expedice odchylku světla u Slunce skutečně dokázaly.

Z ohybu vyplývají gravitaèní èoèky První pozorování kvasaru Q v r D. Walsh, R. Carswell a R. Weymann

Einsteinùv zápisník – duben 1912 První je navrhl : Einstein !

Prostorová měření v K se provádějí pomocí měřicích tyčí, které – jsou-li porovnány v klidovém stavu na stejném místě – mají stejnou délku. Platí totiž geometrické věty pro tak měřené délky, tedy také pro vztahy mezi souřadnicemi x, y, z a další délky. Toto tvrzení není samozřejmé, ale zahrnuje fyzikální předpoklady, které by se případně mohly ukázat jako nesprávné. Např. velice pravděpodobně neplatí v rovnoměrně rotujícím systému, v němž díky Lorentzově kontrakci by podíl obvodu kruhu k průměru měl být, při použití naší definice délek, odlišný od π.

Rotující disk Podélnì se tyè zkrátí, pøíènì ne ( Problém je i s hodinami. )

Potenciálem je promìnná rychlost svìtla Rovnice pole Rovnice pohybu Vyplývající z

Zdrojem v rovnici pro potenciál c je energie, musí té¿ zahrnovat energii gravitaèního pole, proto je rovnice nelineární. Dva poznatky : Transformaèní rovnice do padajícího systému se u¿ívají jen „für unendlich kleinen Räumen“ ( tj. nekoneènì malé prostory )

Princip obecné relativity Na druhé straně otvírá nám princip ekvivalence zajímavou perspektivu, že by mohly být rovnice teorie relativity zahrnující gravitaci také invariantní vzhledem k transformacím se zrychlením (i otáčením).

Z okna se díval do zahrady Ústavu pro choromyslné Tam ¿ijí šíastní blázni, co se nemusejí zabývat kvantovou teorií

První vrchol Eidgenössische Technische Hochschule Zürich 1913

Návrh zobecnìné teorie relativity a teorie gravitace

Autoøi : Albert Einstein + Marcel Grossmann

Výchozí bod : setrvaèná hmotnost = gravitaèní hmotnost Potvrdil L. Eõtvõs

Rovnice pohybu g mn = metrika prostoroèasu a souèasnì potenciál gravitace Lokálnì lze speciálnì relativistický tvar

Rovnice pole by mìly mít tvar : kde ϰ je konstanta, Q mn tenzor energie-hybnosti látky a G mn tenzor charakterizující geometrii, závislý na derivacích metriky (asi maximálnì druhých )

Bludný krok : Musí být ale zdůrazněno, že lze dokázat, že je nemožné najít za těchto předpokladů diferenciální výraz, který je zobecněním Δφ a chová se jako tenzor při libovolných transformacích. A to uva¿ují Ricciho tenzor !

Místo toho je navr¿en za tenzor   výraz

Byli u¿ jen krok od cíle ! Pobitevní postup : Význaènost Riemannova tenzoru : Invariantní tenzory jsou funkcí Riemannova tenzoru a metriky Linearita v 2. derivacích vede k výrazu aR μ + bRg μ + cg μ Zachování energie vy¿aduje a = -2b

Pøípad a = 0 nevyhovuje Po pøecejchování : R μ – 1/2 g μ R +  g μ = kT μ Einsteinovy rovnice ( vèetnì osloviny (Eselei) )

Curyšský sešit Züricher Notizbuch Trochu informací o Einsteinovì postupu dává

Vìtšina gravitace je od konce Pohybová rovnice Zachování energie

Riemannùv tenzor Podmínka pro slabé pole Gross mann

Ví, ¿e Poissonovu rovnici nedostane v obecných souøadnicích Má zùstat Omezení na souøadnice

Chyba Tvar metriky Prostor je køivý i pro slabé pole Pravdìpodobnì nesprávnì

Dojde k nìèemu takovému

Problémy jsou té¿ se zákonem zachování energie T μν = tenzor energie-hybnosti látky Analogická gravitaèní velièina t μν je tenzorem pro lineární transformace, obecnì nikoli. Nemìla by být : v padajícím systému gravitaèní pole mizí !

Kdy¿ mi nejde najít vhodný tenzor  μ : Lochbetrachtung Hole argument Dìrový dùvod Vymyslím, proè to nemù¿e jít

Dìravý dìrový dùvod g g μ (x  )g’ μ (x’  ) x’  = f(x  ) L(och) Máme øešení g μ (x  ). V oblasti prostoroèasu L bez látky zmìníme souøadnice. To dá ekvivalentní øešení g’ μ (x’  ). Øešení g’ μ (x  ) je jiné.  Øešení je nejednoznaèné.

Stáèení perihelia Merkura U¿ 1859 U. Leverrier zjistil, ¿e perihelium Merkura se stáèí o 39’’ za století více ne¿ oèekávaných 527’’ za století

Dnešní data ( úhlových vteøin za století ) Pùsobení planet ± 0.69 Zploštìní Slunce Celkem ± 0.69 Pozorováno ± 0.65 Rozdíl ± 0.95 Teorie relativity dá ± 0.04

Tento efekt spolu s pøítelem Michelem Besso poèítá

Efekt poèítají poruchovým poètem : Výpoèet metriky Rovnice 1. pøiblí¿ení 2. pøiblí¿ení

Pro posuv Merkura vyjde Odtud posuv A¿ na faktor 5/4 ( má být 3 ) jako ve výsledné teorii ( A = 2 G M/c 2 ) Dosadí špatnì hmotnost Slunce. Vyjde jim 1821’’ místo 18’’.

Poèítají i vliv rotace Slunce Vyjde Ìíselnì pøibli¿nì ’’ za století Zanedbatelné o = úhlová rychlost S ~ momentu setrvaènosti

Problém metriky v rotujícím systému Kvùli Machovi Prohýbá se hladina kvùli rotaci vùèi Absolutnímu prostoru nebo vùèi hvìzdám ve Vesmíru ?

Asi nejvýznamnìjší práce z období bloudìní ( èervenec 1913 – záøí 1915 ) je pøehledový èlánek Formální základy obecné teorie relativity ( u¿ ne verallgemeinerte = zobecnìné )

Nemìnnost (invariance) rovnic pøi lineárních transformacích nestaèí : ztrácí se zrychlený a rotaèní pohyb Hledají se slabší podmínky

Je vhodné vyu¿ít variaèního principu Jest : H = Lagrangeova funkce Pro dobré chování je tøeba, aby výraz byl = 0. Takové souøadnice : pøizpùsobené (angepasste)

Variace metriky dá velièinu Pro rovnice tvaru T = tenzor energie-hybnosti „látky“ A zákon zachování energie vy¿aduje nulovost

Pøedpoklad kvadratiènosti H v prvních derivacích g ij vede k Odtud : kde

a Hustota energie-hybnosti gravitace A platí zákon zachování

Konec èervna – zaèátek èervence Göttingen Einstein koná 6 2-hodinových pøednášek Naslouchají mj. D. Hilbert a F. Klein

Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften zu Berlin Vrchol : Ètyøi ètvrtky v listopadu 1915

Ìtvrtek 4. listopadu 1915 Donnerstag den 4. November 1915 K obecné teorii relativity

Zurück zu Riemann (zpátky k Riemannovi) Ve výrazech „pøeká¿í“ g = determinant metriky  Unimodulární transformace Provede se roklad Ricciho tenzoru Ricci Rie mann

A postulují se rovnice rozepsan é kde jsou Christoffelovy symboly Jiná znaménková konvence Není Ricci !

Proè ? Einstein opustí verhängnisvolles Vorurteil (osudový pøedsudek) volit pro gravitaèní sílu Místo toho volí a získá den Schlüssel zu dieser Lösung (klíè k øešení)

Získané rovnice pak vyplývají z variaèního principu Kvadratický Lagrangeián !

Nepøíjemný dùsledek Nelze proto volit souøadnice, kde g = konst, proto¿e hustota energie-hybnosti zøejmì nemá nulovou stopu ( odpovídá hustotì energie > 0 )

Ìtvrtek 11. listopadu 1915 Donnerstag den 11. November 1915 Jak z vady dìlat pøednost K obecné teorii relativity (Dodatek)

V elektrodynamice je T α α = 0 Je-li látka v podstatì elektromagnetická, mohla by být stopa hustoty energie-hybnosti nula Hustota energie pak musí mít pùvod v gravitaci

Unimodularitu transformací je vhodné nahradit podmínkou Pak je S im = 0, a rovnice lze zapsat v obecnì kovariantním tvaru To u¿ jsou témìø správné rovnice Ricci

Ìtvrtek 18. listopadu 1915 Donnerstag den 18. November 1915 Objasnìní pohybu perihelia Merkuru z obecné teorie relativity

Hledáme èasovì nezávislé, kulovì symetrické øešení, pro nì¿ g ρ4 = g 4ρ = 0, a které v nekoneènu pøechází na tvar Z podmínky na determinant metriky vyplývá, ¿e u¿ v 1. aproximaci (!) není prostorová metrika plochá

V 1. aproximaci vyjde Dùsledek : Ohyb svìtla je dvakrát vìtší

V 2. aproximaci potøebujeme jen výrazy Proto¿e v uvedeném pøiblí¿ení mají pohybové rovnice (geodetika) tvar

Odpovídajíci Babinetova rovnice má tvar x = 1/r, navíc je poslední èlen Odtud pro posuv perihelia a = 2 G M/c 2

Efekt pro Merkur, Zemi a Mars Tehdejší data : 45’’, 11’’ a 9’ Souèasná data : 42.5’’, 5’’ a 1.4’’ Einsteinovz hodnoty : 43’’, 4’’ a 1’’

Kdy¿ kvantitativnì vysvìtlil, bez jakékoli speciální hypotézy, rotaci dráhy Merkuru, byl „po nìkolik dní bez sebe v radostném vzrušení“. Doznával „bušení srdce“.

Ìtvrtek 25. listopadu 1915 Donnerstag den 25. November 1915 Návrh upravit rovnice na : ekvivalentní G im – ½ g im G = – κT im To jsou Einsteinovy rovnice G = Ricci

Dùvod : symetrizace v podmínce pro energii Doplnìný èlen Všechny „energie“ pùsobí stejnì.

Tím je koneènì obecná teorie relativity jako logická stavba ukonèena.

Formuloval Einstein své rovnice jako první ? Existuje èlánek vyšlý v bøeznu 1916 Odvozující Einsteinovy rovnice z variaèního principu

Pøedpokládá, ¿e „svìtofunkce H “ (tj. Lagrangeova funkce) je rovna souètu skalární køivosti (pro gravitaci) a funkce nezávisející na derivacích metriky (pro látku) S výsledkem Einsteinovy rovnice Pøi u¿ití výše zavedeného oznaèení pro variaci vzhledem k g μν, získají gravitaèní rovnice kvùli (20) tvar… První èlen na levé stranì bude…

¯e by Hilbert byl rychlejší ? Našly se korektury z , kde Einsteinovy rovnice nejsou ( takøka jistì – chybí horní kus jednoho listu: 7 a 8. strany ) Ne !

Navíc zdùvodnìní levé strany je pochybné : jak snadno bez výpoètu vyplývá ze skuteènosti, ¿e K μν je kromè g μν jediný tenzor druhého øádu a K jediný invariant, který lze vytvoøit jen pomocí g μν a jeho prvních a druhých derivací. Výpoèet není jednoduchý a tvrzení neplatí : i pøi skrytém pøedpokladu linearity v druhých derivacích nejsou urèeny konstanty ve výrazu.

Souhrnnou prezentaci obecné teorie relativity pøedstaví A. Einstein 20. bøezna 1916

Zavádí zde sumaèní konvenci Vyskytuje-li se nìjaký index v jednom èlenu výrazu dvakrát, je tøeba v¿dy pøes nìj sèítat, není-li výslovnì zmínìn opak.

Výpoèty jsou ještè provádìny v souøadnicích s g = -1, ale v následujícím èlánku tuto podmínku opouští Pøibli¿ná integrace rovnic gravitace

Zde odvodí pro odchylky γ μν od ploché metriky pøibli¿né rovnice kde Øešení rovnic má tvar A byla pou¿ita souøadnicová podmínka

Pøedpoví gravitaèní vlny Z rovnic (6) a (9) vyplývá, ¿e se gravitaèní pole v¿dy šíøí rychlostí 1, toti¿ rychlostí svìtla.

Sestrojí øešení pro rovinnou gravitaèní vlnu A spoète vyzaøovací formuli J αβ = tenzor setrvaènosti κ = 1.87 

Formule byla nepøímo potvrzena pozorováním binárního pulzaru PSR R. Hulse a J. Taylor v r. 1974

Tého¿ roku napíše ještì èlánek Vychází ze standardních podmínek na H ( závislost na metrice a jejích prvních a druhých derivacích ( na tìch lineárnì )

Variaèní princip transformuje F = povrchový integrál, H * nezávisí na 2. derivacích Odtud ji¿ standardnì odvodí rovnice pole Z invariance H dostane podmínku S ν σ = 0 a spolu s rovnicemi pole zákon zachování energie-hybnosti

Vztah symetrie Lagrangeovy rovnice a zákonù zachování pak prozkoumá Göttingenská matematièka Amalie Emmy Noether 1918

Mimochodem z 2. vìty Noetherové – pro nekoneènì rozmìrnou grupu – vyplývá, ¿e B μ = 0 identicky. Pøi volbì H = R je pøíslušnou identitou Bianchiho identita (1902)

Sluší se ještì dodat, ¿e ji¿ v lednu 1916 bylo nalezeno pøesné statické kulovì symetrické øešení Einsteinových rovnic Karlem Schwarzschilde m

Tím mù¿eme ukonèit poèáteèní „heroické období“ vzniku obecné teorie relativity Obecná teorie se ovšem rozvíjí dál. To je ale u¿ jiná historie.

Dìkuji za pozornost ( C ) 2015