Slouží ke grafickému znázorn ě ní množin, vztah ů mezi množinami a operací s množinami. Vennovy diagramy Projekt OP VK - CZ.1.07/1.1.26/ „Matematika Plus – Podpora matematického vzdělávání žáků středních škol Olomouckého kraje“ Gymnázium Jakuba Škody, Komenského 29, Přerov

Co je to množina? Množina je soubor prvk ů, p ř i č emž je p ř esn ě dáno, které prvky do množiny pat ř í a které ne. P ř íklady: – množina žák ů ve t ř íd ě – množina knih v knihovn ě – množina všech p ř irozených č ísel Množinou m ů žeme rozum ě t nap ř. množinu ovoce, do které za ř adíme jablka, hrušky, t ř ešn ě, ale papriku z této množiny vylou č íme.

Zápis: a... prvek množiny (v ě tšinou zna č íme malými písmeny) M... ozna č ení množiny (v ě tšinou velkými písmeny) Prázdná množina: množina, která neobsahuje žádný prvek Ozna č ení: nebo „je prvkem“ „není prvkem“ Co je to prvek? Prvek množiny: objekt (p ř edm ě t), který množina obsahuje

Historie V roce 1880 Vennovy diagramy vymyslel britský filozof a anglikánský duchovní John Venn. Lze v nich zachytit všechny p ř ípustné možnosti rozložení prvk ů v množinách.

Vennův diagram pro dvě podmnožiny A, B základní množiny U a … prvky množiny U, které pat ř í do množiny A a zárove ň nepat ř í do množiny B b … prvky množiny U, které pat ř í do množiny A a zárove ň do množiny B c … prvky množiny U, které pat ř í do množiny B a zárove ň nepat ř í do množiny A d … prvky množiny U, které nepat ř í do množiny A ani do množiny B

Ke znázorn ě ní množin se nepoužívají pouze kruhy, ale i jiné tvary, resp. č ásti roviny vymezené složit ě jšími uzav ř enými k ř ivkami. Na obr. je uveden p ř íklad diagramu pro dv ě podmnožiny A, B základní množiny U: a … prvky množiny U, které pat ř í do množiny A a zárove ň nepat ř í do množiny B b … prvky množiny U, které pat ř í do množiny A a zárove ň do množiny B c … prvky množiny U, které pat ř í do množiny B a zárove ň nepat ř í do množiny A d … prvky množiny U, které nepat ř í do množiny A ani do množiny B

P ř íklad: Z Vennova diagramu ur č ete vý č tem prvk ů množiny A, B a U:

Ř ešení: Z Vennova diagramu ur č ete vý č tem prvk ů množiny A, B a U: Ř ešení:

Příklad: Nakresli Venn ů v diagram: Základní množina Z je množina všech p ř irozených č ísel menších nebo rovna 10. Množina A je množina všech sudých č ísel, množina B je množina násobk ů t ř í.

Řešení:

1.uv ě domte si o kolika množinách se v zadání slovních úloh mluví 2.nakreslete si Venn ů v diagram pro dané množiny, 3.vyzna č te si v diagramu jednotlivá pole a pojmenujte je (nejlépe písmeny a, b, c, …) 4.vypište ze zadání vztahy mezi jednotlivými poli ve Vennov ě diagramu 5.vy ř ešte soustavu rovnic Postup ř ešení slovní úlohy pomocí Vennových diagram ů :

P ř íklad: Ve t ř íd ě prob ě hla anketa, zda byli žáci o letošních prázdninách na tábo ř e nebo na rodinné dovolené. Z celkového po č tu 30 dotázaných jen 4 uvedli, že nebyli nikde. Práv ě na jednu z akcí jelo 20 žák ů, tábora se zú č astnilo 18 žák ů. Jsou v této t ř íd ě oblíben ě jší tábory nebo rodinné dovolené? Oblíbenější jsou tábory. A…tábor B…rodinná dovolená

Řešení: A…tábor B…rodinná dovolená Oblíben ě jší jsou tábory.

Studenti mají za úkol p ř e č íst alespo ň jednu z knih Vít ě zný oblouk nebo Nebe nezná vyvolených od E. M. Remarqua. Kolik student ů nesplnilo domácí úkol, pokud platí: celkem je ve t ř íd ě 26 student ů, Vít ě zný oblouk č etlo 16 student ů, ob ě knihy č etli celkem 4 studenti, 8 student ů č etlo pouze Nebe nezná vyvolených P ř íklad:

celkem je ve t ř íd ě 26 student ů : Vít ě zný oblouk č etlo 16 student ů : U AB ab c d

ob ě knihy č etli celkem 4 studenti: 8 student ů č etlo pouze Nebe nezná vyvolených: Kolik student ů nesplnilo domácí úkol? U AB ab c d

Ř ešíme soustavu 4 rovnic pro 4 neznámé: Domácí úkol nesplnili 2 studenti.

P ř íklad: Z 15 po č íta čů v servisu jich má 14 spálený zdroj nebo základní desku. 10 jich má nejvýše jeden druh poškození. Rozbitých zdroj ů je o t ř i více než rozbitých základních desek. Kolik po č íta čů má: Rozbitý jen zdroj? Rozbitý zdroj i základní desku?

Ř ešení: Sestavíme rovnice: a+b+c+d=15 a+b+c=14 a+c+d=10 a+b=b+c+3 Vy ř ešíme rovnice: a=6 b=5 c=3 d=1

Vennův diagram pro tři podmnožiny A, B, C základní množiny U

Vennův diagram pro tři podmnožiny A, B, C základní množiny U Jiné znázorn ě ní:

Do které z množin A, B, C pat ř í č i nepat ř í prvky ležící v č ásti diagramu ozna č ené písmenem a, d, e, h? P ř íklad:

a … prvky množiny U, které pat ř í do množiny A, nepat ř í do množiny B, nepat ř í do množiny C d … prvky množiny U, které pat ř í do množiny A, nepat ř í do množiny B, pat ř í do množiny C e … prvky množiny U, které pat ř í do množiny A, pat ř í do množiny B, pat ř í do množiny C h … prvky množiny U, které nepat ř í do množiny A, nepat ř í do množiny B, nepat ř í do množiny C Ř ešení: P ř íklad: Do které z množin A, B, C pat ř í č i nepat ř í prvky ležící v č ásti diagramu ozna č ené písmenem a, d, e, h?

P ř íklad: Zakreslete následující množiny do Vennovy diagramu. A B C

Ř ešení A B C O O

P ř íklad: T ř ídu sextu navšt ě vuje 30 student ů. Ve škole se vyu č ují t ř i cizí jazyky, každý student má dva jazyky. Na francouzštinu chodí 13 student ů, angli č tinu mají zapsanou dv ě t ř etiny student ů. Kolik student ů chodí na n ě m č inu? Z toho již snadno spočítáme, že, a tedy Na němčinu chodí 27 studentů.

Řešení: Protože každý student chodí práv ě na dva jazyky, budeme se zabývat pouze oblastmi b, d, f. Ze zadání známe: f =10 b = 3 d =17 d + f = 27

Vennův diagram pro čtyři podmnožiny A, B, C, D základní množiny U

Ub ě hlo celé století, než matematik Washingtonské univerzity Branko Grünbaun ukázal, že rota č n ě symetrické Vennovy diagramy lze vytvo ř it z p ě ti shodných elips. Jeden z mnoha diagram ů je uveden na následujícím obrázku:

V roce 2001 vytvo ř ili matematik Peter Hamburger a výtvarnice Edit Heppová diagram pro 11 množin: