Ptačí úlohy

Martina Bečvářová Ústav aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT v Praze Na Florenci 25 Praha 1, Katedra didaktiky matematiky MFF UK Sokolovská 83 Praha 8,

Elementární diofantické rovnice ax + by = c, kde a, b, c jsou přirozená čísla později a, b, c jsou [nezáporná] racionální čísla řešení hledáme v množině přirozených čísel nehomogenní soustava n lineárně nezávislých lineár- ních rovnic o n + 1 neznámých obecněji: nehomogenní soustava n lineárně nezá- vislých lineárních rovnic o m neznámých, kde m > n neurčité rovnice prvního stupně teorie čísel

Metody řešení 1)zkusmo (experimentálně) 2)metoda dvou chybných předpokladů 3)postupné efektivní „probrání“ všech mož- ností [tabulka, schéma zápisu, substituce] 4)využití teorie čísel [dělitelnost] 5)využití teorie čísel [řetězové zlomky]

Otázky a)existence řešení … jak poznáme, že rovnice ax + by = c má celočíselné řešení b)nalezení všech řešení … máme-li jedno řešení (nalezené zkusmo/experimentálně), jak nalezne- me všechna celočíselná řešení

1. věta – odpověď na první otázku Rovnice ax + by = c, kde a, b, c jsou přirozená čísla, nsd(a, b) = D, má celočíselné řešení právě tehdy, když číslo c je dělitelné D.

2. věta – odpověď na druhou otázku Má-li rovnice ax + by = c, kde a, b, c jsou přirozená čísla, nsd(a, b) = D, celočíselné řešení (x 0, y 0 ), pak množina všech celočíselných řešení je dána rovnicemi x = x 0 + b/D · t, y = y 0 – a/D · t, kde t je celé číslo. Celočíselné řešení (x 0, y 0 ) lze najít pomocí algoritmu, který vychází z Eukleidova algoritmu pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel.

Vhodná literatura J. Herman, R. Kučera, J. Šimša: Metody řešení matematických úloh, PřF MU Brno, [výklad přes pojem kongruence, což pro střední školu není běžné a srozumitelné] Š. Znám: Teória čísel, Alfa, Bratislava, [přes dělitelnost, což je jednodušší a pro střední (do- konce i základní) školu přijatelné]

Čínská matematika – 2. až 11. století n. l. poprvé se objevuje úloha o ptácích = ptačí úloha Siou Jie (kolem 190 n. l.) Kolik je možné za 100 mincí koupit kohoutů, slepic a kuřat, jestliže jich dohromady je 100 a jestliže kohout stojí 5 mincí, slepice 4 mince a 4 kuřata jednu minci? [Ju, str. 81] Řešení: (15, 1, 84)

Komentář x … počet kohoutů y … počet slepic z … počet kuřat x, y, z … jsou přirozená číslo (0 nelze) x + y + z = 100 5x + 4y + 1/4 · z = 100 | x + 15y = 300 y = 20 – 19/15 · x x y z8084

Poznámky formulaci a řešení úlohy známe až do Čen Luana matematik a komentátor druhé poloviny 6. století Uvedena ještě jedna varianta úlohy: Kolik je možné za 100 mincí koupit kohoutů, slepic a kuřat, jestliže jich dohromady je 100 a jestliže kohout stojí 4 mincí, slepice 3 mince a 1 kuře jednu minci? [Ju, str. 81] Řešení: (8, 14, 78)

x … počet kohoutů y … počet slepic z … počet kuřat x, y, z … jsou přirozená číslo (0 nelze) x + y + z = 100 4x + 3y + 1/3 · z = 100 | x + 8y = 200 y = 25 – 11/8 · x x y z757881

ani Siou Jie, ani Čen Luan nepopisují postup řešení možná zkusmo, možná podobnou úvahou jako my metoda: pokus a omyl * * * * * A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha, 1977.

