Kolmé hranoly - povrch a objem Matematika – 7. ročník Základní škola Jakuba Jana Ryby Rožmitál pod Třemšínem Efektivní výuka pro rozvoj potenciálu žáka projekt v rámci Operačního programu VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Obsah: Tělesa kolem nás Kvádr a krychle – opakování (5)  základní pojmy základní pojmy  objem objem  povrch povrch  síť síť Kolmé hranoly (11)  základní pojmy základní pojmy  sítě sítě Povrch hranolu (20)  odvození vzorce odvození vzorce  zápis zápis  trojboký trojboký  s podstavou lichoběžník s podstavou lichoběžník  příklady na procvičení příklady na procvičení Objem hranolu (27)  odvození vzorce odvození vzorce  zápis zápis  trojboký trojboký  s podstavou lichoběžník s podstavou lichoběžník  příklady na procvičení příklady na procvičení Hmotnost tělesa (37) Hmotnost tělesa  příklady na procvičení příklady na procvičení Přehled vzorců

Vyhledej tělesa na obrázku

Tělesa kolem nás

Kvádr ABCDA´B´C´D´ - základní pojmy (opakování) 8 vrcholů:  A,B,C,D, A´,B´,C´,D´ 6 stěn:  2 podstavy dolní ABCD horní A´B´C´D´ A DC aB D´C´ A´ b c=v a délka podstavné hrany b šířka podstavné hrany c = v výška kvádru = délka bočních hran (vzdálenost podstav)  4 boční stěny ABB´A´ DCC´D´ BCC´A´ ADD´A´ 12 hran  podstavné: AB, BC, CD, AD, A´B´, B´C´,C´D´, A´D´  boční: AA´, BB´, CC´,DD´ 12 stěnových úhlopříček 4 tělesové úhlopříčky: AC´, BD´, CA´, DB´ B´

Objem kvádru a krychle - opakování Krychle V = a.b.c V = a.a.a Kvádr 1 cm 3 V = V = 48 cm 3 V = V = 27 cm 3 a = 4 cm b = 2 cm c = 6 cm a = 3 cm

Krychle - opakování 8 vrcholů 6 stěn 12 hran A C aB D´ C´ A´B´ a délka hrany krychle a a objem V = a.a.a V = V = 8 cm 3 povrch S = 6.a.a S = S = 24 cm 2 stěnové úhlopříčky tělesové úhlopříčky Vypočti objem a povrch, je-li a= 2 cm. aaa a a a a D

objem V = a.b.c a=7,5 cm b=4 cm c=v = 12 cm a=7,5 b=4 cm c=v = 12 cm 12 cm V = 7, V = 360 cm 3 povrch S = 2.(a.b + b.c + a.c) S = 2.(7, ,5.12) S = 2.( ) S = 336 cm 2 síť S=a.b S=b.c S=a.c Kvádr má rozměry 7,5 cm, 4 cm a 12 cm. Narýsuj síť, vypočti objem a povrch.

1. Pojmenuj toto těleso. 2. Co tvoří povrch a jak ho vypočítáš? Uveď vzorec. 3. Jak vypočítáš objem? Uveď vzorec. 1. Krychle stěn tvaru čtverce. V = a.a.a S = 6.a.a

1. Pojmenuj toto těleso. 2. Co tvoří povrch a jak ho vypočítáš? Uveď vzorec. 3. Jak vypočítáš objem? Uveď vzorec. 1. Kvádr 2. 6 stěn – 3 dvojice různých obdélníků. V = a.b.c S = 2.(a.b + b.c + a.c) 3. Vynásobíme všechny 3 rozměry.

Kolmé hranoly podstavy hranolu jsou 2 shodné mnohoúhelníky boční stěny jsou obdélníky nebo čtverce výška = délka kterékoliv boční hrany = těleso, které má 2 shodné podstavy a ostatní stěny (boční) jsou kolmé na obě podstavy. Pravidelný hranol  podstavy - pravidelné shodné mnohoúhelníky  boční stěny - shodné obdélníky Kolmý hranol

Trojboký kolmý hranol s podstavou v c a b abc v A C B A´ C´ B´ horní podstava podstavy hranolu jsou 2 shodné pravoúhlé trojúhelníky ABC a A´B´C´ vlastnosti kolmého hranolu: výška = délka kterékoliv boční hrany boční stěny tvoří 3 obdélníky = plášť = těleso, které má 2 shodné podstavy a ostatní stěny (boční) jsou kolmé na obě podstavy. kolmý hranol dolní podstava v v

Které z těles nepatří mezi kolmé hranoly?

Pojmenuj těleso s touto sítí čtyřboký hranol s podstavou kosodélník

Pojmenuj těleso s touto sítí pravidelný šestiboký hranol

Pojmenuj těleso s touto sítí pravidelný trojboký hranol (podstava rovnostranný trojúhelník)

Pojmenuj těleso s touto sítí čtyřboký hranol s podstavou pravoúhlý lichoběžník

Vypočti povrch kvádru jiným způsobem. a=7,5 cm b=4 cm c=v = 12 cm a=7,5 b=4 cm c=v = 12 cm S = 2.(7,5.4) S = S = 336 cm 2 o p =23 cm plášť podstava povrch = obsah 2 podstav + obsah pláště S = 2.(7, ,5.12) S = 2.( ) S = 336 cm 2 Porovnej: Využij sítě a vypočti obsah bočních stěn (4 obdélníků) najednou jako obsah velkého obdélníku, který tvoří plášť.

SpSpSpSp v SpSpSpSp Povrch pravidelného čtyřbokého hranolu, odvození vzorce na výpočet povrchu hranolů Povrch = součet obsahů všech stěn (obsah sítě) a a S = 2.S p + S pl S pl = o p.v S = 2.a.a + 4.a.v S pl obsah pláště S pl = o p.v = 4.a.v SpSpSpSp SpSpSpSp aaaa a v S p obsah podstavy v Povrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláště a S p =a.a

Povrch hranolu S = 2.S p + S pl SpSpSpSp S pl S pl = o p.v = obsah 2 podstav + obsah pláště S p obsah podstavy S pl obsah pláště (obvod podstavy vynásobíme výškou hranolu) SpSpSpSp SpSpSpSp S pl SpSpSpSp SpSpSpSp SpSpSpSp SpSpSpSp SpSpSpSp SpSpSpSp SpSpSpSp SpSpSpSp

Povrch trojbokého hranolu s podstavou Povrch hranolu = součet obsahů všech jeho stěn (obsah sítě). S = 2.S p + S pl S pl = o p.v S pl = (a+b+c).v S = a.b + (a+b+c).v a a b b c v Sp=Sp= C´ podstava plášť v c a b A C B A´ B´ SpSpSpSp SpSpSpSp S pl = o p. v Povrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláště

Vypočti povrch trojbokého hranolu s podstavou pravoúhlý trojúhelník o rozměrech a=3 cm, b=4 cm a c=5 cm. Výška tělesa je 6 cm. v=6 cm S = 2.S p + S pl S pl = o p.v S p = a.b:2 c=5 cm a=3 cm b=4 cm a=3 b=4 c=5 v=6 podstava plášť S pl Povrch trojbokého hranolu je 84 cm 2. S pl = ( 3+4+5).6 S pl =12.6 S pl = 72 cm 2 S p = 3.4:2 S p = 6 cm 2 S = S = 84 cm 2 S pl = (a+b+c).v SpSpSpSp SpSpSpSp Př.:

Vypočti povrch čtyřbokého hranolu s podstavou lichoběžník (základna a=2,5 cm a c=1 cm, ramena b=d=1,5 cm a výška v a =1,4 cm). Výška tělesa je 2,6 cm. S = 2.S p + S pl a=2,5 cm S = 2.2, ,9 S = 4,9 + 16,9 S = 21,8 cm 2 Povrch hranolu je 21,8 cm 2. c=1 cm b=1,5 cm d=1,5 cm v a =1,4 cm podstava v=2,6 a=2,5 b=1,5d=1,5c=1 S pl = (a+b+c+d).v plášť Sp = (a+c).v a : 2 S pl = o p.v S pl = ( 2,5+1,5+1+1,5).2,6 S pl =6,5.2,6 S pl = 16,9 cm 2 S p = (2,5+1).1,4:2 S p = 4,9:2 Sp= 2,45 cm 2 Př.: v=2,6 cm podstava

Př.: Ptačí budka má tvar kolmého čtyřbokého hranolu s podstavou pravoúhlého lichoběžníku. Vypočítej povrch. Rozměry jsou uvedené na obrázku. S = 2.S p + S pl a=46 cm S = S = S = 5064 cm 2 Povrch budky je 50,64 dm 2. S p = (a+c).v a : 2 S pl = o p.v S pl = ( ).24 S pl = S pl = cm 2 S p = (46+34).24:2 S p = 80.24:2 Sp= 1920:2 Sp= 960 cm 2 b=27 cm c=34 cm d=v=24 cm d=24 cm

Slovní úlohy na procvičení 1. Vypočítej povrch hranolu, který má výšku 21 cm a jehož podstavou je kosočtverec s délkou strany 16 cm a výškou 8 cm. 2. Hranol má výšku 9 cm, jeho podstavou je rovnoramenný trojúhelník se základnou c = 16 cm, v c = 6 cm a délkou ramen a =b = 10 cm. Vypočti povrch hranolu. 3. Vypočítej povrch hranolu, který má výšku 21 cm a jehož podstavou je rovnoramenný lichoběžník s délkami základen 25 cm a 13 cm, délkou ramene 10 cm a výškou 8 cm. S = 1600 cm 2 S p = 16.6:2 S p = 48 cm 2 S pl = ( ).9 S pl =324 cm 2 S = S = 420 cm 2 S p = (25+13).8:2 S p = 152 cm 2 S pl = ( ).21 S pl =1218 cm 2 S = S = 1522 cm 2 řešení

Vypočítej povrch hranolu, který má výšku 21 cm a jehož podstavou je kosočtverec s délkou strany 16 cm a výškou 8 cm. v a =8 cm a=16 cm v=21 cm S = 2.S p + S pl S pl = o p.v S p = a.v a Povrch hranolu je cm 2. S pl = S pl =1 344 cm 2 S p = 16.8 S p = 128 cm 2 S = S = 256 cm 2 S = 1600 cm 2 S pl = 4.a.v zpět 1.

Objem hranolu SpSpSpSp SpSpSpSp v V = S p. v S p = S p = S p = 20 cm 2 V = 20 cm 2. 6 cm V = 120 cm 3 a 1 = 4 cm b 2 = 2 cm a 2 = 4 cm v 1 = v 2 = = 6 cm b 1 = 3 cm V = V 1 + V 2 V = V = V = 120 cm 3 1 cm 3

Objem hranolu V = S p. v SpSpSpSp SpSpSpSp SpSpSpSp SpSpSpSp vv v v v v v.... výška (délka boční hrany) - obsah podstavy vynásobíme výškou hranolu S p.... obsah podstavy SpSpSpSp SpSpSpSp

Objem trojbokého hranolu V =.v a v b s podstavou pravoúhlý trojúhelník V = S p. v V =.v a v vava s podstavou rovnoramenný trojúhelník

Vypočti objem trojbokého hranolu s tělesovou výškou v = 10 cm a s podstavou tvaru trojúhelníku se stranou a = 7 cm a příslušnou výškou v a = 4,6 cm. 72/1 v=10 cm v a =4,6 cm a=7 cm V = 7.2,3. 10 V = 161 cm 3 V = S p. v V =.v V =. 10 Objem trojbokého hranolu je 161 cm 3.

Kůň potřebuje za rok 42 q sena. K jeho uskladnění je potřeba asi 80 m 3 prostoru. Vešlo by se seno na půdu pod sedlovou střechou, která je široká 5 m a od podlahy k hřebenu měří 4 m. Domek je dlouhý 15 m. v=15 m v a =4 m a=5 m V = V = 150 m 3 V = S p. v V =.v V =.15 Na půdu se vejde seno pro koně, protože objem půdy je 150 m 3.

Objem čtyřbokého hranolu s podstavou lichoběžník V = S p. v a v vava c v c a vava V =. v a c vava v

Kolik litrů vody se vejde do nádrže na dešťovou vodu znázorněnou na obrázku? 80 cm 60 cm 1,5 m 50 cm PS 56/5 V =. 15 V = V = 525 dm 3 V = 525 l Do nádrže se vejde 525 litrů vody. V =. v V = S p. v

Slovní úlohy na procvičení 1. Vypočítej objem hranolu, který má výšku 2 dm a jehož podstavou je lichoběžník s délkami základen 2,3 m a 1,7 m a výškou 0,8 m. 2. Hranol má výšku 4 dm, jeho podstavou je rovnoběžník s délkou strany 30 cm a výškou k této straně 20 cm. Vypočti objem hranolu. 3. Přes zaplavovanou oblast povede cesta po náspu. Násep bude dlouhý 1,5 km a bude mít v příčném řezu tvar rovno- ramenného lichoběžníku s délkami základen 12 m a 8 m a výškou 2 m. Vypočítej objem materiálu potřebného ke stavbě náspu. V = (2,3+1,7).0,8:2.0,2 V = 1,6.0,2 V =0,32 m 3 = 320 dm 3 V = 0,32 m 3 = 320 dm 3 V = V =24 dm 3 V = 24 dm 3 V = (12+8).2: V = V = m 3 V = m 3 řešení -1.příklad řešení -2.příklad řešení -3.příklad

Vypočítej povrch (v dm 2 ) a objem (v litrech) pravidelného čtyřbokého hranolu s tělesovou výškou v = 12 cm a s podstavou tvaru kosočtverce s délkou strany a = 10 cm a výškou k ní příslušnou v a = 9,4 cm. v a =9,4 cm a=10 cm v=12 cm 73/3 V = 1128 cm 3 1,128 dm 3 = 1,128 dm 3 V = a.v a.v V = 10.9,4.12 S = 2.S p + S pl S pl = o p.v S p = a.v a Povrch hranolu je 6,68 dm 2 a objem 1,128 litrů. S pl = S pl =480 cm 2 S p = 10.9,4 S p = 94 cm 2 S = S = 668 cm 2 S = 6,68 dm 2 S pl = 4.a.v

1. Pojmenuj toto těleso. 2. Co tvoří povrch a jak ho vypočítáš? Uveď vzorec. 3. Jak vypočítáš objem? Uveď vzorec. 3. Obsah podstavy vynásobíme výškou tělesa. S = 2.S p + S pl V = S p. v V =.v 1. Trojboký kolmý hranol. 2. Obsah 2 podstav a pláště.

Hmotnost tělesa objem tělesa vynásobíme hustotou látky tělesa m = V. ρ m.... hmotnost tělesa V..... objem tělesa ρ..... hustota látky tělesa

Slovní úlohy na procvičení 1. Skleněná tabule výlohy o rozměrech 120 cm, 140 cm a tloušťce skla 5 mm se rozbila. Jakou hmotnost mají střepy, když hustota skla ρ = kg/m 3 ? 2. Skleněný optický hranol je pravidelný trojboký hranol. Délka podstavné hrany je 3 cm a k ní příslušná výška 2,6 cm. Výška hranolu je 4 cm. Sklo, ze kterého je vyroben, má hustotu 3,6 g/cm 3. Vypočti jeho hmotnost. 3. Betonový obrubník má dole šířku 20 cm, nahoře 15 cm a je vysoký 20 cm. Kolik si jich můžeme naložit na přívěsný vozík za auto, když vozík má nosnost 400 kg? (Hustota betonu je kg/m 3.) PS 56/4 PS 57/7 řešení

Příklad 1 a=1,2 m b=1,4 m t=v=0,005 m V = a.b.c V = 1,2.1,4.0,005 V = 0,0084 m 3 Střepy mají hmotnost 21,84 kg. m = V. ρ m = 0, m = 21,84 kg rozměry vyjádříme v m Skleněná tabule výlohy o rozměrech 120 cm, 140 cm a tloušťce skla 5 mm se rozbila. Jakou hmotnost mají střepy, když hustota skla ρ = kg/m 3 ? zpět

Skleněný optický hranol je pravidelný trojboký hranol. Délka podstavné hrany je 3 cm a k ní příslušná výška 2,6 cm. Výška hranolu je 4 cm. Sklo, ze kterého je vy- roben, má hustotu 3,6 g/cm 3. Vypočti jeho hmotnost. 2,6 cm 3 cm 4 cm V = 3.1,3. 4 V = 15,6 cm 3 Skleněný hranol má hmotnost 56,16 g. V =. v V =.4 m = V. ρ m = 15,6. 3,6 m = 56,16 g V = S p. v PS 56/4 3 cm Příklad 2 zpět

Příklad 3 20 cm 15 cm 80 cm V = 0,35.0,1.0,8 V = 0,028 m 3 x = 6 obrubníků Na přívěsný vozík můžeme naložit 6 obrubníků. V =. v V =.0,8 m = V. ρ m = 0, m = 58,8 kg x = 400:58,8 x = 6,8 PS 57/7 V = S p. v zpět 3 Betonový obrubník má dole šířku 20 cm, nahoře 15 cm a je vysoký 20 cm. Jeho délka je 80 cm. Kolik jich můžeme naložit na přívěsný vozík za auto, když vozík má nosnost 400 kg? (Hustota betonu je kg/m 3.)

Pravidelný čtyřboký hranol V = S p. v SpSpSpSp v V = a.a.v S = 2.S p + S pl S p = a.a S = 2.a.a + 4.a.v v SpSpSpSp S pl = o p.v S pl = 4.a.v V = a.v a.v S = 2.a.v a + 4.a.v S p = a.v a S pl = 4.a.v s podstavou čtverec s podstavou kosočtverec objem povrch

Hranoly V = S p. v S = 2.S p + S pl S pl = o p.v S pl = (a+b+c).v S = (a+c).v a + (a+b+c+d).v S p = (a+c).v a : 2 S pl = (a+b+c+d).v s podstavou trojúhelník s podstavou lichoběžník SpSpSpSp v V =.v Sp =Sp =Sp =Sp = S = a.v a + (a+b+c).v SpSpSpSp v objempovrch

Kolmé hranoly- povrch a objem: matematika 7. ročník ZŠ Použitý software: držitel licence - ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. Windows XP Professional MS Office učebnice matematiky pro 7. ročník Zoner - České kliparty 1, 2, 3 Autor: Mgr. Bohumila Zajíčková ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. (