Ptačí úlohy.

Prezentace na téma: "Ptačí úlohy."— Transkript prezentace:

1 Ptačí úlohy

2 Ústav aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT v Praze
Martina Bečvářová Ústav aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT v Praze Na Florenci 25 Praha 1,

3 Elementární diofantické rovnice
ax + by = c, kde a, b, c jsou přirozená čísla později a, b, c jsou [nezáporná] racionální čísla řešení hledáme v množině přirozených čísel nehomogenní soustava n lineárně nezávislých lineár-ních rovnic o n + 1 neznámých obecněji: nehomogenní soustava n lineárně nezá-vislých lineárních rovnic o m neznámých, kde m > n neurčité rovnice prvního stupně teorie čísel

4 Metody řešení zkusmo (experimentálně) metoda dvou chybných předpokladů
postupné efektivní „probrání“ všech možností [tabulka, schéma zápisu, substituce] využití teorie čísel [dělitelnost] využití teorie čísel [kongruence] využití teorie čísel [řetězové zlomky]

5 Otázky existence řešení … jak poznáme, že rovnice má celočíselné řešení nalezení všech řešení … máme-li jedno řešení (nalezené zkusmo/experimentálně), jak nalezne-me všechna celočíselná řešení

6 1. věta – odpověď na první otázku
Rovnice ax + by = c, kde a, b, c jsou přirozená čísla, nsd(a, b) = D, má celočíselné řešení právě tehdy, když číslo c je dělitelné D.

7 2. věta – odpověď na druhou otázku
Má-li rovnice ax + by = c, kde a, b, c jsou přirozená čísla, nsd(a, b) = D, celočíselné řešení (x0, y0), pak množina všech celočíselných řešení je dána rovnicemi x = x0 + b/D · t, y = y0 – a/D · t, kde t je celé číslo. Celočíselné řešení (x0, y0) lze najít pomocí algoritmu, který vychází z Eukleidova algoritmu pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel.

8 Vhodná literatura J. Herman, R. Kučera, J. Šimša: Metody řešení matematických úloh, PřF MU Brno, 1996. [výklad přes pojem kongruence, což pro střední školu není běžné a srozumitelné] Š. Znám: Teória čísel, Alfa, Bratislava, 1977. [přes dělitelnost, což je jednodušší a pro střední (do-konce i základní) školu přijatelné]

9 Čínská matematika – 2. až 11. století n. l.
poprvé se objevuje úloha o ptácích = ptačí úloha Siou Jie (kolem 190 n. l.) Kolik je možné za 100 mincí koupit kohoutů, slepic a kuřat, jestliže jich dohromady je 100 a jestliže kohout stojí 5 mincí, slepice 4 mince a 4 kuřata jednu minci? [Ju, str. 81] Řešení: (15, 1, 84)

10 Komentář x … počet kohoutů y … počet slepic z … počet kuřat x, y, z … jsou přirozená číslo (0 nelze) x + y + z = 100 5x + 4y + 1/4 · z = | 4 19x + 15y = 300 y = 20 – 19/15 · x x 15 30 y 20 1 -18 z 80 84

11 Poznámky formulaci a řešení úlohy známe až do Čen Luana matematik a komentátor druhé poloviny 6. století Uvedena ještě jedna varianta úlohy: Kolik je možné za 100 mincí koupit kohoutů, slepic a kuřat, jestliže jich dohromady je 100 a jestliže kohout stojí 4 mince, slepice 3 mince a 3 kuřata jednu minci? [Ju, str. 81] Řešení: (8, 14, 78)

12 x … počet kohoutů y … počet slepic z … počet kuřat x, y, z … jsou přirozená číslo (0 nelze) x + y + z = 100 4x + 3y + 1/3 · z = | 3 11x + 8y = 200 y = 25 – 11/8 · x x 8 16 24 y 25 14 3 -8 z 75 78 81

13 ani Siou Jie, ani Čen Luan nepopisují postup řešení
možná zkusmo, možná podobnou úvahou jako my metoda: pokus a omyl * * * * * A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha, 1977.

14 Čang Čchiou-t’ien (5. – 6. století)
dílo: Suan-t’ing [Matematický traktát] Kohout stojí pět penízů, slepice tři peníze a tři kuřata jeden. Celkem za 100 penízů koupili 100 ptáků. Kolik koupili kohoutů, slepic a kuřat? [Ko, str. 96; Ju, str. 81] Řešení: (4, 18, 78), (8, 11, 81), (12, 4, 84)

15 Komentář x … počet kohoutů y … počet slepic z … počet kuřat
x, y, z … jsou přirozená číslo (0 nelze) x + y + z = 100 5x + 3y + 1/3 · z = | 3 14x + 8y = 200 y = 25 – 7/4 · x x 4 8 12 16 y 25 18 11 -3 z 75 78 81 84

16 Poznámky Připomíná, že počet kohoutů vzrůstá o 4, počet slepic se zmenšuje o 7, počet kuřat roste o 3. Na každého kohouta přidej 4, na každou slepici uber 7, na každé kuře přidej 3 a dostaneš hledané. Parametrický systém? tj. x = 4k, y = 25 – 7k, z = k, kde k = 0, 1, 2, 3 Pravděpodobně: jedno či dvě řešení byla nalezena zkusmo nebo metodou dvou chybných předpokladů, další případná řešení již ze znalosti prvních dvou. Kvalitativnější pokrok v počtu řešení a pohledu na metodu.

17 * * * * * A. G. Konforovič: Významné matematické úlohy, SPN, Praha, 1989.

18 další autoři zabývající se ptačími úlohami:
Li Čchun-feng (605–673) komentátor, matematik, reformátor kalendáře Sie Čcha-wej (11. století) oblíbená tématika, nedošlo však k pokroku

19 Matematika v devíti knihách (kapitolách)
sepsána asi v období 6 př. n. l. až 80. n. l. obsah se ustaloval v 1. až 3. století první dochovaná verze z 263 n. l. (sbírka úloh z doby Han s komentářem Lui Huie z doby Wei) následně bohatě studována a komentována

20 2. kniha “Obilí a zrno“ výpočty množství jednoho nebo několika před-mětů ze znalosti ceny určitého počtu týchž před-mětů (trojčlenka) komplikováno různými převody jednotek neurčité rovnice prvního stupně speciální úlohy výpočet ceny (množství) dvou předmětů, mezi nimiž jsou vztahy popsány pomocí „tří rovnic o čtyřech neznámých“ převod na „jednu rovnici o dvou nezná-mých“ požadováno celočíselné řešení (přesněji v N)

21 2. kniha, 38. úloha Mějme vydání 576 měďáků, koupíme 78 kusů bambusu. Chceme jej poměřit k menšímu a větší-mu [kusu], ptáme se, za kolik je který? Odpověď zní: 48 kusů z něj je za 7 měďáků za kus. 30 kusů z něj je za 8 měďáků za kus. [Hu, str. 91]

22 Komentář V zadání není uvedeno, že rozdíl cen mezi větším kusem a menším kusem bambusu je 1 měďák. Označme x, y … počet kusů menšího/většího bambusu u, v … cena za kus menšího/většího bambusu x + y = 78 u · x + v · y = 576 v = u + 1

23 x + y = 78 → x = 78 – y u · x + u · y + y = 576 78u + y = 576 umělé rozdělení na celou část a zlomkovou část u + 1/78 · y = /78 jediné řešení u = 7 v = 8 y = 30 x = 48

24 my snadno a názorně ukážeme, že řešení je jediné
y = 576 – 78u, kde u = 0, 1, 2, …, 7 x + y = 78 u 1 2 3 4 5 6 7 8 y 576 498 420 342 264 186 108 30 -48 x 48 v

25 V kapitole následuje 8 podobných úloh (kupuje se hedvábí, dříky na šípy, peří, nit apod.)
Poznámka úlohy jsou tvaru x + y = m/n, kde m, n jsou přirozená čísla u · x + v · y = A, kde A · n > m v = u + 1

26 Řešení užívá substituce
x´= x · n, y´= y · n. x´ + y´ = m u · x´ + v · y´=A · n v = u + 1 u · m + y´= A · n u +1/m · y´ = An/m celá část An/m u „zbytek“ y’

27 úkolem je najít jedno řešení
úlohy voleny tak, že existuje právě jedno řešení nehledá se obecná metoda (nehledají se všechna řešení) nejedná se o typické ptačí úlohy současní autoři nepovažují za „neurčité“ rovnice prvního stupně např. [Hu] vykládá jako hledání relativní pozice ceny mezi horní a dolní cenou

28 * * * * * J. Hudeček: Matematika v devíti kapitolách. Překlad, vysvětlivky a úvod, edice Dějiny matema-tiky, sv. č. 37, Matfyzpress, Praha 2008, 244 stran.

29 Alkuin (nar. okolo 735, zem. 804) studoval na katedrální škole v Yorku
později učitel a správce knihovny uznávaný vzdělanec 781 se v Parmě setkal s Karlem Velikým (747–814) pracoval na jeho dvoře, pověřen organizací vzdě-lávacího systému, rozšiřování vzdělanosti 796 na vlastní žádost jmenován opatem kláštera sv. Martina v Tours

30 Propositiones ad acuendos iuvenes
úlohy 5, 32, 33, 33a, 34, 38, 39 a 47 úlohy vedou na soustavu dvou lineárních rovnic o třech neznámých, která má být vyře-šena v oboru celých nezáporných čísel Alkuin nepřijímal nulu jako řešení kromě 33a. a 34. úlohy mají všechny příklady v jeho duchu právě jedno řešení

31 Nějaký kupec řekl: Chci za sto denárů nakoupit 100 prasat, přičemž kanec stojí deset denárů, prasnice pět denárů a dvě selata jeden denár. Ať řekne, kdo rozumí, kolik je třeba koupit kanců, kolik prasnic a kolik selat, aby žádné z těchto dvou čísel nebylo ani překročeno, ani zmenšeno. [Ma, str. 13] Řešení: (1, 9, 90) vlámský žaltář ze 12. století

32 x … počet kanců y … počet prasnic z … počet selat x + y + z = 100 10x + 5y + 1/2 · z = | 2 19x + 9y = 100 x = 100/19 – 9/19 · y Alkuin asi zkusmo hledal řešení. Problém dokázat, že je jediné nepociťoval.

33 x = 100/19 – 9/19 · y 0 < y < 12 x musí být nezáporné 100 – 9y musí být dělitelné 19 y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x -- z 90

34 Nějaký otec rodiny měl dvacet členů rodiny a nařídil dát jim dvacet měřic obilí: nařídil, že muži dostanou tři měřice a ženy dvě a každé dítě půl měřice. Řekni, kdo můžeš, kolik musí být mužů, kolik žen a kolik dětí. [Ma, str. 13 –14] Řešení: (1, 5, 14) x + y + z = 20 3x + 2y + 1/2 · z = 20 | 2 5x + 3y = 20 x = 4 – 3/5 · y y = 0, 5. y 5 10 x 4 1 -2 z 16 14

35 Nějaký otec rodiny měl 30 členů rodiny a nařídil dát jim 30 měřic obilí. A nařídil, že muži dostanou tři měřice a ženy dvě a každé dítě půl měřice. Ať řekne, kdo může, kolik bylo mužů a kolik žen a kolik dětí. [Ma, str. 14] Řešení: (3, 5, 22) x + y + z = 30 3x + 2y + 1/2 · z = 30 | 2 5x + 3y = 30 x = 6 – 3/5 · y y = 0, 5, 10. y 5 10 15 x 6 3 -3 z 24 22 20

36 Nějaký otec rodiny měl 90 členů rodiny a nařídil dát jim 90 měřic obilí. A tak nařídil, že muži dostanou tři měřice a ženy dvě a každé půl měřice. Ať řekne, kdo se domnívá, že ví, kolik bylo mužů a kolik žen a kolik dětí. [Ma, str. 14] Řešení: x + y + z = 90 3x + 2y + 1/2 · z = 90 | 2 5x + 3y = 90 x = 18 – 3/5 · y y = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30.

37 Alkuinovo řešení není známé????
y 5 10 15 20 25 30 35 x 18 12 9 6 3 -3 Z 72 70 68 66 64 63 60

38 Nějaký otec rodiny měl 100 členů rodiny, kterým nařídil dát 100 měřic obilí takovým způsobem, že muži dostanou tři měřice a ženy dvě a každé dítě půl měřice. Ať tedy řekne, kdo může, kolik bylo mužů a kolik žen a kolik dětí. [Ma, str. 14] Řešení: (11, 15, 74) x + y + z = 100 3x + 2y + 1/2 · z = | 2 5x + 3y = 100 x = 20 – 3/5 · y y = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30.

39 y 5 10 15 20 25 30 35 x 17 14 11 8 2 -1 Z 80 78 76 74 72 70 68

40 Nějaký muž chtěl koupit sto zvířat za sto zlatých, přičemž kůň se kupuje za tři zlaté, kráva za jeden zlatý a 24 ovcí za jeden zlatý. Řekni, kdo jsi s to, kolik bylo koní, kolik krav a kolik ovcí. [Ma, str. 14] Řešení: (23, 29, 48) x + y + z = 100 3x + y + 1/24 · z = | 24 71x + 23y = 2300 y = 100 – 71/23 · x x = 0, 23. x 23 46 y 100 29 -42 z 48

41 Nějaký muž chtěl koupit za sto zlatých v orientu zboží
Nějaký muž chtěl koupit za sto zlatých v orientu zboží. Nařídil svému sluhovi, ať je velbloud koupen za pět zlatých, osel za jeden zlatý a dvacet ovcí za jeden zlatý. Řekni, kdo chceš, kolik bylo za sto zlatých koupeno velbloudů, kolik oslů a kolik ovcí. [Ma, str. 14] Řešení: (19, 1, 80) x + y + z = 100 5x + y + 1/20 · z = | 20 99x + 19y = 1900 y = 100 – 99/19 · x x = 0, 19. x 19 38 y 100 1 -98 z 80

42

43 Nějaký biskup rozkázal rozdělit klerikům dvanáct chlebů
Nějaký biskup rozkázal rozdělit klerikům dvanáct chlebů. Nařídil, aby každý kněz dostal dva chleby, každý jáhen polovinu chleba a každý lektor čtvrtinu chleba; přitom počet kleriků byl stejný jako počet chlebů. Řekni, kdo jsi s to, kolik muselo být kněží, kolik jáhnů a kolik lektorů. [Ma, str. 14] Řešení: (5, 1, 6) x + y + z = 12 2x + 1/2 · y + 1/4 · z = 12 | 4 7x + y = 36 y = 36 – 7x x = 0, 1, …, 5. x 1 2 3 4 5 6 y 36 29 22 15 8 -6 z

44 Alkuin dává vždy jen jedno řešení
neuvádí úlohu, která nemá řešení neuvádí postup neužívá tabulku metoda zkusmého nalezení neuvádí popis algoritmu řešení inspirace ??? Diofantova Aritmetika zcela jistě ne, pravděpodobné jsou arabské vlivy (velbloudi) * * * * * K. Mačák: Tři středověké sbírky matematických úloh, edice Dějiny matematiky, sv. č. 15, Pro-metheus, Praha 2001, 101 stran. 

45 Leonardo Pisánský zvaný Fibonacci (nar. asi 1170, zem. po 1240)
nejvýznamnější matematik středově-ké Evropy autor několika matematických spi-sů, které byly překonány až na pře-lomu středověku a novověku

46 Liber abaci (Kniha o abaku)
inspirativní a ceněné dílo (výpisy) výklad zápisu čísel, základních početních metod (aritmetika, pí-semné algoritmy), základů alge-bry a teorie čísel demonstrováno na rozmanitých (zábavných) různě obtížných pří-kladech pestrost, efektivnost a hloubka výkladu (vklad ve zpracování) vliv arabských zdrojů též vlastní výsledky

47 Fibonacci a ptačí úlohy
Liber abaci 30 ptáků stojí 30 mincí. Jedna koroptev stojí 3 mince, holub 2 mince a 2 vrabci jednu minci. Kolik je kterých? [Be, str. 305] Řešení: (3, 5, 22) x + y + z = 30 3x + 2y + 1/2 · z = 30 neuvádí (0, 10, 20), (6, 0, 24) úloha je numericky totožná s „Alkuinem“

48 druhá úloha – numericky totožná s Alkuinovou úlohou o dělení 12 chlebů mezi 12 mnichů (kněží, jáhnové, lektoři) Řešení: (5, 1, 6) x + y + z = 12 2x + 1/2 · y + 1/4 · z = 12 Řešení (4, 8, 0) není uvedeno.

49 třetí úloha – komplikovaná
x + y + z + t = 30 3x + y + 1/2 · z + 1/4 · t = | 4 11x + 3y + z = 90 z = 90 – 11x – 3y 0 < x < 9, 0 < y < 31, z/2 + t/4 přirozené číslo

50 x 2 3 y 30 20 21 22 15 16 17 18 19 z 8 5 12 9 6 t 4 x 4 5 6 y 15 7 8 1 2 z 20 17 14 11 24 21 18 t

51 x 6 7 8 y 3 4 5 1 2 z 15 12 9 13 10 t 14 18 16 20 celkem 29 řešení Fibonacci uvádí 19 (10 „nulových“ neuvádí) neuvádí metodu nepopisuje algoritmus metoda: asi zkusmé nalezení všech řešení

52 Dopis Fibonacciho mistru Theodorovi
(Epistola suprascripti Leonardi ad Magistrum Theodorum phylosophum domini Imperatoris, [Dopis podepsaného Leonarda Mistru Theodo-rovi, císařskému filozofovi], nedatováno) několik triviálních i netriviálních ptačích úloh

53 30 ptáků stojí 30 mincí. Holub stojí 2 mince, 2 hrdličky jednu a 3 vrabci rovněž jednu. Kolik je kterých? [Be, str. 305] Řešení: (11, 10, 9) x + y + z = | 2 2x + 1/2 · y + 1/3 · z = 30 | 6 10x + y = 120 y = 120 – 10x 9 < x < 13, y dělitelné 2, z dělitelné 3 x 10 11 12 y 20 z 9 18

54 Fibonacci popisuje postup:
jako by z první rovnice dosadil za z = 30 – x – y do rovnice druhé obdržel rovnici 10x + y = 120 120 rozdělil na 10x a y, kde y je menší než 30

55 Oblíbená úloha cestující historií
Někdo koupil za 30 penízů 30 ptáků a sice jedněch 3, druhých 2 kusy po 1, třetích pak kus po 2 penězích; kolik dostal kterých? [HS, str. 122] F. Hromádko, A. Strnad: Sbírka úloh z algebry, Praha, 1876.

56

57 druhá úloha – stejné ceny, pouze počet mincí a nakupo-vaných ptáků je 29
Řešení: (10, 16, 3), (11, 6, 12) x + y + z = | 2 2x + 1/2 · y + 1/3 · z = | 6 10x + y = 116 y = 116 – 10x 9 < x < 12, y dělitelné 2, z dělitelné 3 jiné řešení, než uvedl Fibonacci, neexistuje x 10 11 y 16 6 z 3 12

58 třetí úloha – stejné ceny, počet mincí a nakupovaných ptáků je 15
Řešení: nemá řešení x + y + z = | 2 2x + 1/2 · y + 1/3 · z = | 6 10x + y = 60 y = 60 – 10x 4 < x < 7, y dělitelné 2, z dělitelné 3 x 5 6 y 10 z 9

59 Fibonacci není spokojen s tím, že úloha nemá řešení
nalézá „nejlepší“ neceločíselné řešení (5½, 5, 4½) modifikuje zadání x + y + z = | 2 2x + 1/2 · y + 1/3 · z = | 6 10x + y = 66 y = 66 – 10x 5 < x < 7, y dělitelné 2, z dělitelné 3 dospívá k jedinému řešení (6, 6, 3)

60 čtvrtá úloha – modifikuje zadání, komplikuje podmínky
x + y + z = 30 2x + 3y + 1/3 · z = | 3 5x + 8y = 60 x = 12 – 8/5 · y 0 < y < 10, y je dělitelné 5, z dělitelné 3 y 5 x 12 4 z 18 21

61 --------------------------------------------- 42x + 27y + 2z = 288
pátá úloha – komplikovanější x + y + z + t = | 3 3x + 2y + 1/3 · z + 1/5 · t = | 15 42x + 27y + 2z = 288 z = 144 – 21x – 27/2 · y 0 < x < 7, 0 < y < 11, y je dělitelné 2, z dělitelné 3, t dělitelné 5

62 x 1 3 4 5 6 y 10 8 2 z 9 15 12 18 t

63 Poznámka Fibonacci řeší i složitější úlohu, která vede na soustavu čtyř lineárních rovnic o pěti neznámých úlohy nemají „ptačí motivaci“, jedná se o dělení majetku mezi více lidí, které je komplikováno zlomky inspirací zde byly arabské zdroje * * * * * J. Bečvář a kol.: Matematika ve středověké Evropě, edice Dějiny matematiky, sv. č. 19, Prometheus, Praha 2001, 445 stran.

64 České učebnice matematiky – 16. století
Ondřej Klatovský z Klatov (asi 1504–1551) Nowé knijžky wo počtech na cyfry a na liny, při tom niekteré welmi užitečné regule a exempla mince rozličné, podle biehu kupeckého krátce a užitečnie sebrané ..., Praha, 1530. 1524 bakalář UK, matematik

65

66 1. část zápis čísel, aritmetické operace, zkoušky (7, 9), aritmetická posloupnost, trojčlenka – písemné počítání 2. část totéž na linách 3. část počítání se zlomky (základní operace) a jednoduché slovní úlohy řešitelné z paměti 4. část slovní úlohy ze života (obchod, dědictví), trojčlenka, řetězový počet,diofantické rovnice, směšovací počet, procenta a úroky Standardní zpracování učebního textu, autor se řídil osvědčenými zdroji.

67 26 osob na jednom kvasu propilo 88 pen
26 osob na jednom kvasu propilo 88 pen. bílých, při tom kvase byli muži, ženy a panny, z mužů 1 osoba dáti měla 6 pen., z žen 4 pen. a z panen jedna 2 pen. Otázka: kolik jest při tom cechu anebo kvasu mužů bylo, kolik žen, kolik panen. [Še, str. 44] metoda chybného předpokladu kombinovaná s úva-hou?

68 Postup Osob muž penízů žena dívka 2 1) nejmenším počtem penízů vynásob počet lidí 26 x 2 = 52 2) – = 36 („dosadil“ z první podmínky do druhé) 4 – 2 = 2 6 – 2 = 4 3) 36 : 4 = 9 … vezme jen 8, aby zbylo i na dívky 4 x 8 = 32 a do 36 chybí 4 4 : 2 = 2

69 první řešení … 4 x 8 = mužů … 4 : ženy 26 – 10 = dívek druhé řešení 6 … 36 : 4 = 6, zbude mužů … 12 : 2 = žen 26 – 12 = dívek

70 My x + y + z = 26 | 2 6x + 4y + 2z = 88 4x + 2y = 36 y = 18 – 2x 0 < x < 10 Klatovský uvádí pouze červené varianty, zdůvodňuje nepři-jatelnost zelených, černé neuvádí x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 18 16 14 12 10 z 11 13 15 17

71 Jiří Mikuláš Brněnský (16. století)
Knížka v níž obsahují se začátkové Umění aritmetického, tj. počtův na Cifry neb liný poznání pro pacholata a lidi kupecké sebra-ná, Praha, 1567. 1556 mistr na univerzitě ve Wittenbergu 1564 rektor městské školy v Úsově 1566 majitel městské školy v Praze

72 1. část počítání na cifry 2. část počítání na liny více úloh z běžné kupecké a výrobní praxe

73 Jsou k jednomu řádu 20 osob, jakožto muži, ženy, panny a mají platiti 20 penízů bíl., i dává jeden muž 2 pen. bíl., 1 žena 1 pen. bíl. a 1 panna 1 pen. malý; jest otázka, co jest bylo každých obzvláště k tomu kvasu? [Še, str. 54] metoda dvou chybných předpokladů oblíbená metoda, neumožňovala však najít všechna řešení příklad uveden na osvětlení metody … když dva falešní a nepraví počtové se postavují, z kterých pravý počet vyjde

74 mužů 3 2 muži žen 7 6 žen dívek 10 12 dívek divisor 2 [rozdíl 2, 4]
– – [nedostatek po „dosazení do druhé podmínky“ [18, 16]] divisor [rozdíl 2, 4] 3 x x /2 x 1 = = 18 chybí 2 2 x x /2 x 1 = = 16 chybí 4 rozdíl nedostatků 4 – 2 = 2 muži (3 x 4 – 2 x 2) : (4 – 2) = 4 ženy (7 x 4 – 6 x 2) : (4 – 2) = 8 dívky (10 x 4 – 12 x 2) : (4 – 2) = 8 řešení (4, 8, 8)

75 My x + y + z = 20 2x + y + 1/2 · z = | 2 3x + y = 20 y = 20 – 3x 0 < x < 7, z dělitelné 2 x 1 2 3 4 5 6 y 20 17 14 11 8 z 10 12

76 úloha na procvičení Jeden chce koupiti za 40 gr. alb. trojích živočichů, jakožto husí, kuřat a holubú, též na počtu za 40 a prodává se jemu jedna hus za 2 gr. alb., 1 kuře za 1 gr. alb. a 2 holuby za 1 gr. alb., jest otázka, kolik každého živočichu koupiti se má. [Še, str. 55]

77 Geogr Goerl z Goerlštejna (asi 1550–1591)
Arithmetica to gest knijžka početnij neb uměnij počtůw na linách a cyffrách skrze exempla a mince rozličné wšem w handlech, w auřadech, a w hos-podářstwij se obijragijcým welmi užitečná a pros-pěšná, Praha, 1577, 87 listů. další vydání: 1597, 1610 asi nejpropracovanější a nejnáročnější česká hu-manistická učebnice matematiky Němec, česky se naučil u příbuzných v Lito-měřicích, od 70. let žil v Praze, učebnici sepsal nej-prve německy, potom vyšly 3 české tisky

78 1. část zápis čísel slovně (latinsky, česky), zápis čísel (římské cifry, arabské, liny) 2. část výklad písemných algoritmů a výklad počítání na linách 3. část výklad počítání se zlomky 4. část příklady z běžného života (kupecké počty) 5. část kratochvilné příklady, základy geometrie

79 Jeden chce koupiti za 40 grošů trojích živočichů, jakožto husí, kuřat a holubů, též na počtu za 40 a pro-dává se jemu jedna hus za 2 groše, 1 kuře za 1 groš a 2 holubi za 1 groš. Jest otázka, kolik každého živočicha koupiti má. [Še, str. 66] totožná jako úloha u Jiřího Mikuláše Brněnského stejná metoda – regula falsa (metoda dvou chybných předpokladů) uvedeno pouze jedno řešení (6, 22, 12)

80 Postup husy husí kuřata kuřat holubi holubů [přebytek po „dosazení do druhé podmínky“] [48, resp. 44] divisor [rozdíl 8, 4] husy x 8 – 12 x 4 = 24 24 : 4 = 6 kuřata x 8 – 20 x 4 = 88 88 : 4 = 22 holubi x 10 – 8 x 4 = 48 48 : 4 = 12 řešení (6, 22, 12)

81 My x + y + z = 40 2x + y + 1/2 · z = | 2 3x + y = 40 y = 40 – 3x 0 < x < 14, z dělitelné 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40 37 34 31 28 25 22 19 16 14 18 20 24 26

82 -------------------------
jiná metoda x + y + z = 40 2x + y + 1/2 · z = 40 volba z = 2k, k = 0, …, 20 (nelze více než 20) x + y = 40 – 2k 2x + y = 40 – k x = k, y = 40 – 3k, z = 2k

83 * * * * * J. Šedivý a kol.: Antologie matematických didaktických textů. Období 1360 – 1860, MFF UK, SPN, Praha, 1987, 264 stran (str. 57–58).

84 Arabská tradice – 9. až 15. století
Abú Kámil (9./10. století) celým jménem Abú Kámil Šudžá ibn Aslam Ibn Muhammad al-Hásib al-Misrí žil asi 850 až 930 o jeho životě nemáme téměř žádné zprávy

85 Kniha aritmetických kuriozit
[Kitáb tará ’if fi ’l-hisáb] známe z arabského opisu, který vytvořil Mas’úd ibn Muhammad al-Džulfarí v letech 1211 až 1218 práce přeložena do hebrejštiny, španělštiny, lati-ny, němčiny a češtiny sbírka úloh motivovaných nákupem či prodejem opeřenců (asi jako potrava) úlohy vedou (v dnešním pojetí) na řešení soustav dvou lineárních rovnic a třech až pěti neznámých řešení se hledalo v oboru přirozených čísel uvedena jsou všechna řešení, neuvažují se však případy, kdy některý opeřenec by byl nakupován v nulovém množství

86 1. úloha 1 řešení 2. úloha 6 řešení 3. úloha 98 řešení (Kámil našel „jen“ 96) 4. úloha 304 řešení 5. úloha 0 řešení 6. úloha 2676 řešení

87 [Ma, str. 64] řešení: (19, 1, 80) první úloha
Je ti dáno sto drachem a máš za ně koupit sto ptáků tří druhů: kachny, kuřata a vrabce, jedna kachna stojí pět drachem, dvacet vrabců jednu drachmu a jedno kuře jednu drachmu. [Ma, str. 64] řešení: (19, 1, 80) totožné číselné zadání jako u Alkuina (velbloud, osel, ovce)

88 ----------------------------
x + y + z = 100 5x + y + 1/20 · z = 100 slovně popisuje svůj postup a úvahy 4x + 19/20 · z = 0 z = (20 · 4) · x /19 x (počet kachen) musí být dělitelný 19 řešení (0, 100, 0) neuvažuje

89 druhá úloha Je ti dáno 100 drachem a je ti řečeno: kup za to sto ptáků tří druhů, kachny, holuby a kuřata, kachnu za dvě drachmy, tři holuby za jednu drachmu a dvě kuřata za jednu drachmu. [Ma, str. 64] x + y + z = | 2 2x + 1/3 · y + 1/2 · z = 100 slovně popisuje svůj postup a úvahy 5/3 · y + 3/2 · z = 100 10y + 9z = 600 y = 60 – 9/10 · z

90 počet kuřat musí být dělitelný 10
postupným dosazením najde všech 6 „nenulových“ řešení (0 < z < 60, z = 10k, k přirozené číslo) x 40 39 38 37 36 35 34 y 60 51 42 33 24 15 6 z 10 20 30 50

91 třetí úloha Jak budeš počítat, když dostaneš sto drachem a je ti řečeno: kup za to sto ptáků čtyř druhů, totiž kachny, vrabce, holuby a kuřata, kachnu za čtyři drachmy, deset vrabců za jednu drachmu, dva holuby za jednu drachmu a kuře za jednu drachmu. [Ma, str. 65] soustava dvou rovnic o čtyřech neznámých

92 x + y + z + r = 100 4x + 1/10 · y + 1/2 · z + r = 100 slovně popisuje svůj postup a úvahy 3x – 9/10 · y – 1/2 · z = 0 x = 3/10 · y + 1/6 · z počet vrabců (y) musí být dělitelný 10 počet holubů (z) musí být dělitelný 6

93 Kámil a) začne s y = 10, z = 6 a vypočte x = 4, r = 6 pak postupně za z bere 6, 12, …, 66 a pro každé z za y postupně dosazuje 10, 20, …, končí pro případ r = 0 (resp. r < 0) vypočte 44 různých „nenulových“ řešení

94 b) y je dělitelné 5, z je dělitelné 3 (sčítáme poloviny) vezme y = 5, z = 3, vypočte x = 2, r = 90 pak postupuje analogicky jako v případě a) „vypočte“ 54 dalších „nenulových“ řešení dvě řešení přehlédl ([Ma], str. 65) 98 nenulových řešení, 24 nulových (44 nenulových a 13 nulových; 54 nenulových a 11 nulových)

95 x 4 7 10 13 16 19 22 2 5 y 20 30 40 50 60 70 z 6 12 r 100 80 67 54 41 28 15 86 73 8 11 14 17 20 3 6 9 12 15 18 21 30 40 50 60 10 47 34 79 66 53 27 1

96 4 7 10 13 16 19 5 8 11 14 17 20 30 40 50 24 72 59 46 33 65 52 39 26 6 9 12 15 18 7 10 13 16 8 11 14 20 30 40 36 42 48 58 45 32 19 51 38 25 44 31

97 17 9 12 15 10 13 16 11 14 30 20 48 54 60 66 72 5 37 24 4 23 3 2 5 8 11 14 17 20 1 15 25 35 45 55 65 3 6 90 77 64 51 38 12 93

98 3 6 9 12 15 18 21 5 25 35 45 55 65 83 70 57 44 31 4 7 10 13 16 19 5 15 25 35 45 55 76 63 50 37 24 11

99 5 8 11 14 17 20 15 25 35 45 55 21 69 56 43 30 4 6 9 12 15 18 5 25 35 45 27 62 49 36 23 10

100 7 10 13 16 19 5 15 25 35 45 33 55 42 29 3 8 11 14 17 9 12 15 18 5 25 35 39 45 48 22 41 28 2

101 10 13 16 11 5 15 25 51 57 34 21 8 27 14 17 12 15 13 16 25 5 57 63 69 1 20 7

102 14 13 3 6 9 12 15 18 21 5 10 20 30 40 50 60 70 75 78 84 2 87 74 61 48 35 22

103 soustava dvou rovnic o čtyřech nezná-mých
čtvrtá úloha Bylo ti dáno sto drachem a bylo ti řečeno: kup za to sto ptáků čtyř druhů, totiž kachny, holuby, skřivany a kuřata, kachnu za dvě drachmy, dva holuby za jednu drachmu, tři skřivany za jednu drachmu a kuře za jednu drachmu. [Ma, str. 66] soustava dvou rovnic o čtyřech nezná-mých

104 x + y + z + r = 100 2x + 1/2 · y + 1/3 · z + r = 100 slovně popisuje svůj postup a úvahy x – 1/2 · y – 2/3 · z = 0 x = 1/2 · y + 2/3 · z počet holubů (y) musí být dělitelný 2 počet skřivanů (z) musí být dělitelný 3

105 Kámil a) postupně dosazuje z = 3, 6, 9, 12, …, 57 (60 již nelze, neboť 3/2 · y + r = 0) b) pro pevné z postupně dosazuje y = 2, 4, 6, 8, … c) počítá x, r

106 vypočte všech 304 řešení, neuvažuje nulová řešení (28)
z = 3 31 řešení 33 14 řešení 6 29 36 13 9 28 39 11 12 26 42 15 24 45 8 18 23 48 21 51 4 19 54 3 27 57 1 30 16

107 pátá úloha Je ti dáno sto drachem a je ti řečeno: kup za to sto ptáků tří druhů, totiž kachny, kuřata a vrabce, kachnu za tři drachmy, tři kuřata za jednu drachmu, dvacet vrabců za jednu drachmu. [Ma, str. 66] soustava dvou rovnic o třech neznámých

108 x + y + z = 100 3x + 1/20 · y + 1/3 · z = | 3 slovně popisuje svůj postup a úvahy 8x – 17/20 · y = 200 x = 25 – 17/160 · y je zřejmé, že počet vrabců (y) musí být dělitelný 160 to je spor, neboť všech ptáků má být jen 100 úloha nemá řešení [řešení (25, 0, 75) není uvažováno]

109 šestá úloha Je ti dáno sto drachem a je ti řečeno: kup za to sto ptáků pěti druhů, totiž kachny, holuby, hřivnáče, skřivany a kuřata, kachnu za dvě drachmy, dva holuby za jednu drachmu, tři holuby hřivnáče za jednu drachmu, čtyři skřivany za jednu drachmu a jedno kuře za jednu drachmu. [Ma, str. 66] soustava dvou rovnic o pěti neznámých

110 x + y + z + u + v = 100 2x + 1/2 · y + 1/3 · z + 1/4 · u + v = 100 slovně popisuje svůj postup a úvahy x – 1/2 · y – 2/3 · z – 3/4 · u = 0 x = 1/2 · y + 2/3 · z + 3/4 · u počet holubů hřivnáčů (z) musí být dělitelný 3 součet počtu skřivanů (u) a holubů (y) musí být přirozené číslo y je sudé a u je dělitelné 4 [1233 variant] y je liché a u sudé, ale u není dělitelné [1443 variant]

111 Kámil ukazuje, jak všechny možnosti „efektivně přebrat“ jaký zvolit algoritmus konstatuje, že úloha má 2676 řešení pilný čtenář jistě dopočítá Kvalitativní změna v přístupu k řešení problému všechna nenulová řešení snaha detailně popsat algoritmus volba úloh s žádným, jedním, dvěma a více řešeními

112 * * * * * K. Mačák: Tři středověké sbírky matematických úloh, edice Dějiny matematiky, sv. č. 15, Pro-metheus, Praha 2001, 101 stran. A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha, 1977.

113 al-Karádží – 11. století Abú Bakr Muhammad ibn al-Hasan al-Karádží (zemřel mezi 1019 až 1029) kniha Al-Fachrí věnována bagdádskému vezíru Fachr al-Mulkovi učebnice aritmetiky a algebry soustavy čtyř lineárních rovnic o pěti neznámých [diofantické rovnice] motivací nejsou ptačí úlohy, ale dělení majetku

114 x + 1/3 · (y + z + u) = s y + 1/4 · (z + u + x) = s z + 1/5 · (u + x + y) = s u + 1/6 · (x + y + z) = s Poznámka podobná úloha byla již u Diofanta (řešení v Q) podobná úloha se znovu objevila u Fibonacciho

115 al-Kášání – 15. století Džamšíd Ghijáth ad-Dín al-Káší (zemřel kolem 1429) matematik a astronom působící v Samarkantu Klíč aritmetiky [Miftáh al-hisáb] stěžejní dílo „elementární“ matematiky (přirozená čísla, celá čísla, zlomky (desetinné i šedesátinné), iracionality, algoritmy aritmetických operací, zákla-dy algebry, postupy měření apod.) 1889 vydána litografie v Teheránu podrobný rozbor řešení „ptačích úloh“ (pravé strany rovnic jsou 100, modifikace podmínek, silný vliv Kámila)

116 * * * * * A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha, 1977.

117 Leonhard Euler (1707–1783) Vollständige Unleitung zur Algebra, 1767
Neue Ausgabe, Verlag von Philipp Reclam jun., Leipzig, ????, 527 stran. 2. díl, 2. část, 2. kapitola, str. 350–356. pět úloh vedoucích na diofantické rovnice stručná a neúplná teorie promyšlená koncepce vždy uvedena „všechna“ existující řešení

118

119 první úloha 30 osob, muži, ženy a děti utratilo v hospodě 50 peněz. Muž platí 3 penízky, žena 2 penízky a dítě 1 penízek. Kolik bylo kterých? [Eu, str. 351] x + y + z = 30 3x + 2y + z = 50 2x + y = 20 y = 20 – 2x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 20 18 16 14 12 z 11 13 15 17 19

120 druhá úloha Kdosi koupil 100 kusů zvířat, prasat, koz a ovcí za 100 peněz. Prase za 3 a 1/2, kozu za 1 a 1/3 a ovci za ½ penízu. Kolik bylo kterých? [Eu, str. 351] x + y + z = 100 7/2 · x + 4/3 · y + 1/2 · z = | 2 6x + 5/3 · y = 100 y = 60 – 18/5 · x uvádí jen nenulová řešení x 5 10 15 y 60 42 24 16 z 40 53 66 79

121 třetí úloha [Eu, str. 352] nemá text, není klasickou slovní úlohou x + y + z = a fx + gy + hz = b popisuje odstranění z a následné řešení rovnice cx + dy = e následuje výklad na konkrétním příkladu

122 x + y + z = | 3 7/2 · x + 4/3 · y + 1/2 · z = | 6 18x + 5y = 6 y = 6/5 – 18/5 · x = (6 – 18x)/5 … čitatel nemůže být přirozené číslo úloha nemá řešení

123 čtvrtá úloha Jeden mincmistr měl tři druhy stříbra, 14-lotové, 11-lotové a 9-lotové. Celkové množství odpovídalo 30 kusům 12-lotového stříbra. Kolik měl kterého? [Eu, str. 353] x + y + z = | 9 14x + 11y + 9z = 30 x 12 = 360 5x + 2y = 90 y = 45 – 5/2 · x x 10 12 14 16 18 y 20 15 5 z 3 6 9

124 Poznámka zdůrazňuje praktické použití znalosti pro minc-mistry, zlatníky, směnárníky . . . diofantická rovnice, není zde ptačí motivace uvádí i nulová řešení (jsou přípustná pro směnu, obvykle nejsou přístupná pro nákup)

125 pátá úloha Kdosi koupil 100 kusů dobytka za 100 peněz. 1 vůl stojí 10 peněz, 1 kráva je za 5, 1 tele za 2, 1 ovce za 1/2. Kolik koupil volů, krav, telat a ovcí? [Eu, str. 354]

126 x + y + z + u= 100 10x + 5y + 2z + 1/2 · u = | 2 19x + 9y + 3z = 100 z = /3 – 6x – 1/3 · x – 3y z = 33 – 6x – 3y + (1 – x)/3

127 volba x – 1 = 3t, kde t je přirozené číslo
y = y z = 27 – 19t – 3y u = y + 16t ze třetí rovnice je patrné, že t = 0, 1 (2 již nelze 27 – 2 x 19 < 0) úlohu musíme vyřešit pro dva různé parametry

128 I. t = 0 x = 1 y = y z = 27 – 3y u = y ze třetí rovnice je zřejmé, že y = 0, 1, …, 9 x 1 y 2 3 4 5 6 7 8 9 z 27 24 21 18 15 12 u 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

129 II. t = 1 x = 4 y = y z = 8 – 3y u = y ze třetí rovnice je zřejmé, že y = 0, 1, 2 x 4 y 1 2 z 8 5 u 88 90 92

130 Eulerova poznámka 10 řešení je „řádných“ (nenulová) 3 řešení nevyhovují (nulová) soustava dvou lineárních rovnic o čtyřech nezná-mých nejobtížnější úloha klasická „ptačí úloha“