Čang Čchiou-t’ien (5. – 6. století) dílo: Suan-t’ing [Matematický traktát] Kohout stojí pět penízů, slepice tři peníze a tři kuřata jeden. Celkem za 100 penízů koupili 100 ptáků. Kolik koupili kohoutů, slepic a kuřat? [Ko, str. 96; Ju, str. 81] Řešení: (4, 18, 78), (8, 11, 81), (12, 4, 84)

Komentář x … počet kohoutů y … počet slepic z … počet kuřat x, y, z … jsou přirozená číslo (0 nelze) x + y + z = 100 5x + 3y + 1/3 · z = 100 | x + 8y = 200 y = 25 – 7/4 · x x y z

Poznámky Připomíná, že počet kohoutů vzrůstá o 4, počet slepic se zmenšuje o 7, počet kuřat roste o 3. Na každého kohouta přidej 4, na každou slepici uber 7, na každé kuře přidej 3 a dostaneš hledané. Parametrický systém? tj. x = 4k, y = 25 – 7k, z = k, kde k = 0, 1, 2, 3 Pravděpodobně: jedno či dvě řešení byla nalezena zkusmo nebo metodou dvou chybných předpokladů, další případná řešení již ze znalosti prvních dvou. Kvalitativnější pokrok v počtu řešení a pohledu na metodu.

* * * * * A. G. Konforovič: Významné matematické úlohy, SPN, Praha, 1989.

Alkuin (nar. okolo 735, zem. 804) studoval na katedrální škole v Yorku později učitel a správce knihovny uznávaný vzdělanec 781 se v Parmě setkal s Karlem Velikým (747–814) pracoval na jeho dvoře, pověřen organizací vzdě- lávacího systému, rozšiřování vzdělanosti 796 na vlastní žádost jmenován opatem kláštera sv. Martina v Tours

Propositiones ad acuendos iuvenes úlohy 5, 32, 33, 33a, 34, 38, 39 a 47 úlohy vedou na soustavu dvou lineárních rovnic o třech neznámých, která má být vyře- šena v oboru přirozených čísel Alkuin nepřijímal nulu jako řešení kromě 33a. a 34. úlohy mají všechny příklady v jeho duchu právě jedno řešení

Nějaký kupec řekl: Chci za sto denárů nakoupit 100 prasat, přičemž kanec stojí deset denárů, prasnice pět denárů a dvě selata jeden denár. Ať řekne, kdo rozumí, kolik je třeba koupit kanců, kolik prasnic a kolik selat, aby žádné z těchto dvou čísel nebylo ani překročeno, ani zmenšeno. [Ma, str. 13, úloha 5 ] Řešení: (1, 9, 90)vlámský žaltář ze 12. st.

x … počet kanců y … počet prasnic z … počet selat x + y + z = x + 5y + 1/2 · z = 100 | x + 9y = 100 x = 100/19 – 9/19 · y Alkuin asi zkusmo hledal řešení. Problém dokázat, že je jediné, nepociťoval.

x = 100/19 – 9/19 · y 0 < y < 12 x musí být nezáporné 100 – 9y musí být dělitelné 19 y x-- 1 z90

úloha 33a Nějaký otec rodiny měl 90 členů rodiny a nařídil dát jim 90 měřic obilí. A tak nařídil, že muži dostanou tři měřice a ženy dvě a každé půl měřice. Ať řekne, kdo se domnívá, že ví, kolik bylo mužů a kolik žen a kolik dětí. [Ma, str. 14] Řešení: x + y + z = 90 3x + 2y + 1/2 · z = 90 | x + 3y = 90 x = 18 – 3/5 · y y = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30.

Alkuinovo řešení není známé???? y x Z

úloha 34 Nějaký otec rodiny měl 100 členů rodiny, kterým nařídil dát 100 měřic obilí takovým způsobem, že muži dostanou tři měřice a ženy dvě a každé dítě půl měřice. Ať tedy řekne, kdo může, kolik bylo mužů a kolik žen a kolik dětí. [Ma, str. 14] Řešení: (11, 15, 74) x + y + z = 100 3x + 2y + 1/2 · z = 100 | x + 3y = 100 x = 20 – 3/5 · y y = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30.

y x Z

Alkuin dává vždy jen jedno řešení neuvádí úlohu, která nemá řešení neuvádí postup neužívá tabulku metoda zkusmého nalezení neuvádí popis algoritmu řešení inspirace ??? Diofantova Aritmetika zcela jistě ne, pravděpodobné jsou arabské vlivy (velbloudi) * * * * * K. Mačák: Tři středověké sbírky matematických úloh, edice Dějiny matematiky, sv. č. 15, Pro- metheus, Praha 2001, 101 stran.

Leonardo Pisánský zvaný Fibonacci (nar. asi 1170, zem. po 1240) nejvýznamnější matematik středově- ké Evropy autor několika matematických spi- sů, které byly překonány až na pře- lomu středověku a novověku

Liber abaci (Kniha o abaku) výklad zápisu čísel, základních početních metod (aritmetika, pí- semné algoritmy), základů alge- bry a teorie čísel demonstrováno na rozmanitých (zábavných) různě obtížných pří- kladech pestrost, efektivnost a hloubka výkladu (vklad ve zpracování) vliv arabských zdrojů též vlastní výsledky

Fibonacci a ptačí úlohy Liber abaci tři „ptačí“ úlohy první a druhá úloha – typické (klasické) slovní úlohy – dvě rovnice o třech neznámých – numericky naprosto totožné s „Alkuinem“ – Fibonnaci neuvádí nulová řešení – úlohy mají jen „jedno řešení“

třetí úloha – komplikovaná x + y + z + t = 30 3x + y + 1/2 · z + 1/4 · t = 30 | x + 3y + z = 90 z = 90 – 11x – 3y 0 < x < 9, 0 < y < 31, z/2 + t/4 přirozené číslo

x y z t x y z t

x y z t celkem 29 řešení Fibonacci uvádí 19 (10 „nulových“ neuvádí) neuvádí metodu nepopisuje algoritmus metoda: asi zkusmé nalezení všech řešení

Dopis Fibonacciho mistru Theodorovi (Epistola suprascripti Leonardi ad Magistrum Theodorum phylosophum domini Imperatoris, [Dopis podepsaného Leonarda Mistru Theodo- rovi, císařskému filozofovi], nedatováno) pět ptačích úloh první jednoduchá úloha druhá, třetí a čtvrtá úloha jsou modifikací první úlohy s gradací náročnosti pátá úloha − netriviální

30 ptáků stojí 30 mincí. Holub stojí 2 mince, 2 hrdličky jednu a 3 vrabci rovněž jednu. Kolik je kterých? [Be, str. 305] Řešení: (11, 10, 9) x + y + z = 30 | 2 2x + 1/2 · y + 1/3 · z = 30 | x + y = 120 y = 120 – 10x 9 < x < 13, y dělitelné 2, z dělitelné 3 x y20100 z0918

Fibonacci popisuje postup: jako by z první rovnice dosadil za z = 30 – x – y do rovnice druhé obdržel rovnici 10x + y = rozdělil na 10x a y, kde y je menší než 30

Oblíbená úloha cestující historií Někdo koupil za 30 penízů 30 ptáků a sice jedněch 3, druhých 2 kusy po 1, třetích pak kus po 2 penězích; kolik dostal kterých? [HS, str. 122] F. Hromádko, A. Strnad: Sbírka úloh z algebry, Praha, 1876.

druhá úloha – stejné ceny, pouze počet mincí a nakupo- vaných ptáků je 29 Řešení: (10, 16, 3), (11, 6, 12) x + y + z = 29 | 2 2x + 1/2 · y + 1/3 · z = 29 | x + y = 116 y = 116 – 10x 9 < x < 12, y dělitelné 2, z dělitelné 3 jiné řešení, než uvedl Fibonacci, neexistuje x1011 y166 z312

třetí úloha – stejné ceny, počet mincí a nakupovaných ptáků je 15 Řešení: nemá řešení x + y + z = 15 | 2 2x + 1/2 · y + 1/3 · z = 15 | x + y = 60 y = 60 – 10x 4 < x < 7, y dělitelné 2, z dělitelné 3 x56 y100 z09

Fibonacci není spokojen s tím, že úloha nemá řešení nalézá „nejlepší“ neceločíselné řešení (5½, 5, 4½) modifikuje zadání x + y + z = 15 | 2 2x + 1/2 · y + 1/3 · z = 16 | x + y = 66 y = 66 – 10x 5 < x < 7, y dělitelné 2, z dělitelné 3 dospívá k jedinému řešení (6, 6, 3)

čtvrtá úloha – modifikuje zadání, komplikuje podmínky x + y + z = 30 2x + 3y + 1/3 · z = 30 | x + 8y = 60 x = 12 – 8/5 · y 0 < y < 10, y je dělitelné 5, z dělitelné 3 y05 x124 z1821

pátá úloha – komplikovanější x + y + z + t = 24 | 3 3x + 2y + 1/3 · z + 1/5 · t = 24 | x + 27y + 2z = 288 z = 144 – 21x – 27/2 · y 0 < x < 7, 0 < y < 11, y je dělitelné 2, z dělitelné 3, t dělitelné 5

x y z t

Poznámka Fibonacci řeší i složitější úlohu, která vede na soustavu čtyř lineárních rovnic o pěti neznámých úlohy nemají „ptačí motivaci“, jedná se o dělení majetku mezi více lidí, které je komplikováno zlomky inspirací zde byly arabské zdroje * * * * * J. Bečvář a kol.: Matematika ve středověké Evropě, edice Dějiny matematiky, sv. č. 19, Prometheus, Praha 2001, 445 stran.

České učebnice matematiky – 16. století Ondřej Klatovský z Klatov (asi 1504–1551) Nowé knijžky wo počtech na cyfry a na liny, při tom niekteré welmi užitečné regule a exempla mince rozličné, podle biehu kupeckého krátce a užitečnie sebrané..., Praha, Jiří Mikuláš Brněnský (16. století) Knížka v níž obsahují se začátkové Umění aritmetického, tj. počtův na Cifry neb liný poznání pro pacholata a lidi kupecké sebraná, Praha, Geogr Goerl z Goerlštejna (asi 1550–1591) Arithmetica to gest knijžka početnij neb uměnij počtůw na linách a cyffrách skrze exempla a mince rozličné wšem w handlech, w auřadech, a w hospodářstwij se obijragijcým welmi užitečná a prospěšná, Praha, 1577, 87 listů, další vydání: 1597, 1610

Jiří Mikuláš Brněnský (16. století) Knížka v níž obsahují se začátkové Umění aritmetického, tj. počtův na Cifry neb liný poznání pro pacholata a lidi kupecké sebra- ná, Praha, mistr na univerzitě ve Wittenbergu 1564 rektor městské školy v Úsově 1566 majitel městské školy v Praze

1. část počítání na cifry 2. část počítání na liny více úloh z běžné kupecké a výrobní praxe

Jsou k jednomu řádu 20 osob, jakožto muži, ženy, panny a mají platiti 20 penízů bíl., i dává jeden muž 2 pen. bíl., 1 žena 1 pen. bíl. a 1 panna 1 pen. malý; jest otázka, co jest bylo každých obzvláště k tomu kvasu? [Še, str. 54] metoda dvou chybných předpokladů oblíbená metoda, neumožňovala však najít všechna řešení příklad uveden na osvětlení metody … když dva falešní a nepraví počtové se postavují, z kterých pravý počet vyjde

mužů 32 muži žen 76 žen dívek dívek – 2 – 4 [nedostatek po „dosazení do druhé podmínky“ [18, 16]] divisor 2 [rozdíl 2, 4] a)3 x x /2 x 1 = = 18 chybí 2 b)2 x x /2 x 1 = = 16 chybí 4 c)rozdíl nedostatků 4 – 2 = 2 muži (3 x 4 – 2 x 2) : (4 – 2) = 4 ženy (7 x 4 – 6 x 2) : (4 – 2) = 8 dívky (10 x 4 – 12 x 2) : (4 – 2) = 8 řešení (4, 8, 8)

My x + y + z = 20 2x + y + 1/2 · z = 20 | x + y = 20 y = 20 – 3x 0 < x < 7, z dělitelné 2 x y z

* * * * * J. Šedivý a kol.: Antologie matematických didaktických textů. Období 1360 – 1860, MFF UK, SPN, Praha, 1987, 264 stran (str. 57–58).

Arabská tradice – 9. až 15. století Abú Kámil (9./10. století) celým jménem Abú Kámil Šudžá ibn Aslam Ibn Muhammad al-Hásib al-Misrí žil asi 850 až 930 o jeho životě nemáme téměř žádné zprávy

Kniha aritmetických kuriozit [Kitáb tará ’if fi ’l-hisáb] známe z arabského opisu, který vytvořil Mas’úd ibn Muhammad al-Džulfarí v letech 1211 až 1218 práce přeložena do hebrejštiny, španělštiny, lati- ny, němčiny a češtiny sbírka úloh motivovaných nákupem či prodejem opeřenců (asi jako potrava) úlohy vedou (v dnešním pojetí) na řešení soustav dvou lineárních rovnic a třech až pěti neznámých řešení se hledalo v oboru přirozených čísel uvedena jsou všechna řešení, neuvažují se však případy, kdy některý opeřenec by byl nakupován v nulovém množství

1. úloha1 řešení 2. úloha6 řešení 3. úloha98 řešení (Kámil našel „jen“ 96) 4. úloha304 řešení 5. úloha0 řešení 6. úloha2676 řešení

třetí úloha Jak budeš počítat, když dostaneš sto drachem a je ti řečeno: kup za to sto ptáků čtyř druhů, totiž kachny, vrabce, holuby a kuřata, kachnu za čtyři drachmy, deset vrabců za jednu drachmu, dva holuby za jednu drachmu a kuře za jednu drachmu. [Ma, str. 65] soustava dvou rovnic o čtyřech neznámých

x + y + z + r = 100 4x + 1/10 · y + 1/2 · z + r = slovně popisuje svůj postup a úvahy 3x – 9/10 · y – 1/2 · z = 0 x = 3/10 · y + 1/6 · z počet vrabců (y) musí být dělitelný 10 počet holubů (z) musí být dělitelný 6

Kámil a) začne s y = 10, z = 6 a vypočte x = 4, r = 6 pak postupně za z bere 6, 12, …, 66 a pro každé z za y postupně dosazuje 10, 20, …, končí pro případ r = 0 (resp. r < 0) vypočte 44 různých „nenulových“ řešení

b) y je dělitelné 5, z je dělitelné 3 (sčítáme poloviny) vezme y = 5, z = 3, vypočte x = 2, r = 90 pak postupuje analogicky jako v případě a) „vypočte“ 54 dalších „nenulových“ řešení dvě řešení přehlédl ([ Ma], str. 65 ) 98 nenulových řešení, 24 nulových (44 nenulových a 13 nulových; 54 nenulových a 11 nulových)

x y z r

čtvrtá úloha Bylo ti dáno sto drachem a bylo ti řečeno: kup za to sto ptáků čtyř druhů, totiž kachny, holuby, skřivany a kuřata, kachnu za dvě drachmy, dva holuby za jednu drachmu, tři skřivany za jednu drachmu a kuře za jednu drachmu. [Ma, str. 66] soustava dvou rovnic o čtyřech nezná- mých

x + y + z + r = 100 2x + 1/2 · y + 1/3 · z + r = slovně popisuje svůj postup a úvahy x – 1/2 · y – 2/3 · z = 0 x = 1/2 · y + 2/3 · z počet holubů (y) musí být dělitelný 2 počet skřivanů (z) musí být dělitelný 3

Kámil a) postupně dosazuje z = 3, 6, 9, 12, …, 57 (60 již nelze, neboť 3/2 · y + r = 0) b) pro pevné z postupně dosazuje y = 2, 4, 6, 8, … c) počítá x, r

vypočte všech 304 řešení, neuvažuje nulová řešení (28) z = 331 řešení3314 řešení

pátá úloha Je ti dáno sto drachem a je ti řečeno: kup za to sto ptáků tří druhů, totiž kachny, kuřata a vrabce, kachnu za tři drachmy, tři kuřata za jednu drachmu, dvacet vrabců za jednu drachmu. [Ma, str. 66] soustava dvou rovnic o třech neznámých

x + y + z = 100 3x + 1/20 · y + 1/3 · z = 100 | slovně popisuje svůj postup a úvahy 8x – 17/20 · y = 200 x = 25 – 17/160 · y je zřejmé, že počet vrabců (y) musí být dělitelný 160 to je spor, neboť všech ptáků má být jen 100 úloha nemá řešení [řešení (25, 0, 75) není uvažováno]

šestá úloha Je ti dáno sto drachem a je ti řečeno: kup za to sto ptáků pěti druhů, totiž kachny, holuby, hřivnáče, skřivany a kuřata, kachnu za dvě drachmy, dva holuby za jednu drachmu, tři holuby hřivnáče za jednu drachmu, čtyři skřivany za jednu drachmu a jedno kuře za jednu drachmu. [Ma, str. 66] soustava dvou rovnic o pěti neznámých

x + y + z + u + v = 100 2x + 1/2 · y + 1/3 · z + 1/4 · u + v = slovně popisuje svůj postup a úvahy x – 1/2 · y – 2/3 · z – 3/4 · u = 0 x = 1/2 · y + 2/3 · z + 3/4 · u počet holubů hřivnáčů (z) musí být dělitelný 3 součet počtu skřivanů (u) a holubů (y) musí být přirozené číslo a) y je sudé a u je dělitelné 4 [1233 variant] a) y je liché a u sudé, ale u není dělitelné 4 [1443 variant]

Kámil ukazuje, jak všechny možnosti „efektivně přebrat“ jaký zvolit algoritmus konstatuje, že úloha má 2676 řešení pilný čtenář jistě dopočítá Kvalitativní změna v přístupu k řešení problému všechna nenulová řešení snaha detailně popsat algoritmus volba úloh s žádným, jedním, dvěma a více řešeními

* * * * * K. Mačák: Tři středověké sbírky matematických úloh, edice Dějiny matematiky, sv. č. 15, Pro- metheus, Praha 2001, 101 stran. A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha, 1977.

Leonhard Euler (1707–1783) Vollständige Anleitung zur Algebra, 1767 Neue Ausgabe, Verlag von Philipp Reclam jun., Leipzig, ????, 527 stran. 2. díl, 2. část, 2. kapitola, str. 350–356. šest úloh vedoucích na diofantické rovnice stručná a neúplná teorie promyšlená koncepce vždy uvedena „všechna“ existující řešení

třetí úloha [Eu, str. 352] nemá text, není klasickou slovní úlohou x + y + z = a fx + gy + hz = b popisuje odstranění z a následné řešení rovnice cx + dy = e následuje výklad na konkrétním příkladu

x + y + z = 100 | 3 7/2 · x + 4/3 · y + 1/2 · z = 51 | x + 5y = 6 y = 6/5 – 18/5 · x = (6 – 18x)/5 … čitatel nemůže být přirozené číslo úloha nemá řešení

čtvrtá úloha Jeden mincmistr měl tři druhy stříbra, 14-lotové, 11-lotové a 9-lotové. Celkové množství odpovídalo 30 kusům 12-lotového stříbra. Kolik měl kterého? [Eu, str. 353] x + y + z = 30 | 9 14x + 11y + 9z = 30 x 12 = x + 2y = 90 y = 45 – 5/2 · x x y z036912

Poznámka zdůrazňuje praktické použití znalosti pro minc- mistry, zlatníky, směnárníky... diofantická rovnice, není zde ptačí motivace uvádí i nulová řešení (jsou přípustná pro směnu, obvykle nejsou přístupná pro nákup)

pátá úloha Kdosi koupil 100 kusů dobytka za 100 peněz. 1 vůl stojí 10 peněz, 1 kráva je za 5, 1 tele za 2, 1 ovce za 1/2. Kolik koupil volů, krav, telat a ovcí? [Eu, str. 354]

x + y + z + u= x + 5y + 2z + 1/2 · u = 100 | x + 9y + 3z = 100 z = /3 – 6x – 1/3 · x – 3y z = 33 – 6x – 3y + (1 – x)/3

volba x – 1 = 3t, kde t je přirozené číslo x = 3t + 1 y = y z = 27 – 19t – 3y u = y + 16t ze třetí rovnice je patrné, že t = 0, 1 (2 již nelze 27 – 2 x 19 < 0) úlohu musíme vyřešit pro dva různé parametry

I. t = 0 x = 1 y = y z = 27 – 3y u = y ze třetí rovnice je zřejmé, že y = 0, 1, …, 9 x y z u

II. t = 1 x = 4 y = y z = 8 – 3y u = y ze třetí rovnice je zřejmé, že y = 0, 1, 2 x444 y012 z852 u889092

Eulerova poznámka 10 řešení je „řádných“ (nenulová) 3 řešení nevyhovují (nulová) soustava dvou lineárních rovnic o čtyřech nezná- mých nejobtížnější úloha klasická „ptačí úloha“

Indická matematika – 5. až 14. století neurčité rovnice prvního stupně problémy nejsou motivovány ptačími úlohami motivací byly astronomické výpočty, v nichž se hledala perioda pravidelně se opakujících dějů (např. postavení nebeských těles s různými dobami oběhu) nalezení celých čísel, které při dělení dvěma danými celými čísly dají předem stanovený zbytek

Árjabhata I. (nar. asi 476 až 550) dílo: Árjabhatíja (kolem 499) řeší úlohu N = ax + r 1, N = by + r 2, tj. chce rozdělit přirozené číslo N přirozenými čísly a, b tak, aby zbytky po dělení byly r 1 a r 2. řeší tedy úlohu ax + c = by, kde c > 0, a, b, c jsou přirozená čísla; a, b jsou nesoudělná

Další indičtí matematici Brahmagupta (asi 598 až 670) dílo: Brahmasphuta-siddhanta [Zdokonalení nauky Brahmovy, kolem 628] 18. kapitola – metoda kuttaka [„řetězové zlomky“] Bháskara II. (1114 – po 1178) dílo: Siddhánta – širómani [Koruna vědy, kolem 1150] dílo: Bídžaganita (2. kapitola, 55. až 57. sloka) zdokonalení metody kuttaka [řetězové zlomky]

Indická metoda – Bháskara II. ax + c = by předpoklady: 1)nsd(a, b) = 1 2)a > b 3)a, b jsou přirozená čísla 4)c je celé číslo 5)a/b … vyjádříme pomocí řetězového zlomku (konečný řetězový zlomek)

a/b = [q 0 ; q 1, q 2, …, q n-1, q n ] (kdyby a < b, q 0 = 0) k-tý přibližný zlomek: P k /Q k = [q 0 ; q 1, q 2, …, q k ] P n-1 /Q n-1 = [q 0 ; q 1, q 2, …, q n-1 ] a/b = P n /Q n = [q 0 ; q 1, q 2, …, q n ]

x = (-1) n · c · Q n-1 + b · t, y = (-1) n · c · P n-1 + a · t, kde t je celé číslo. Problém: jak najít q 0, q 1, q 2, …, q n-1, q n ? -- Eukleidův algoritmus pro nalezení nsd(a, b), kde a > b a = b · q 0 + b 1 b = b 1 · q 1 + b 2 b 1 = b 2 · q 2 + b 3... b n-2 = b n-1 · q n-1 + b n b n-1 = b n · q n nsd(a, b) = b n

Poznámka Bháskara II. a) je-li n sudé → algoritmus přímo poskytne kladné řešení b) je-li n liché → nutná korekce

100x + 90 = 63y /63 = [1; 1, 1, 2, 2, 1, 3] P 7 /Q 7 = [1; 1, 1, 2, 2, 1, 3] tedy n = 6 P 6 /Q 6 = [1; 1, 1, 2, 2, 1] = 27/17 řešení x = 90 · t → t,(t 0 = – 24) y = 90 · t → t, kde t je celé číslo Bháskara II. uvedl (30, 18), (81, 130) a (144, 230) [t = 0, 1, 2]

nsd(100, 63) = = 1 · = 1 · = 1 · = 2 · P 6 /Q 6 = 27/17 11 = 2 · = 1 · = 3 · 1 q0q0 q1q1 q2q2 q3q3 q4q4 q5q5 q6q

60x + 16 = 13y /13 = [4; 1, 1, 1, 1, 2] P 6 /Q 6 = [4; 1, 1, 1, 1, 2] tedy n = 5 P 5 /Q 5 = [4; 1, 1, 1, 1] = 23/5 řešení x = – 16 · t = – t, y = – 16 · t = – t, kde t je celé číslo

nsd(60, 13) = = 4 · = 1 · = 1 · P 5 /Q 5 = 23/5 5 = 1 · = 1 · = 2 · 1 q0q0 q1q1 q2q2 q3q3 q4q4 q5q

Převod na „kladné“ řešení x = – t = – 13 · 6 – t = – 2 + (t – 6) · 13, y = – t = – 60 · 6 – t = – 8 + (t – 6) · 60, kde t je celé číslo. nyní hledáme x 0 a y 0 kladné a minimální: t – 6 = 1, tudíž x 0 = 11 a y 0 = 52 x = t´, y = t´, kde t´ je celé číslo.

* * * * * A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve stře- dověku, Academia, Praha, I. Sýkorová: Kuttaka, str. 159–162, in J. Bečvář, M. Bečvářová (ed.): 34. mezinárodní konference Historie matematiky, Praha, 2013.

Děkuji za pozornost.