POZNÁMKA: Pokud chcete změnit obrázek na tomto snímku, vyberte obrázek a odstraňte ho. Potom klikněte na ikonu Obrázek v zástupném textu a vložte vlastní obrázek. PRAVDĚPODOBNOST JE… Martina Litschmannová

Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína popisující zákonitosti týkající se náhodných jevů, tj. používá se k modelování náhodnosti a neurčitosti. (Náhodnost je spojena s nedostatečnou znalostí počátečních podmínek.)

Deterministické pokusy Náhodné pokusy X Pokus – děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. Za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek. Pro určité počáteční podmínky existuje množina možných výsledků, přičemž jeden z nich nastane. Základní pojmy teorie pravděpodobnosti

Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou

Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi Základní pojmy teorie pravděpodobnosti

Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Hod kostkou Padne šestka. Základní pojmy teorie pravděpodobnosti

Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Hod kostkou Padne sudé číslo. Základní pojmy teorie pravděpodobnosti

Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Stanovení množství cholesterolu v krvi Zjištěná hodnota cholesterolu bude odpovídat normě. Pro laika v oboru nutno specifikovat!!! Základní pojmy teorie pravděpodobnosti

 Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá.  Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout. (značíme A, B, X, Y, …)  Elementární jev ω – jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů)  Základní prostor Ω – množina všech elementárních jevů Základní pojmy teorie pravděpodobnosti

Typy jevů Padne „7“. Jev nemožný Padne méně než „7“. Jev jistý Padne „6“. Jev náhodný 

Vybrané vztahy mezi jevy jevy disjunktní

Co je to pravděpodobnost? Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane. Jak pravděpodobnost definovat?

Klasická definice pravděpodobnosti (Pierre Simon de Laplace, 1812)

Statistická definice pravděpodobnosti (Richard von Mises, počátek 20. století) Počet realizací pokusu příznivých jevu A Počet všech realizací pokusu Jaká je pravděpodobnost padnutí „6“ na hrací kostce, nevíme-li, zda je tato kostka „férová“?

Statistická definice pravděpodobnosti Relativní četnost jevu "padne 6"

Geometrická pravděpodobnost Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: Jaká je pravděpodobnost, že meteorit dopadl na pevninu?

Kolmogorovův axiomatický systém (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1.Pravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). 2.Pravděpodobnost, že nějaký jev nastane (pravděpodobnost jevu jistého) je rovna 1. 3.Pravděpodobnost, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů, je rovna součtu jejich pravděpodobností.

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. Označme: C … náhodně vybraný útvar je červený

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

Podmíněná pravděpodobnost

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

Podmíněná pravděpodobnost

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

Vybrané vlastnosti pravděpodobnosti

Pan Ondra Hypoch tak dlouho obtěžoval lékaře, až mu lékař napsal prášky. V příbalovém letáku se Ondra dočetl, že mají dva možné nežádoucí účinky: a) vypadání zubů (15%), b) upadnutí palců na rukou (20%). Zároveň je v letáku napsáno, že nebyla prokázána závislost mezi výskytem jednotlivých typů nežádoucích účinků. S jakou pravděpodobností se bude moci Ondra po ukončení léčby kousnout do palce? (dle: Luboš Pick; přednáška „Dirichletovy šuplíčky“ na semináři OSMA)Dirichletovy šuplíčky OSMA 1

a) v prvním tahu vytáhneme bílou kuličku, JevDefinice jevu B1při první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička C1při první realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička B2při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička C2při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička 10 ks5 ks Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že

b) vytáhli-li jsme v prvním tahu bílou kuličku, ve druhém tahu vytáhneme taky bílou kuličku, 10 ks5 ks 1. tah 2. tah (byla-li v 1. tahu vytažena bílá kulička) 10 ks4 ks Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že

c) ve dvou tazích vytáhneme 2 bílé kuličky, Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že

c) ve dvou tazích vytáhneme 1 bílou a 1 černou kuličku, nebo Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že

c) ve druhém tahu vytáhneme bílou kuličku, nebo Pokus probíhající po etapách … možnost záznamu pomocí rozhodovacího (stochastického) stromu Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že

Věta o úplné pravděpodobnosti

70% 30% Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?

70% 30% 80%20% Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?

70% 30% 80%20% 10%90% Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?

70% 30% 80%20% 10%90% Pravoúhlý Vennův diagram

0,06 0,63 0,24 0,07

Rozhodovací strom Studenti D DV KV CH DV KV Pohlaví Délka vlasů

Studenti D DV KV CH DV KV Pohlaví Délka vlasů

Předpokládejme, že v populaci je 25% dětí, 60% osob v reprodukčním věku a 15% osob v postreprodukčním věku. Pravděpodobnost úrazu u dítěte je 20%, pravděpodobnost úrazu u osoby v reprodukčním věku je 10% a pravděpodobnost úrazu u osob v postreprodukčním věku je 40%. Jaká je pravděpodobnost úrazu v dané populaci? 2

Bayesův teorém Thomas Bayes (1702 – 1761) zdroj:

70 % Apriorní pravděpodobnost A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.

Aposteriorní pravděpodobnost B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.

Studenti D DV KV CH DV KV Daný stav Výsledek testu

Aposteriorní pravděpodobnost B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.

A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 70% B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 22,6% Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.

Předpokládejme, že v populaci je 25% dětí, 60% osob v reprodukčním věku a 15% osob v postreprodukčním věku. Pravděpodobnost úrazu u dítěte je 20%, pravděpodobnost úrazu u osoby v reprodukčním věku je 10% a pravděpodobnost úrazu u osob v postreprodukčním věku je 40%. Jaká je pravděpodobnost, že osoba, která utrpěla úraz je dítě? 3

Využití Bayesova teorému v lékařské diagnostice

Využití Bayesovy věty v lékařské diagnostice  Etiologické studie (hledání a výklad příčin vzniku)  Matematické modely diagnostického nebo prognostického rozhodování Screeningové testování  Hodnocení kvality screeningového testu pro detekci sledované osoby  Cíl: Vyvážit klady včasné detekce nemoci u osob, které nemoc skutečně mají a nepříznivé důsledky, které vzniknou tím, že test určí jako nemocné i ty osoby, které sledovanou nemoc nemají.

Využití Bayesovy věty v lékařské diagnostice Označme: ¨ Předpokládejme, že známe:  Senzitivita a specificita jsou charakteristiky testu. Odhadují se na základě zkušenosti, resp. dle pilotního projektu. nemoc se u pacienta vyskytuje nemoc se u pacienta nevyskytuje test vyšel pozitivní test vyšel negativní p-st výskytu nemoci (prevalence – apriorní p-st) p-st, že test je pozitivní u nemocné osoby (senzitivita testu) p-st, že test je negativní u osoby, která nemoc nemá (specificita testu)

Využití Bayesovy věty v lékařské diagnostice Předpokládejme, že známe: Co nás zajímá? p-st výskytu nemoci (prevalence – apriorní p-st) p-st, že test je pozitivní u nemocné osoby (senzitivita testu) p-st, že test je negativní u osoby, která nemoc nemá (specificita testu) p-st, že test je negativní u nemocné osoby (falešná negativita testu) p-st, že test je pozitivní u osoby, která nemoc nemá (falešná pozivita testu) p-st, že osoba, u níž je test negativní, skutečně nemoc má (prediktivní hodnota negativního testu) p-st, že osoba, u níž je test pozitivní, skutečně nemoc má (prediktivní hodnota pozitivního testu) p-st, že test dává správné výsledky (přesnost testu)

Představme si, že provádíme test na okultní krvácení ve stolici (FOB) u 2030 osob ke zjištění chorobných změn v dolní části zažívacího traktu. Pak můžeme popsat možné stavy pomocí níže uvedené tabulky. Určete senzitivitu a specificitu testu, prediktivní hodnoty a přesnost testu. má rakovinu tlustého střeva nemá rakovinu tlustého střeva celkem test pozitivní test negativní celkem

5

5

5

 V praxi je senzitivita a specificita testu svázána, závisí na volbě prahové hodnoty, která rozhoduje o pozitivním a negativním výsledku testu.  Jak určit prahovou hodnotu testu tak, abychom stanovili rovnováhu mezi FN a FP závěry? ROC křivka

 ROC křivka – křivka, která vyjadřuje vztah mezi senzitivitou a specificitou testu pro různé prahové hodnoty. ROC křivka Nejlepší diagnostický test se vyznačuje ROC křivkou s největší plochou pod křivkou (Area Under Curve – AUC). Je-li plocha rovná 1, je test ideální a má 100% senzitivitu i specificitu. Když ROC křivka odpovídá testu A, znamená to, že každé zlepšení senzitivity je zaplaceno stejně významným zhoršením specificity a test není dobře navržen. Plocha pod křivkou je 0,5 a test tak není lepší než házení mincí.

 ROC křivka – křivka, která vyjadřuje vztah mezi senzitivitou a specificitou testu pro různé prahové hodnoty. ROC křivka Kvalita testu 0,50 – 0,75oprávněný 0,75 – 0,92dobrý 0,92 – 0,97velmi dobrý 0,97 – 1,00vynikající

 Litschmannová, M. (2012), Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti, elektronická skripta a doplňkové interaktivní materiály (kapitola Úvod do teorie pravděpodobnosti)Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti  Zvárová, J. (1999), Základy statistiky pro biomedicínské obory, dostupné on-line: (kapitola 3) Literatura

POZNÁMKA: Pokud chcete změnit obrázek na tomto snímku, vyberte obrázek a odstraňte ho. Potom klikněte na ikonu Obrázek v zástupném textu a vložte vlastní obrázek. DĚKUJI ZA POZORNOST!