131

132 ----------------------------------
šestá úloha Muž měl platit třemi druhy mincí. Když počet prvního druhu vynásobí 3, počet druhého 5 a třetího 7, suma činí 560, když však počet prvního druhu vynásobí 9, druhého druhu 25 a třetího druhu 49, suma činí Kolik má kterých? [Eu, str. 356] 3x + 5y + 7z = | 3 9x + 25y + 49z = 2920 10y + 28z = 1240 y = 124 – 14/5 · z

133 první substituce: z = 5u, kde u je přirozené číslo x = – 20 + 35/3 · u
y = 124 – 14u z = 5u druhá substituce: u = 3t, kde t je přirozené číslo x = – t … t > 0 y = 124 – 42t … t < 3 z = 15t t = 1 t = 2 x 15 50 y 82 40 z 30

134 Poznámka netypická „ptačí úloha“ formálně sice vede na diofantickou rovnici součet x, y, z však není konstantní

135 Indická matematika – 5. až 14. století
neurčité rovnice prvního stupně problémy nejsou motivovány ptačími úlohami motivací byly astronomické výpočty, v nichž se hledala perioda pravidelně se opakujících dějů (např. postavení nebeských těles s různými dobami oběhu) nalezení celých čísel, které při dělení dvěma danými celými čísly dají předem stanovený zbytek

136 Árjabhata I. (nar. asi 476 až 550)
dílo: Árjabhatíja (kolem 499) řeší úlohu N = ax + r1, N = by + r2, tj. chce rozdělit přirozené číslo N přirozenými čísly a, b tak, aby zbytky po dělení byly r1 a r2. řeší tedy úlohu ax + c = by, kde c > 0, a, b, c jsou přirozená čísla; a, b jsou nesoudělná

137 Bháskara I. ( asi 600 až 680) komentátor Árjabhatíji rozšiřuje algoritmus i pro případ, že c < 0

138 Další indičtí matematici
Brahmagupta (asi 598 až 670) dílo: Brahmasphuta-siddhanta [Zdokonalení nauky Brahmovy, kolem 628] 18. kapitola – metoda kuttaka [„řetězové zlomky“] Mahávíra (asi 800 až 870) dílo: Ganitasárasangraha [Krátký kurz početní vědy, kolem 850]

139 Árjabhata II. (asi 920 až 1000) Šrípati (1019 –1066) Bháskara II. (1114 – po 1178) dílo: Siddhánta – širómani [Koruna vědy, kolem 1150] dílo: Bídžaganita (2. kapitola, 55. až 57. sloka) zdokonalení metody kuttaka [řetězové zlomky] Nárájana (14. století)

140 Indická metoda – Bháskara II.
ax + c = by předpoklady: nsd(a, b) = 1 a > b a, b jsou přirozená čísla c je celé číslo a/b … vyjádříme pomocí řetězového zlomku (konečný řetězový zlomek)

141 a/b = [q0; q1, q2, …, qn-1, qn] (kdyby a < b, q0 = 0)
k-tý přibližný zlomek: Pk/Qk = [q0; q1, q2, …, qk] Pn-1/Qn-1 = [q0; q1, q2, …, qn-1] a/b = Pn/Qn = [q0; q1, q2, …, qn]

142 x = (-1)n · c · Qn-1 + b · t, y = (-1)n · c · Pn-1 + a · t, kde t je celé číslo. Problém: jak najít q0, q1, q2, …, qn-1, qn? -- Eukleidův algoritmus pro nalezení nsd(a, b), kde a > b a = b · q0 + b1 b = b1 · q1 + b2 b1 = b2 · q2 + b3 . . . bn-2 = bn-1 · qn-1 + bn bn-1 = bn · qn nsd(a, b) = bn

143 Poznámka Bháskara II. a) je-li n sudé → algoritmus přímo poskytne kladné řešení b) je-li n liché → nutná korekce

144 --------------------- 100/63 = [1; 1, 1, 2, 2, 1, 3]
100x + 90 = 63y 100/63 = [1; 1, 1, 2, 2, 1, 3] P7/Q7 = [1; 1, 1, 2, 2, 1, 3] tedy n = 6 P6/Q6 = [1; 1, 1, 2, 2, 1] = 27/17 řešení x = 90 · t → t, (t0 = – 24) y = 90 · t → t, kde t je celé číslo Bháskara II. uvedl (30, 18), (81, 130) a (144, 230) [t = 0, 1, 2] -24

145 nsd(100, 63) = 1 100 = 1 · 63 = 1 · 37 = 1 · 26 = 2 · P6/Q6 = 27/17 11 = 2 · 4 + 3 4 = 1 · 3 + 1 3 = 3 · 1 q0 q1 q2 q3 q4 q5 q6 1 2 3

146 60x + 16 = 13y 60/13 = [4; 1, 1, 1, 1, 2] P6/Q6 = [4; 1, 1, 1, 1, 2] tedy n = 5 P5/Q5 = [4; 1, 1, 1, 1] = 23/5 řešení x = – 16 · t = – t, y = – 16 · t = – t, kde t je celé číslo

147 nsd(60, 13) = 1 60 = 4 · 13 = 1 · 8 + 5 8 = 1 · P5/Q5 = 23/5 5 = 1 · 3 + 2 3 = 1 · 2 + 1 2 = 2 · 1 q0 q1 q2 q3 q4 q5 4 1 2

148 Převod na „kladné“ řešení
x = – t = – 13 · 6 – t = – 2 + (t – 6) · 13, y = – t = – 60 · 6 – t = – 8 + (t – 6) · 60, kde t je celé číslo. nyní hledáme x0 a y0 kladné a minimální: t – 6 = 1, tudíž x0 = 11 a y0 = 52 x = t´, y = t´, kde t´ je celé číslo.

149 * * * * * A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha, 1977. I. Sýkorová: Kuttaka, str. 159–162, in J. Bečvář, M. Bečvářová: 34. mezinárodní konference Histo-rie matematiky, Praha, 2013.

150 Děkuji za pozornost.