Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru2  Matematická statistika je věda, která se zabývá studiem dat vykazujících náhodná kolísání.  Je možno rozlišit dvě základní úrovně:  Popisnou statistiku,  Inferenční statistiku.  Popisná statistika zahrnuje metody pro získávání dat, jejich grafickou prezentaci a numerická vyhodnocení  Statistická inference (statistická indukce) zahrnuje metody pro odvozování závěrů o celé populaci na základě dostupných náhodných výběrů. Základním matematickým nástrojem je teorie pravděpodobnosti.

 Co jsou data ve statistice?  Systematicky shromažďované informace,  zpravidla (ale ne nutně) číselné povahy.  Pro jejich analýzu je nutná znalost celkového kontextu (co, proč, kdy a jak bylo měřeno, v případě číselných dat v jakých jednotkách...).  Ve stavebnictví se nejčastěji setkáváme se soubory číselných dat. Při grafické prezentaci jednoho datového souboru (tzv. jednorozměrného souboru) se nejčastěji používá  Histogram,  Krabičkový graf (Boxplot). Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru3

4

 Další příklad použití histogramu: Příklad 1.1, otázka a) na osobní stránce.  Konstrukce krabičkového grafu bude vysvětlena později (vyžaduje výpočet některých popisných statistik). Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru5

6

7

8

9

10

Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru11

Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru12

Výsledný krabičkový graf: Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru13

Vraťme se k předchozím dvěma příkladům, ve kterých jsme analyzovali obsahy nežádoucí příměsi u 16 vzorků stavebního materiálu. Předpokládejme, že hodnota 28 g (která byla v Příkladu 1.3 vyhodnocena jako odlehlé pozorování) byla zjištěna chybně a je proto třeba ji ze souboru vyloučit. a)Vypočtěme pro nový soubor 15 údajů základní statistiky, b)zkonstruujme krabičkový graf, c)porovnejme oba soubory pomocí zjištěných výsledků. Řešení je na osobní stránce. Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru14

 „Normální“ rozdělení dat:  Histogram lze velmi dobře proložit Gaussovou křivkou (bude zavedena v kapitole 5), je téměř symetrický.  Medián je téměř přesně roven výběrovému průměru.  Boxplot je téměř perfektně symetrický, zpravidla neobsahuje odlehlé pozorování.  Koeficienty šikmosti i špičatosti jsou blízké k nule. Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru15

 Příklady:  Viz histogram pevnosti betonu v tlaku na str. 4.  Viz Boxplot k Příkladu 1.4 (obsah nežádoucí příměsi po vyloučení odlehlého pozorování). Poznámka: Koeficient šikmosti pro data z Příkladu 1.4 je záporný a je roven přibližně Tato hodnota ukazuje mírné zešikmení dat doleva - viz dále. (Výpočet tohoto koeficientu nebude u zkoušky požadován.) Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru16

Nejčastěji se setkáváme s rozdělením dat, které vykazuje buď kladné nebo záporné zešikmení.  Alternativní terminologie:  kladná šikmost ~ zešikmení doprava  záporná šikmost ~ zešikmení doleva  Charakterizace typického kladného zešikmení:  Koeficient šikmosti je (výrazně) kladný.  Data jsou více koncentrovaná v levé části oboru hodnot, vpravo se zpravidla vyskytují odlehlá pozorování.  Křivka prokládající histogram (tj. matematický model pro teoretické rozdělení) má delší „chvost“ orientovaný doprava.  Výběrový průměr je výrazně větší než medián. Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru17

 Příklady kladného zešikmení:  Viz Příklad 1.2 (obsahy nežádoucí příměsi u 16 vzorků stavebního materiálu) Poznámka: Koeficient šikmosti je pro tato data roven  Magnitudy zemětřesení: Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru18

 Příklad krabičkového grafu pro kladně zešikmená data: Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru19

 Charakterizace typického záporného zešikmení:  Koeficient šikmosti je (výrazně) záporný.  Data jsou více koncentrovaná v pravé části oboru hodnot, vlevo se zpravidla vyskytují odlehlá pozorování.  Křivka prokládající histogram (tj. matematický model pro teoretické rozdělení) má delší „chvost“ orientovaný doleva.  Výběrový průměr je výrazně menší než medián.  Příklady záporného zešikmení:  Všechny tři proměnné v Příkladu 1.1 (Excelovský soubor „Příklad 1.1_data a řešení“ - viz histogramy a popisné statistiky těchto proměnných) Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru20

 Příklad krabičkového grafu pro záporně zešikmená data: Bodové hodnocení skupiny 80 studentů ve zkoušce  Otázky ke grafu:  V jakých mezích se pohybovaly výsledky 20 nejlepších studentů?  Pod jakou hodnotou se pohybovaly výsledky 25% nejslabších studentů?  Jsou mezi daty odlehlá pozorování? Popište je.  Můžeme něco říci o průměrném výsledku? Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru21

Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru22

Příklad 1.6 (data z Příkladu 68 skript Prof. Jaruškové) V tenké vrstvě roztoku zlata se registroval počet částic zlata, které se dostaly do zorného pole mikroskopu. Pozorování se prováděla pravidelně vždy po uplynutí stejně dlouhého časového intervalu. Výsledky jsou uvedeny v následující tabulce. Určeme modus, medián a kvartily. Vypočtěme též výběrový průměr a směrodatnou odchylku. Co můžeme říct o rozdělení dat? Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru23 Počet částic Četnost

Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru24 Počet částic Četnost Kumulativní četnost

Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru25

Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru26

Kapitola 1: Popisná statistika jednoho souboru27